Matematika s statistiko tudijsko gradivo Fakulteta za farmacijo

Matematika s statistiko študijsko gradivo Fakulteta za farmacijo VSŠ Laboratorijska biomedicina verzija: junij 2006

Tečaji valut Topnost kisika v vodi pritisku 760 mm. Hg

Sestavljanje funkcij

Grafična predstavitev/podajanje

Podajanje s formulo

Graf

Graf funkcije dveh spremenljivk Enačba idealnega plina: PVT-diagram idealnega plina

PVT-diagram realne snovi Odsekoma definirana funkcija

Definicijsko območje & Zaloga vrednosti

Naraščanje in padanje funkcije naraščajoča padajoča

Pri stalni temperaturi je pritisk padajoča funkcija prostornine (tj. večja prostornina manjši pritisk)

Lokalno naraščanje in padanje funkcijskih vrednosti pri a je funkcija padajoča pri b je funkcija naraščajoča

Globalni ekstremi (globalni) maksimum (globalni) minimum

Lokalni ekstremi lokalni minimum lokalni maksimum ravnovesne lege so primeri lokalnih ekstremov

Konveksnost & konkavnost Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol. konkavna konveksna

Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno. prevoji konveksna konkavna

Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

Trend funkcije na robu - asimptote Logistična krivulja (vodoravna asimptota) Poševna asimptota Dušeno nihanje

Periodičnost in simetrija Periodične funkcije Soda in liha funkcija

Graf funkcije 1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti 2. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu definicijskega območja 5. Periodičnost in simetrije

Elementarne funkcije Polinomi Racionalne funkcije Algebrajske funkcije Eksponentne in logaritmske funkcije Kotne funkcije

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij. Osnovne funkcije:

Osnovne značilnosti: • Definicijsko območje, zaloga vrednosti • Naraščanje in padanje, ekstremi • Ukrivljenost • Trend na robu definicijskega območja • Periodičnost in simetrije

Polinomi § povsod definirani § polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov § trend je določen z najvišjo potenco § vsote sodih potenc so soda funkcija, vsote lihih potenc pa liha funkcija

Racionalne funkcije § definirane povsod, razen v ničlah imenovalca § ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli § če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem

Algebrajske funkcije § koreni lihe stopnje so definirani povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente § koren je bližje številu 1 kot njegov argument § asimptote dobimo z limitami. . .

Eksponentna funkcija f(x)=ex § povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel) § za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča

Logaritemska funkcija f(x)=ln x § definirana za pozitivne argumente zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1 § pol pri x=0, zelo počasi narašča

Kotne funkcije sin(x), cos(x) § povsod definirane, zaloga vrednosti je interval [-1, 1] § periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija § sin(x) ima ničle pri x=kp, cos(x) ima ničle pri x=p/2+kp § cos(x)=sin(p/2 -x), sin 2 x+cos 2 x=1

sin(kx+a) k: frekvenca, a: fazni zamik

Funkcija tangens tg(x) § definirana povsod, razen za x=p/2+kp, zaloga vrednosti so vsa realna števila § periodična, liha § ničle pri x=kp, poli pri x=p/2+kp § tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg 2 x=1/cos 2 x

Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc sin(x) ‘arkus sinus’ § inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x) § definirana na intervalu [-1, 1], zaloga vrednosti interval [-p/2, p/2 ]

Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc tg(x) ‘arkus tangens’ § inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x) § definirana povsod, zaloga vrednosti interval (-p/2, p/2) § asimptoti y=-p/2, y=p/2

LIMITE y=f(x) l l je limita funkcije f, ko x narašča čez vse meje

y=f(x) d l a l je limita funkcije f, ko x narašča proti a d je limita funkcije f, ko x pada proti a

y=f(x) a Funkcija f je zvezna v točki a, če je leva limita pri a enaka desni limiti pri a in sta obe enaki funkcijski vrednosti.

Računanje limit § če je f elementarna funkcija preoblikujemo izraz in po potrebi uporabimo osnovni limiti (eksponentne in logaritemske) (kotne in ciklometrične) § za splošne funkcije izračunamo funkcijsko vrednost v točki, ki je dovolj blizu a § z uporabo odvodov (L’Hospitalovo pravilo)

Primeri

x 0. 5 0. 999 f(x) 0. 2209874833 0. 1039175446 0. 0095502780 0. 0000453978 x 1. 5 1. 1 1. 001 f(x) 0. 7790125166 0. 8960824553 0. 9904497219 0. 9999546021 y=f(x) 1 1

Asimptote Premica y=kx+l je asimptota funkcije f(x), če je Primer asimptota je:

ZVEZNE FUNKCIJE Funkcija f je zvezna, če je za vsak a, kjer je definirana funkcijska vrednost f(a) enaka levi in desni limiti pri a. Intuitivno, f je zvezna, če je njen graf nepretrgan nad vsakim intervalom, ki je v celoti vsebovan v definicijskem območju.

Grafi zveznih funkcij

Grafa nezveznih funkcij

Lastnosti zveznih funkcij Osnovne funkcije so zvezne. Vsota, razlika, produkt in kvocient zveznih funkcij je zvezna funkcija. Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija. 1) Vse elementarne funkcije so zvezne.

2) Zvezna funkcija na intervalu [a, b] zavzame vse vmesne vrednosti med f(a) in f(b) Kdor se vozi po avtocesti od Ljubljane do Postojne gre v nekem trenutku mimo Vrhnike. Če vzamemo poln 100 litrski sod in ga izpraznimo, potem je v nekem trenutku med praznenjem bilo v sodu natanko 35 litrov tekočine. f(a) a Če je bila jutranja temperatura 6 o. C, opoldanska pa 15 o. C, potem je tisto jutro bilo tudi 10 o. C. b Če je etanol pri 40 o. C tekoč, pri 80 o. C pa plinast, potem pri neki vmesni temperaturi vre.

Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij 3 4. 67 5. 25 4. 80 4. 76 4. 85 4. 5 Ničla je ≈ 4. 78 6

Primer Palico oblike primemo za en konec in vržemo proti steni. Kdaj bo zadela steno? l sin Fizikalno ozadje: težišče telesa se giblje enakomerno in premočrtno, palica pa se enakomerno vrti okoli težišča. - l sin l V trenutku t je težišče v točki vt, kot vrtenja pa je enak kt. En konec palice je od štarta oddaljen za vt+l sin kt, drugi pa za vt-l sin kt.

s d d je razdalja do stene s=vt+l sin kt s=vt- l sin kt t Poiskati moramo manjšo izmed rešitev enačb vt+l sin kt=d in vt- l sin kt=d.

Rešimo nalogo pri pogojih: v=1 m/s l=0. 2 m t+0. 2 sin t=5 d=5 m f(t)=t+0. 2 sin t-5 začetni interval: f(5)=-0. 1918, f(5. 5)=0. 3588 ⇒ račun: k=1 obrat/s f(5. 25)= 0. 0782 f(5. 12)=-0. 0636 f(5. 18)= 0. 0014 f(5. 15)=-0. 0311 f(5. 17)=-0. 0094 ⇒ ⇒ ⇒ rešitev je med 5 in 5. 5 rešitev je med 5 in 5. 25 rešitev je med 5. 12 in 5. 18 rešitev je med 5. 15 in 5. 18 rešitev je med 5. 17 in 5. 18 5 Podobno se lotimo druge enačbe t - 0. 2 sin t=5 in dobimo za rešitev t=4. 80. Palica zadane steno s spodnjim koncem po 4. 80 sekundah. 5. 5

3) Zvezna funkcija na zaprtem intervalu zavzame minimum in maksimum. max a min b a

Odvod

Primer Alternativni zapis:

Fizikalni pomen odvoda

Geometrični pomen odvoda

padajoča Df negativen naraščajoča Df pozitiven

Računanje odvodov I. korak: funkcija odvod Predpis x ↦ Df(x) določa funkcijo f ' : A → ℝ. odvod funkcije f Primeri

II. korak: računske operacije in sestavljanje seštevanje (in odštevanje) množenje: deljenje: sestavljanje:

Primeri

III. korak: osnovne funkcije

Primeri

Višji odvodi Primeri Vrednosti višjih odvodov v neki točki f(x 0), f ''(x 0), f '''(x 0), . . . določajo celotno funkcijo

Parcialni odvod po spremenljivki T odvod po spremenljivki V funkcija n spremenljivk i -ti parcialni odvod

Primer

Lokalni ekstremi Če je f(x 0) ≥ f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x 0 pravimo, da ima f v x 0 lokalni maksimum. Če pa je f(x 0) ≤ f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x 0 pravimo, da ima f v x 0 lokalni minimum. Odvedljiva funkcija ima pri lokalnem ekstremu vodoravno tangento. V lokalnem ekstremu velja: f '(x 0)=0 (stacionarna točka)

Vsi lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah. lok. maksimum Stacionarne točke so lahko lokalni ekstremi ali pa prevoji. Lokalni ekstrem NI nujno tudi globalni ekstrem. lok. minimum prevoj globalni minimum (globalnega maksimuma ni)

Globalni ekstremi Globalni ekstrem funkcije je bodisi pri lokalnemu ekstremu, bodisi na robu definicijskega območja. y=f(x) globalni maksimum a b globalni minimum kandidati za ekstreme funkcije f(x) na intervalu [a, b]:

Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije f(x) na intervalu [a, b]: 1. Izračunamo odvod f '(x); 2. Določimo ničle odvoda, npr. x 1, x 2, . . . ; 3. Izmed vrednosti f (a), f (b), f (x 1), f (x 2), . . . določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum. Primer Določi globalne ekstreme funkcije f(x)=x 3 -4 x 2+6 na intervalu [-1, 4]. Globalni maksimum je f(0)=f(4)=6, globalni minimum je f(8/3) ≈ -3. 48

Optimizacijske naloge 1. Za katero pozitivno število je vsota števila in njegove recipročne vrednosti najmanjša? Najmanjšo vsoto dobimo pri x=1. 2. Kateri izmed pravokotnikov z obsegom 5 m ima največjo ploščino? Največjo ploščino ima kvadrat s stranico 1, 25 m.

3. Kakšne dimenzije mora imeti valjasta pločevinka s prostornino V, da bo za njeno izdelavo potrebno najmanj pločevine? r h Optimalna pločevinka ima višino enako premeru.

Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk f ima lokalni maksimum pri (x 1, . . . , xn) za vsako spremenljivko posebej vsi parcialni odvodi so enaki 0 kandidati za lokalne ekstreme so rešitve sistema enačb

Stacionarne točke funkcije več spremenljivk lokalni maksimum sedlo

Primeri Edina stacionarna točka je (0, 0). Stacionarni točki sta (0, 0) in .

Globalni ekstremi funkcij več spremenljivk f(x, y) je definirana na delu ravnine. Če je odvedljiva, zavzame ekstrem bodisi v stacionarni točki v notranjosti območja, ali pa na robu. Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije f(x, y) na območju D ⊆ ℝ : 1. Izračunamo parcialna odvoda f x'(x, y) in f y'(x, y); 2. Določimo stacionarne točke kot rešitve enačb f x'(x, y) =0 in f y'(x, y)=0; 3. Točke na robu območja D obravnavamo kot funkcijo ene spremenljivke in poiščemo pripadajoče stacionarne točke. 4. Izmed vrednosti funkcije f v vseh stacionarnih točkah določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum.

Primer Poišči minimum in maksimum funkcije na trikotniku z oglišči A(0, 0), B(3, 0) in C(0, 3). notranjost trikotnika: C -1 daljica AB: stacionarna točka (0, 0) ni v notranjosti daljice daljica AC: A daljica BC: oglišča: minimum je f (1, 1)= -1, maksimum je f (0, 3)=12 B

Izravnavanje numeričnih podatkov Naloga: iz tabele numeričnih podatkov (xi, yi) določi funkcijsko zvezo y=f(x), ki se s temi podatki najbolje ujema. Primer: v tabeli so podane vrednosti količine y v odvisnosti od x. Določi ustrezno funkcijsko zvezo y=f(x). Oceni vrednost y pri x =1. 5 (interpolacija) in pri x=2 (ekstrapolacija).

Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu: Zveza med x in y je približno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega?

Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na množici podatkov (xi, yi), i=1, 2, . . . , n, s pomočjo testne funkcije Če ležijo vsi podatki na premici y=A+Bx je F(A, B)=0, kar je najboljši možni rezultat. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum.

Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov Sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank: ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije.

interpolirana vrednost: f(1. 5)=4. 303 ekstrapolirana vrednost: f(2)=5. 354

V praksi sistem Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake: povprečje argumentov povprečje funkcijskih vrednosti povprečje kvadratov argumentov povprečje produktov rešujemo takole:

Nelinearne zveze V tabeli je predstavljena kinetika razpada N 2 O 5 v raztopini CCl 4. c je koncentracija N 2 O 5 po preteku t sekund.

Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna: Računanje s testno funkcijo je zamudno, zato raje lineariziramo. (zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna) Vpeljemo novo količino Dobimo: in uporabimo prejšnje formule.

Računanje limit Računamo pri pogoju (Nedoločena oblika Velja: L’Hospitalovo pravilo )

Primeri: L’Hospitalovo pravilo uporabimo tudi za in ko je

Risanje grafov (Območje definicije, obnašanje na robu, ničle, območja naraščanja in padanja, stacionarne točke, ukrivljenost, prevoji, simetrije. ) 1. Definicijsko območje: določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij. 2. Rob definicijskega območja: obnašanje funkcije (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L’Hospitalovim pravilom. 3. Ničle: določimo s pomočjo raznih, tudi približnih, metod za reševanje enačb.

4. Naraščanje in padanje, ekstremi: funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji. funkcija odvod Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne spremeni, je v stacionarni točki prevoj.

5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak. prevoj funkcija odvod 2. odvod 6. Periodičnost in simetrije: odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod.

Primeri Natančno nariši graf funkcije Definicijsko območje: imenovalec je pozitiven, funkcija je definirana povsod. Obnašanje na robu: f(x) ima vodoravno asimptoto y=0 Ničle: edina ničla števca je x=0. Simetrije: funkcija je liha.

Naraščanje, padanje, ekstremi: Ničli odvoda sta -1 in +1; odvod je negativen za x<-1 in x>1 in pozitiven za -1<x<1. Ukrivljenost: f ima prevoje za konveksna je za konkavna je za f narašča za -1<x<1 in pada sicer; v -1 ima lokalni minimum, v 1 pa lokalni maksimum.

asimptota y=0 ničla x=0 minimum x=-1, y=-0. 5, maksimum x=1, y=0. 5 prevoji x=0, -1. 73, 1. 73

Nariši graf Definicijsko območje: Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda:

Funkcija f je podana z grafom. Nariši graf njenega odvoda g. Definicijsko območje g so točke, kjer je graf f gladek in tangenta ni navpična. f Ničle g so tam, kjer ima f stacionarno točko. g je pozitivna tam, kjer f narašča in negativna tam, kjer f pada. g narašča kjer je f konveksna, pada pa kjer je f konkavna. g ima lokalni ekstrem v točkah, kjer ima f prevoj. Asimptota g je ‘odvod’ asimptote f. g

Integral rešujemo nalogo: Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f. Če je F’ (x)=f(x) pravimo, da je F(x) primitivna funkcija za funkcijo f(x). Primeri:

Za dano funkcijo obstaja več primitivnih funkcij: primitivni funkciji za cos x sta tako sin x, kot sin x +3. Če poznamo eno primitivno funkcijo za f, dobimo vse druge tako, da tej prištejmo vse možne konstante. Množico vseh primitivnih funkcij za f(x) označimo z F(x)+c, kjer je F(x) neka primitivna funkcija za f(x), c pa je poljubno realno število.

Postopek določanja primitivne funkcije imenujemo integriranje. Pišemo: pove po kateri spremenljivki integriramo in nastopa pri formulah za računanje integralov integrand integral Pri računanju integralov uporabljamo pravila za integriranje in integrale osnovnih funkcij.

Integrali osnovnih funkcij

Pravila integriranja vsota produkt s konstanto Primeri

Če je , je uvedba nove spremenljivke pravilo: funkcija u(x) Novo spremenljivko u vpeljemo tako, da povsod, kjer v integralu nastopa spremenljivka x, jo zamenjamo z ustreznim izrazom v spremenljivki u. Primer:

integracija ‘po delih’ ( Za integriranje produktov določene oblike. ) krajše: Primeri:

Uporaba integrala Ploščine likov Dolžine krivulj Hitrost ohlajanja nekega telesa je sorazmerna razliki med temperaturo telesa in temperaturo okolice: T’=k(T-T 0) Kako hitro se bo vrela juha v prostoru, kjer je 20 o. C ohladila do užitnih 50 o. C? Diferencialne enačbe Povprečja Kolikšna je verjetnost, da bo žlica, ki pade na tla obležala na eni sami ploščici? Verjetnost

Integracijske tehnike

Racionalne funkcije osnovna formula: Primer: 1. korak: če je stopnja števca večja od stopnje imenovalca, zdelimo 2. korak: preostali ulomek razcepimo na delne ulomke 3. korak: sumande v razcepu integriramo po formuli

Če ima imenovalec dvojno ničlo vpeljemo novo spremenljivko: Če imenovalec nima realnih ničel, prevedemo na logaritem in arkus tangens:

Kotne funkcije formule za kvadrate:

Računanje ploščin Želimo določiti ploščino pod grafom funkcije y=f(x) P(x) je ploščina pod grafom na intervalu od a do x. max f(x) min f(x) P(x) je primitivna funkcija za f(x) ! P(x) a x x+h

Če je F(x) neka primitivna funkcija za f(x), potem je F(x)-P(x)=c. Kako bi izračunali c? Vstavimo x=a: F(a)-P(a)=c ⇒ c=F(a) ⇒ P(x)=F(x)-F(a). P=F(b)-F(a) a b Če je F(x) poljubna primitivna funkcija za f(x), je ploščina pod grafom y=f(x) na intervalu [a, b] enaka P=F(b)-F(a).

Ker je običajno meje intervala vključimo v oznake in pišemo: določeni integral funkcije f(x) na intervalu [a, b].

Primer Določi ploščino lika, ki ga omejujeta abscisa in parabola y=1 -x 2. -1 1

Primer Določi ploščino lika med x=y 2 in y=x.

Dolžine krivulj Želimo določiti dolžino krivulje, podane z y=f(x). l(x) je dolžina grafa na intervalu od a do x. y=f(x) l(x) je primitivna funkcija za a x x+h

Dolžina krivulje, podane z y=f(x) na intervalu [a, b] je Primer Izračunaj dolžino loka parabole y=1 -x 2 na intervalu [-1, 1]. -1 1

Vrtenine Vrtenina je telo, ki ga dobimo, ko dani lik zavrtimo okoli osi. Izračunati želimo prostornino vrtenine.

Zavrtimo lik pod grafom krivulje y=f(x): y=f(x) V(x) je prostornina na intervalu od a do x. a V(x) je primitivna funkcija za x x+h

Prostornina vrtenine pod y=f(x) na intervalu [a, b]: Primer Prostornina krogle: kroglo dobimo, če zavrtimo krožnico okoli abscisne osi. -r r

Približni izračun integrala računamo numerično, če je določanje primitivne funkcije prezahtevno ali če je integrand znan le v posameznih točkah. Integrand f(x) nadomestimo s približkom g(x), ki ga znamo dovolj preprosto integrirati. Približek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov). napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk približna vrednost integrala

Metoda trapezov integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo. [a, b] razdelimo na n enakih delov: g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (xk, yk), k=0, 1, . . . , n napaka trapezne metode trapezna formula

Primer Izračunaj z napako < 0. 01 dejanska napaka 0. 0025

Primer Oceni ploščino kosa pločevine:

Diferencialne enačbe Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopa odvod neznane funkcije. Primeri diferencialna enačba za y kot funkcijo x diferencialna enačba 2. reda (Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa. ) diferencialna enačba 3. reda parcialna diferencialna enačba (2. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, kadar nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa parcialne diferencialne enačbe.

splošna diferencialna enačba 1. reda Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(x), pri kateri je F( x , y(x) , y’(x) )=0 za vse x. Primeri § y=e 2 x je rešitev diferencialne enačbe y’=2 y, saj je y’ 2 y § y=x 2 ni rešitev diferencialne enačbe y’=2 y, čeprav je 2 x 2=2 x 2 za nekatere vrednosti x. Leva in desna stran morata biti enaki za vse vrednosti argumenta x.

Najpreprostejši tip diferencialne enačbe: Rešitev je: Tudi druge diferencialne enačbe skušamo prevesti na računanje integralov. Primer 1. korak: pišemo 2. korak: enačbo preoblikujemo tako, da so vsi y na eni in vsi x na drugi strani enačbe (kadar se to izide pravimo, da gre za enačbo z ločljivimi spremenljivkami) 3. korak: integriramo obe strani enačbe Preskus:

Modeliranje z diferencialnimi enačbami V fizikalnih in kemijskih zakonih praviloma nastopajo količine, ki so odvodi (hitrost gibanja, pospešek, toplotni tok, električni tok, hitrost reakcije, . . . ), zato študij fizikalnih in kemijskih procesov sloni na reševanju diferencialnih enačb. Audi TT pospeši do hitrosti 100 km/h v 6. 4 sekundah. Koliko metrov pri tem prevozi? t . . . čas y(t). . . prevožena pot hitrost je v=y’(t) pospešek je a= v’(t)= y’’(t) Predpostavimo, da je pospešek konstanten: Ker je na začetku v(0)=0, je c=0. Ker je na začetku y(0)=0, je c=0. Hitrost 100 km/h doseže po y(6. 4)≈89 m.

Radioaktivni razcep Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5 g izotopa 14 C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3 g 14 C)? y=y(t) količina snovi v trenutku t y’=-k y k je sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 14 C je k =3. 83 10 -12 s-1) y(0)=C, torej je C začetna količina opazovane snovi Za 14 C: Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je k. T=ln 2 Razpolovna doba 14 C je (0. 6931/3. 83) 1012 s ≈ 5730 let.

Datiranje s kozmični žarki 14 C Rastline absorbirajo CO 2 v biosfero. Razmerje med 12 C in 14 C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 14 C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žarkov dva neutrona nadomestita dva protona v 14 N. Nastali 14 C se veže s kisikom v 14 CO 2. Razmerje med 14 CO 2 in 12 CO 2 v atmosferi je dokaj stabilno. stopnja radioaktivnosti 0 let 5730 let starost 11460 let 17190 let Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12 C in 14 C zaradioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.

3% Mešanje tekočin V 50 -litrsko posodo z 1% -raztopino soli začne s hitrostjo 2 l/min pritekati 3%-raztopina, obenem pa dobro premešana mešanica odteka z isto hitrostjo. Čez koliko časa bo v posodi 2%-raztopina? y=y(t) količina soli v sodu v trenutku t odteka 2/50 od trenutne količine na enoto časa priteka 3% od 2 l na enoto časa sprememba količine soli v posodi

Metabolizem tripsina Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo. y 0 . . . začetna koncentracija tripsina y(t) . . . koncentracija tripsina v času t y ’=ky . . . hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji To je ista diferencialna enačba, kot pri radioaktivnem razcepu. Rešitev je y=y 0 ekt. Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato sklenemo, da model ni ustrezen in ga skušamo popraviti.

Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y 0 dobimo diferencialno enačbo: y’=ky(C-y) y(0) =y 0 Dobljeni graf se imenuje logistična krivulja: popravljeni model napoveduje, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.

Osnove verjetnosti Teorija verjetnosti obravnava situacije, pravimo jim poskusi, pri katerih je izid odvisen od naključja. Možni izidi nekega poskusa tvorijo prostor izidov. Primeri Med vožnjo na faks pelje študent mimo treh semaforjev. Pri vsakem se bodisi ustavi (R) ali pa pelje brez ustavljanja (Z). Prostor izidov lahko predstavimo z { ZZZ , ZZR , ZRZ , RZZ , ZRR , RZR , RRZ , RRR } Uvrstitev tekmovalca na kolesarski dirki ‘Franja’ lahko gledamo kot na dogodek v poskusu - tekmi - in za prostor izidov vzamemo množico {1, 2, . . . , N}, kjer je N število udeležencev. Ker se število udeležencev iz leta v leto spreminja, je še bolj smiselno vzeti za prostor izidov množico vseh naravnih števil {1, 2, 3, . . . }. Letna količina padavin v nekem kraju je zelo odvisna od naključja. Če jo gledamo kot izid poskusa je prostor izidov množica vseh pozitivnih realnih števil {t | t 0 }

Podmnožicam prostora izidov pravimo dogodki. Dogodek, da se študent ustavi pri drugem semaforju je {ZRZ, ZRR, RRZ, RRR}. Dogodek, da se kolesar uvrsti med prvih deset je {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Z dogodki računamo enako kot z množicami: • unija dogodkov A in B je dogodek A+B, da se zgodi vsaj eden izmed A in B. A je dogodek, da se študent ustavi na prvem semaforju, B pa, da se ustavi na drugem semaforju. A+B je dogodek, da se študent ustavi na prvem semaforju, ali na drugem semaforju ali pa na obeh. A={RZZ, RZR, RRZ, RRR}, B={ZRZ, ZRR, RRZ, RRR}, A+B={RZZ, RZR, ZRZ, ZRR, RRZ, RRR} • presek dogodkov A in B je dogodek AB, da se zgodi tako A kot B. Dogodek, da se študent ustavi na prvem in na drugem semaforju je AB={RRZ, RRR}. • nasprotni dogodek za A je dogodek A, ki ga tvorijo vsi izidi, ki niso v A. Dogodek, da se študent ne ustavi na prvem semaforju je A={ZRZ, ZZR, ZZZ, ZRR}. • gotov dogodek G tvorijo vsi možni izidi poskusa, nemogoč dogodek N pa je dogodek, ki ne vsebuje nobenega izida. • dogodka A in B sta nezdružljiva, če je njun presek nemogoč dogodek, AB=N.

Verjetnostna mera je funkcija, ki vsakemu dogodku A priredi število P(A) [0, 1] in za katero velja: • P(G)=1 • AB=N P(A+B)=P(A)+P(B) Sledi: • P( A )=1 -P(A) A G P(A)+P(A )=P(G)=1 A • P(N)=0 • A B P(A) P(B) A • P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A A AB P(B)=P(A+(B-A))= B AB P(A)+P(B-A) ≥ P(A) B AB B

Klasična definicija verjetnosti: če ima poskus končno število enako verjetnih izidov, potem je število izidov v dogodku A ____________________ P(A)= število vseh izidov Statistična definicija verjetnosti: frekvenca dogodka A pri n ponovitvah poskusa je število poskusov z izidom A ______________________ n P(A) je limita frekvenc dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa. Primer Naj bo pri metu kocke A dogodek, da pade sodo število pik. Klasična definicija: P(A)=½, ker je A={2, 4, 6} v množici izidov {1, 2, 3, 4, 5, 6}, za katere privzamemo, da so enako verjetni. Statistična definicija: P(A) dobimo kot frekvenco sodega števila pik pri velikem številu metov kocke. klasično pri 1001. metu sta oba izida enako verjetna statistično pri 1001. metu je bolj verjetno, da pade grb Po 1000 metih kovanca dobimo 700 grbov

Geometrična definicija verjetnosti: če množico izidov lahko predstavimo geometrično, potem je P(A) razmerje med velikostjo (dolžino, ploščino, prostornino. . . ) množice A in velikostjo množice vseh izidov. Primer Kovanec s premerom 2 cm vržemo na tla pokrita s ploščicami s stranico 10 cm. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da kovanec pokrije stik dveh ploščic? P(A)=82/102=0. 64 Za uporabo je odločilna verjetnost, ‘izmerjena’ po statistični definiciji. Klasična in geometrična definicija sta običajno dobra približka.

Pogojna verjetnost Primer Izvleček rastline digitalis je strupen, vendar lahko pomaga srčnim bolnikom. Ugotavljanje zastrupitve je zelo zahtevno. V neki raziskavi so primerjali koncentracijo digitalisa v krvi s prisotnostjo znakov zastrupitve. K+/K-: visoka/nizka koncentracija digitalisa v krvi Z+/Z-: prisotnost/odsotnost znakov zastrupitve relativne frekvence Verjetnost zastrupitve P(Z+)=0. 318 Verjetnost zastrupitve ob visoki koncentraciji digitalisa P(Z+|K+)=0. 185/0. 289=0. 640 Verjetnost nezastrupitve P(Z-)=0. 682 Verjetnost nezastrupitve ob nizki koncentraciji digitalisa P(Z-|K-)=0. 578/0. 711=0. 848

A, B dogodka ( P(B)≠ 0 ) Pogojna verjetnost dogodka A pri pogoju B je P(AB) P(A|B)= ______ P(B) Pogojna verjetnost P(A|B) je delež dogodka A med poskusi, pri katerih se zgodi dogodek B. Primer Predpostavimo, da je verjetnost dežja (A) v oblačnem vremenu (B) enaka 0. 4 in da je verjetnost oblačnega vremena 0. 6. Tedaj je verjetnost, da bo deževalo P(A)=P(AB) = P(A|B). P(B)=0. 4. 0. 6=0. 24

S pomočjo pogojne verjetnosti lahko izračunamo verjetnost dogodka, ki je rezultat dvostopenjskega poskusa: H 1 Izide na prvi stopnji razdelimo na nezdružljive dogodke H 1, H 2, . . . , Hn. Poznati moramo verjetnosti P(Hi) in pogojne verjetnosti P(A|Hi ). Tedaj je H 3 H 2 A H 4 formula o popolni verjetnosti Primer ? ? Iz škatle s petimi rdečimi in tremi modrimi kroglicami izvlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da sta iste barve? M: prva kroglica je modra R: prva kroglica je rdeča baza A: druga kroglica je iste barve kot prva P(M)=3/8 P(R)=5/8 P(A|M)=2/7 P(A|R)=4/7 P(A)=6/56+20/56=13/28

H 1, H 2, . . . , Hn baza dogodkov P(Hi|A)=P(AHi)/P(A)= P(A|Hi). P(Hi)/P(A) Bayesova formula Primer Raziskave zanesljivosti poligrafov (detektorjev laži) kažejo, da naprava zazna lažen odgovor v 88% primerov in da zazna resničen odgovor v 86% primerov. Ob testiranju večjega števila ljudi (npr. kandidatov za zaposlitev), na vprašanje, pri katerem velika večina (npr. 99%) nima razlogov lagati, poligraf pri enem od vprašanih zazna simptome lažnega odgovora. Kolikšna je verjetnost, da je vprašani govoril resnico? L: vprašani laže P(L)=0. 01 R: vprašani govori resnico P(R)=0. 99 P: poligraf zazna laž P(P|L) =0. 88 P(N|L) =0. 12 N: poligraf zazna resnico P(N|R)=0. 86 P(P|R)=0. 14 P(P|R). P(R) P(R|P)= _____________ =. . P(P|R) P(R)+ P(P|L) P(R|P)=? 0. 14. 0. 99 _______________ 0. 14. 0. 99 + 0. 88. 0. 01 = 0. 94 Verjetnost, da je vprašani govoril resnico, čeprav je poligraf zaznal laž, je 94%!

A je neodvisen od B, če je P(A|B)=P(A) ⇔ P(AB)=P(A)P(B) A in B sta neodvisna ⇔ P(AB)=P(A). P(B) Primer Iz škatle, v kateri imamo 7 polnih in 3 prazne baterije naključno vzamemo dve. Naj bo A dogodek, da je prva baterija polna, B pa dogodek, da je druga baterija polna. Ali sta dogodka A in B neodvisna? Dogodka A in B sta odvisna.

Primer • V sobi je n oseb. Kolikšna je verjetnost, da imata dve rojstni dan na isti dan? Dogodek A: dve osebi imata rojstni dan na isti dan. Nasprotni dogodek: vsi rojstni dnevi so različni. Ai dogodek, da ima (i+1)-vi različen rojstni dan od prvih i; Ai so medsebojno neodvisni ⇒ 23 oseb ⇒ P(A)>50% 32 oseb ⇒ P(A)>75% 47 oseb ⇒ P(A)>95%

Slučajne spremenljivke Če vržemo dve kocki, dobimo za vsoto pik število med 2 in 12, vendar te vsote ne moremo vnaprej napovedati, saj je odvisna od slučaja. Podobno velja za število šestic v dveh metih. Primeri količin odvisnih od slučaja: • število potnikov mestnega avtobusa, ki izstopijo na postaji • število metov potrebnih, da igralec z določene razdalje zadane koš • število bonbonov v vrečki • življenjska doba žarnice • teža hlebca kruha . . . Slučajna spremenljivka je funkcija, katere vrednosti so odvisne od slučaja. Določa jo njena: § zaloga vrednosti = nabor vrednosti, ki jih lahko zavzame, in § porazdelitev = verjetnost, da zavzame eno ali več vrednosti iz zaloge

Primer Pri metu dveh kock je možnih 36 različnih in enako verjetnih izidov. Če z V označimo vsoto pik, je pripadajoča porazdelitev verjetnosti: Vsi ostali izidi imajo verjetnost 0. Funkcija p. V(n) = P(V=n) je verjetnostna gostota slučajne spremenljivke V.

Slučajna spremenljivka X je diskretna, če zavzame končno ali največ števno mnogo vrednosti x 1, x 2, x 3, . . . Njena porazdelitev je povsem določena z gostoto p. X(x)=P(X=x). Običajno naštejemo le neničelne vrednosti: p(x 1), p(x 2), p(x 3), . . . Velja: Primeri diskretnih porazdelitev Ø enakomerna porazdelitev • X zavzame vrednosti x 1, x 2, . . . xn • p. X (x)=1/n, če je x∈{x 1, x 2, . . . xn} p. X (x)=0, sicer Število pik pri metu kocke je enakomerno porazdeljeno: zaloga vrednosti je {1, 2, 3, 4, 5, 6}, vse vrednosti imajo verjetnost 1/6.

Ø binomska porazdelitev Poskus ponovimo n-krat: naj bo vsakič verjetnost uspeha enaka p (in verjetnost neuspeha 1 -p). (npr. žogo vržemo 10 -krat na koš; zadanemo z verjetnostjo 70%) Slučajna spremenljivka B naj bo število uspešnih poskusov. Kako je porazdeljena? (tj. kakšna je verjetnost, da bomo imeli k zadetkov? ) • Zaloga vrednosti spremenljivke B je {0, 1, 2, . . . , n} • Privzamemo, da so izidi poskusov medsebojno neodvisni. Obstaja različnih zaporedij k uspešnih in (n-k) neuspešnih poskusov; verjetnost vsakega zaporedja je pk(1 -p)n-k. npr. verjetnost, da koš zadanemo natanko 6 -krat je

binomska porazdelitev b(n, p) Porazdelitev spremenljivke B za n=10 in p=0. 7: b(20, 0. 4) b(100, 0. 65)

Lastnosti binomske porazdelitve b(n, p): § značilna zvonasta oblika grafa § maksimum pri n. p (približno) § za velike n so vse verjetnosti zelo majhne ali celo zanemarljive • tedaj je bolj smiselno verjetnosti opazovati kumulativno: P(B ≤ k) ali intervalsko: P(j ≤ B ≤ k) Primer Žogo vržemo na koš 100 -krat (verjetnost zadetka je 70%). Kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli več kot 65 -krat? 83. 7% Kaj je bolj verjetno: da bomo v 10 metih zadeli 10 -krat ali v 100 metih več kot 80 -krat? § računanje je zelo zamudno in numerično zahtevno

Ø geometrična porazdelitev Ponavljamo poskus z verjetnostjo uspeha p. Slučajna spremenljivka G je število poskusov, potrebnih za prvi uspeh. Kako je porazdeljena? • Zaloga vrednosti spremenljivke G je {1, 2, 3, . . . } • P(G=k)=p. (1 -p)k-1 p=0. 2

Ø Poissonova porazdelitev p(a) • zaloga: {0, 1, 2, 3, . . . } • porazdelitev: Če je a=n. p majhen, je Poissonova porazdelitev zelo dober za binomsko porazdelitev. približek Uporaba: § modeliranje emisije -delcev v danem časovnem intervalu § modeliranje časovnih vrst (vrste pred bančnimi okenci, gostota prometa, obremenitve telefonskega omrežja) § modeliranje redkih nesreč v zavarovalništvu (npr. čebelji piki, padci pod tušem). . . .

Zvezne slučajne spremenljivke Kadar je zaloga slučajne spremenljivke X neštevna (npr. življenjska doba žarnice), potem ne moremo našteti verjetnosti posameznih izidov in jim povrhu običajno sploh ne moremo pripisati pozitivne verjetnosti. V tem primeru opišemo porazdelitev s pomočjo funkcije p. X(x), ki jo imenujemo gostota slučajne spremenljivke X. Za funkcijo p. X(x) velja: Z njo računamo podobno, kot z diskretno gostoto, le da vsote nadomestimo z integrali: P(a≤X ≤ b) = verjetnost, da X zavzame vrednost med a in b (npr. da je življenjska doba žarnice med a in b ur)

Primeri zveznih porazdelitev Ø enakomerna porazdelitev na [0, 1], gostota: 1 0 1 na [a, b], gostota: a b

Ø eksponentna porazdelitev a Podobna Poissonovi; uporaba pri modeliranju življenjske dobe, modeliranju vpliva mamil na živčne receptorje, napovedovanju potresov. . .

Ø Normalna porazdelitev N(a, ) podana z gostoto: Primeri § zvonasta oblika § maksimum pri a § simetrična glede na a

gostota N(0, ) za različne : N(0, 1) je standardizirana normalna porazdelitev; njena gostota je poljubno normalno porazdelitev lahko izrazimo s pomočjo standardizirane

Pri kumulativni verjetnosti je težava, da integral gostote ni elementarna funkcija. Pomagamo si s tabelo za funkcijo Ker je funkcija (x) liha, so tabelirane le njene vrednosti za pozitivne x. (1. 02)=0. 3461 (-0. 89)=- (0. 89)=-0. 3132

Če je X standardizirano normalna N(0, 1), je Če pa je X normalna N(a, s), je (dobimo z uvedbo nove spremenljivke v integral) Primer Slučajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N(1. 5, 0. 2). Kolikšna je verjetnost, da X zavzame vrednost med 1 in 1. 5?

X porazdeljena po N(a, ): -3 -2 - 68% 95% 99. 5% 2 3

Primerjava binomske, Poissonove in normalne porazdelitve b(100, 0. 02) P(2) N(2, 1. 4) b(50, 0. 4) P(20) N(20, 1. 4) Normalna porazdelitev je običajno boljši približek za binomsko kot Poissonova. Ko je produkt n. p majhen (in n dovolj velik) pa je Poissonov približek boljši.

Povprečna vrednost X diskretna, vrednosti xk, gostota p(xk) X zvezna, gostota p(x) povprečna vrednost spremenljivke X Primer Ruleta ima številke od 1 do 36 ter še 0 in 00. Če vložiš 1 Euro na sode, dobiš ali zgubiš 1 Euro glede na to ali kroglica pade na sodo oziroma liho številko. Življenjska doba žarnice je porazdeljena eksponentno. Kolikšna je, v povprečju, njena življenjska doba? Dobiček X je +1 z verjetnostjo 18/38 in -1 z verjetnostjo 20/38. Povprečni dobiček je Če vložiš 1 Euro na izbrano številko (npr. 25) dobiš 36 Eurov če kroglica pade na 25, v nasprotnem pa zgubiš 1 Euro. Povprečni dobiček je

Lastnosti povprečne vrednosti V vodiču smo prebrali, da je junija povprečna maksimalna dnevna temperatura v Rimu 77 o. F. Kolikšno je povprečje v Co? Poznamo , zanima nas : Za povprečno vrednost velja: Povprečna temeperatura je 25 o. C.

Razpršenost Mera za odstop od povprečne vrednosti: razpršenost (varianca, disperzija) m=E(X) računska formula:

Primer Kako je razpršeno število pik pri metu kocke? standardni odklon slučajne spremenljivke X Primer Standardni odklon pri metu kocke je Lastnosti razpršenosti in standardnega odklona

Povprečna vrednost in razpršenost nekaterih porazdelitev diskretne enakomerna binomska b(n, p) geometrijska Poissonova P(a) zvezne enakomerna eksponentna normalna N(a, s) zaloga gostota E(X) D(X) s(X)

Primer Igralec zadane v povprečju 70% metov na koš. Kaj je bolj verjetno: da bo v 10 metih zadel 10 -krat ali v 100 metih več kot 80 -krat? P(10 zadetkov iz 10 poskusov)=0. 710=0. 028 P(več kot 80 zadetkov iz 100 poskusov)= Prva možnost je trikrat (!) bolj verjetna. Zakaj je tako? Pri večjem številu poskusov je odklon od povprečja manj verjeten. Zakon velikih števil

Statistika Formulacija problema: § opazujemo neko množico (končno ali neskončno), ki ji pravimo populacija; (npr. prebivalci Slovenije, izdelki neke tovarne, bolniki z neko boleznijo, delnice na borzi) § vsak element populacije ima neko merljivo lastnost X; (npr. starost, kakovost izdelka, učinek zdravila, cena delnice) § vrednost X je zaradi nekega razloga (velikost populacije, način ugotavljanja, . . . ) znana le na delu populacije, ki mu pravimo vzorec; Osnovni problem statistike: Kaj lahko povemo o lastnosti X na podlagi njenih vrednosti na danem vzorcu?

Vzorčenje Če je vzorec naključno izbran, so vrednosti X na vzorcu slučajna spremenljivka. Enako velja za vse količine (povprečja, standardni odkloni. . . ), ki jih lahko izračunamo iz teh vrednosti. Idealni vzorec je reprezentativen, tj. značilnosti X na vzorcu se ujemajo z značilnostmi na celotni populaciji. Pri naključnem vzorcu lahko določimo verjetnost, da je reprezentativen. V nekaterih primerih skušamo reprezentativnost doseči z dirigiranim vzorčenjem (npr. onesnaženje običajno merijo na stalnih lokacijah). Obstaja nevarnost, da je takšno vzorčenje pristransko. Omejili se bomo na primere, ko je izbira vzorca povsem naključna. To pomeni, da vzorec izbiramo zaporedoma in pri tem ima vsak element populacije enako verjetnost, da se znajde v vzorcu.

Populacijski parametri: Vzorčni parametri: § velikost populacije: N § velikost vzorca: n § vrednosti X na populaciji: § vrednosti X na vzorcu: x 1, x 2, . . . , x. N X 1, X 2, . . . , Xn § populacijsko povprečje: § vzorčno povprečje: § populacijska razpršenost: § vzorčna razpršenost:

rezultati kolokvija Opisovanje podatkov in računanje parametrov intervali dolžine 5 intervali dolžine 10 Običajno tvorimo 10 -20 kategorij. Zaželjeno je, da je v večini kategoriji vsaj 5 enot. Pri računanju povprečja in razpršenosti upoštevamo sredine intervalov.

Intervalsko ocenjevanje Vzorčno povprečje in razpršenost sta približka za populacijsko povprečje in razpršenost. Primer simulirali smo 10 zaporedij po 100 metov kocke in dobili naslednjo tabelo: s 3. 59 1. 800 3. 47 1. 687 3. 94 1. 605 3. 44 1. 930 3. 68 1. 567 3. 28 1. 789 3. 53 1. 602 3. 43 1. 692 3. 42 1. 668 3. 50 1. 609 Kolikšna sta povprečna vrednost in standardni odklon pri metu kocke?

Osnovno vprašanje: kako na podlagi vzorčnih parametrov oceniti dejanske populacijske parametre? (pri metu kocke je teoretično povprečje 3. 5, standardni odklon pa 1. 707) Pri numeričnih metodah določimo približek in oceno za napako približka. Dejanska vrednost je nekje na intervalu okoli približka. Na podlagi vzorca ni mogoče sklepati o parametrih populacije s 100% zanesljivostjo. . . , . . . lahko pa določimo interval, za katerega je zelo verjetno, da vsebuje iskani populacijski parameter.

Naj bo količina X normalno porazdeljena na celotni populaciji. Privzamimo, da je standardni odklon znan, povprečje a pa ne. Na vzorcu velikosti n dobimo vrednosti X 1, X 2, . . . , Xn in izračunamo njihovo povprečje Velja: je normalno porazdeljena; je porazdeljena po N(0, 1). Z več kot 95% verjetnostjo lahko zagotovimo, da je populacijsko povprečje na intervalu .

Podobno dobimo: Z več kot 99. 7% verjetnostjo je populacijsko povprečje vsebovano v intervalu . Verjetnost, s katero se iskani parameter nahaja na nekem intervalu je stopnja zaupanja. Pripadajoči interval je interval zaupanja. Večja stopnja zaupanja ali večja razpršenost ⇒ širši interval zaupanja. Večji vzorec ⇒ ožji interval zaupanja.

Splošni postopek za določanje intervala zaupanja za populacijski parameter u: 1) 2) 2) določimo vzorčni parameter ū, ki je primerni približek za u (npr. za povprečje ali s 2 za razpršenost) določimo porazdelitveni zakon vzorčnega parametra ū (npr. normalni, binomski, . . . ; to je najzahtevnejši korak - praviloma se omejimo na standardne primere) 3) izberemo stopnjo zaupanja (običajno =95% ali =99%) 4) 5) na podlagi porazdelitve in vrednosti vzorčnega parametra ū na danem vzorcu določimo interval zaupanja [U 1, U 2] za u, ki pripada izbrani stopnji zaupanja ( tako, da velja P(U 1 ≤ u ≤ U 2) = ).

Primer Na podlagi simulacij določimo intervale zaupanja s 95% stopnjo zaupanja za povprečno število točk pri metu kocke. 1) populacijski parameter je povprečje , približek pa vzorčno povprečje 2) vzorec je sorazmerno velik (n=100), zato smemo privzeti, da je normalno po N( , 0. 8) (standardizirano povprečje 3) pri stopnji zaupanja =95% je rešitev enačbe 4) P(|Z| ≤ z )=0. 95 5) z 0. 95=1. 96 4) 5) pa je porazdeljeno po N(0, 1)) Iz (oziroma (z )=0. 4750) (preberemo iz tablic) sledi interval zaupanja Podobno dobimo z 0. 99=2. 58 in interval zaupanja na stopnji zaupanja 99% je , torej je porazdeljen

interval zaupanja s 95% 99% 3. 59 1. 800 [3. 237, 3. 942] [3. 125, 4. 054] 3. 47 1. 687 [3. 139, 3. 800] [3. 034, 3. 905] 3. 94 1. 605 [3. 625, 4. 254] [3. 495, 4. 354] 3. 44 1. 930 [3. 061, 3. 818] [2. 941, 3. 938] 3. 68 1. 567 [3. 372, 3. 987] [3. 275, 4. 084] 3. 28 1. 789 [2. 929, 3. 630] [2. 818, 3. 741] 3. 53 1. 602 [3. 215, 3. 844] [3. 116, 3. 943] 3. 43 1. 692 [3. 098, 3. 761] [2. 993, 3. 866] 3. 42 1. 668 [3. 092, 3. 747] [2. 989, 3. 850] 3. 50 1. 609 [3. 184, 3. 815] [3. 084, 3. 915]

Pri manjših vzorcih in neznanem standardnem odklonu privzetek o normalni porazdeljenosti ni več upravičen. Običajno dobimo za približek porazdelitev, ki je odvisna od velikosti vzorca. Primer Količina X je porazdeljena normalno po N(a, ), pri čemer sta oba parametra neznana. Dobiti želimo interval zaupanja za populacijsko povprečje a. Dan je vzorec velikosti n: parameter a ocenimo z , parameter 2 pa z s 2 in tvorimo novo spremenljivko Velja: T je porazdeljena po t. im. Studentovem zakonu S(n-1) Nadaljevanje je kot prej: za izbrano stopnjo zaupanja iz tabel določimo t , , da velja P(|T| ≤ t )= Interval zaupanja za a na stopnji zaupanja je

Studentova porazdelitev S(n-1) ima gostoto S(1) S(2) S(3) S(4). . . N(0, 1)

Tabela majhnih vrednosti porazdelitve S(n) parameter n (‘stopnje prostosti’) mejna vrednost na stopnji zaupanja 1 - ( P(|T| ≤ t )=1 - ) 95% 99%

Intervalska ocena za standardni odklon pri normalni porazdelitvi Populacijsko razpršenost 2 primerjamo z vzorčno s 2: Velja: 2 je porazdeljena po zakonu ‘hi-kvadrat’ 2(n-1) Porazdelitvena gostota ni simetrična, zato za izbrano stopnjo zaupanja poiščemo 2 a in 2 b , da velja P( 2 ≤ 2 a )=P( 2 ≥ 2 b )=1 - /2 2 a ⇒ P( 2 a ≤ 2 b )= Interval zaupanja za 2 na stopnji zaupanja je 2 b

Hi-kvadrat porazdelitev 2(n) ima gostoto Za velike n (n > 30) je (x > 0)

Tabela majhnih vrednosti porazdelitve 2(n) parameter n (‘stopnje prostosti’) mejna vrednost 2 ( P( 2 ≥ 2 )= )

Preskušanje statističnih domnev Statistična domneva je trditev o porazdelitvenem zakonu slučajne spremeljivke, ki jo želimo potrditi ali ovreči na podlagi vrednosti, ki jih zavzame na nekem vzorcu. parametrične domneve (trditve o parametrih znanega porazdelitvenega zakona, npr. Poissonovo porazdeljena spremenljivka ima povrečje a) neparametrične domneve (trditve o naravi porazdelitvenega zakona, npr. spremenljivka je normalno porazdeljena)

primerjamo dve domnevi: H 0: ničelna domneva in H 1: alternativna domneva (npr. H 0 trdi, da porazdelitev ustreza zakonu P(2), H 1 pa, da ustreza zakonu P(3. 5)) Domneva je enostavna, če v celoti določa porazdelitev (tip in parametre), sicer pravimo, da je sestavljena. (npr. če H 0 trdi, da je porazdelitev Poissonova z neznanim parametrom - H 1 pa, da ni Poissonova, sta obe sestavljeni) Omejili se bomo na nekaj značilnih primerov preskušanja parametričnih domnev, ko je vsaj ničelna domneva enostavna.

Primer Leta 2003 je bilo v Sloveniji 17321 živorojenih otrok, od tega 8930 dečkov in 8391 deklic. Zanima nas, ali so te številke v nasprotju s privzetkom, da je rojstvo dečka enako verjetno kot rojstvo deklice. Za slučajno spremenljivko X vzamemo število rojstev dečkov. Privzeti smemo, da je X porazdeljena po binomskem zakonu b(n, p). Za H 0 vzamemo enostavno domnevo, da je pri tem p=0. 5, za alternativo H 1 pa sestavljeno domnevo, da je p > 0. 5. Izberemo majhno število (npr. 0. 05 ali 0. 01) in poiščemo kritično vrednost c , da je pri pogoju p=0. 5 verjetnost P(X > c )=. Če je število dečkov večje od c , bomo H 0 zavrnili, v nasprotnem primeru pa ne. je značilnost preskusa

Binomsko porazdelitev b(17321, 0. 5) aproksimiramo z N(a, ), kjer je a=17321. 0. 5=8660. 5, 2=17321. 0. 5. (1 -0. 5)=4330. 25 in =65. 80. Za značilnost preskusa vzamemo =0. 05. Ker je dejanska vrednost (8930) večja od c 0. 05, ničelno domnevo zavrnemo. Pri 1% značilnosti preskusa bi dobili c 0. 01=8813. 5, torej bi domnevo zavrnili tudi pri tem ostrejšem preskusu.

Enostavna parametrična domneva u=u 0 ima tri alternativne parametrične domneve: sprejmemo zavrnemo u > u 0 u < u 0 zavrnemo sprejmemo c u ≠ u 0 c u 0 zavrnemo sprejmemo c 1 u 0 zavrnemo c 2 Za prvo in drugo alternativo pravimo, da sta enostranski, za tretjo pa, da je dvostranska. Primer Pri preskušanju trdnosti nekega materiala je smiselna enostranska alternativa, saj nas ne moti, če je le-ta trdnejši kot pričakujemo. Pri preskušanju odstopov velikosti vijaka glede na matico pa raje oblikujemo dvostransko alternativo.

Z porazdeljena po N(0, 1) - kako določimo c ? dvostranski preskus: enostranski preskus: Podobno ravnamo pri drugih preskusih. Pri t-testu tvorimo in upoštevamo, da je T porazdeljen po zakonu S(n-1). Kritične vrednosti za dvostranski poskus pri značilnosti so v (n-1)-vi vrstici in stolpcu, ki ustreza . Kritične vrednosti za enostranski poskusa pa so v stolpcu, ki ustreza .

Primer Povprečje 10 meritev gostote neke snovi nam je dalo 1. 35 g/cm 3, čeprav bi teoretično pričakovali gostoto 1. 2 g/cm 3. Na podlagi izkušenj vemo, da je pri tovrstnem merjenju standardna napaka =0. 25. Ali na podlagi tega lahko zavrnemo H 0( =1. 2 g/cm 3)? Značilnost preskusa naj bo 5%. 1. ) H 1( ≠ 1. 2) (dvostranski preskus) Ničelne domneve ne zavrnemo. (testna vrednost je manjša od kritične) 2. ) H 1( > 1. 2) (enostranski preskus) Ničelno domnevo zavrnemo. (testna vrednost je večja od kritične) Pri sestavljeni alternativi lahko manj verjetni del alternative zmanjša možnost za izključitev ničelne domneve.

Primer Na bolnikih so preskušali vpliv dveh zdravil (A in B) proti nespečnosti. Ali lahko na podlagi podatka o dodatnem številu ur spanja sklepamo o tem, da je eno zdravilo bolj učinkovito od drugega? Privzemimo, da imamo rezultate vpliva obeh zdravil na istih bolnikih. (parni t-test) Tvorimo razliko Z=X-Y, za katero lahko privzamemo, da je porazdeljena normalno, po zakonu N(a, ). Primerjamo H 0(a=0) proti H 1(a≠ 0). Pri 95% stopnji zaupanja domnevo, da sta zdravili enakovredni zavrnemo.