Matematika SMKMAK Kelas XI Semester 1 Disusun oleh

Matematika SMK/MAK Kelas XI Semester 1 Disusun oleh: Tyas Ika Utami Disklaimer Daftar isi

Disklaimer • Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. • Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013. • Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja. • Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan. • Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

DAFTAR ISI Bab I. Persamaan dan Fungsi Kuadrat Bab II. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi Bab III. Lingkaran Bab IV. Logika Matematika Bab V. Dimensi Tiga

BAB I Persamaan dan Fungsi Kuadrat A. Persamaan Kuadrat B. Nilai Diskriminan, Rumus Jumlah, Hasil Kali Akar-akar serta Menyusun Persamaan Kuadrat Baru C. Fungsi Kuadrat Kembali ke daftar isi

A. Persamaan Kuadrat 1. Persamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Kuadrat Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Persamaan Kuadrat a. Pengertian persamaan kuadrat Persamaan kuadrat adalah persamaan yang terdiri atas satu variabel dengan pangkat tertinggi variabelnya dua dan koefisien variabel yang berpangkat dua tidak boleh sama dengan nol. bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x : ax 2 + bx + c = 0 Dengan a, b, dan c bilangan nyata(real) dan a ≠ 0 Perhatikan contoh berikut : X 2 – 10 x + 20 = 0 merupakan persamaan kuadrat x 2 + y 2 – 2 x + 5 = 0 bukan merupakan persamaan kuadrat. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Penyelesaian Persamaan Kuadrat Penyelesaian persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 adalah nilai-nilai x yang membuat pernyataan ax 2 + bx + c = 0 bernilai benar Perhatikan persamaan kuadrat 2 x 2 + 3 x – 2 = 0 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Menentukan Persamaan Kuadrat 1) Memfaktorkan Langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan: § Ubah persamaan kuadrat ke bentuk umum persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. § Faktorkan persamaan tersebut. § Selesaikan hasil pemfaktoran menggunakan sifat faktor nol. Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh: Coba, Anda lanjutkan penyelesaian tersebut! Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Rumus ABC Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Pertidaksamaan Kuadrat a. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang terdiri atas satu variabel dengan pangkat tertinggi variabelnya dua dan koefisien yang berpangkat duatidak boleh sama dengan nol. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut. 1) ax 2 + bx + c < 0 2) ax 2 + bx + c ≤ 0 3) ax 2 + bx + c > 0 4) ax 2 + bx + c ≥ 0 dengan a ≠ 0 dan a, b, c bilangan nyata atau real Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat c. Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Nilai Diskriminan atau pembeda (D) Dari nilai diskriminan dapat ditentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. § Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian berupa dua akar real yang berbeda. § Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai satu penyelesaian berupa akar real yang sama (kembar). § Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real. Contoh Soal Tentukan nilai p yang memenuhi agar akar-akar persamaan kuadrat (p – 2) x 2 + 2 px + p – 1 = 0 negatif dan berlainan. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat jika x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 maka berlaku Rumus jumlah akar-akar: Rumus hasil kali akar-akar: Rumus selisih akar-akar: Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Hubungan Nilai Diskriminan dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru q Jika diketahui akar-akarnya q Jika diketahui hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat baru dengan akar-akar persamaan kuadrat lama. Nilai α + β dan αβ dapat ditentukan menggunakan nilai pada bentuk x 1 + x 2 dan x 1 x 2 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Fungsi Kuadrat 1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat 2. Bentuk umum fungsi kuadrat dalam x adalah f(x) = ax 2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0 Grafik Fungsi Kuadrat a. Pembuat nol fungsi kuadrat Pembuat nol fungsi adalah nilai x yang membuat persamaan kuadrat bernilai nol atau f(x) = 0 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Sumbu simetri Grafik Fungsi Kuadrat Contoh Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Nilai Balik Fungsi Kuadrat Nilai balik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c adalah Contoh Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

d. Titik Balik Grafik Fungsi Kuadrat Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Sifat Grafik Fungsi Kuadrat Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Menggambar Grafik Fungsi Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Pergeseran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

BAB II KOMPOSISI FUNGSI dan INVERS Komposisi Fungsi dan Invers Komposisi Fungsi Invers Fungsi Kembali ke daftar isi

A. Komposisi Fungsi • Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Sifat-sifat Operasi Aljabar pada Fungsi § Sifat komutatif pada penjumlahan § Sifat asosiatif pada penjumlahan § sifat komutatif pada perkalian § sifat asosiatif pada perkalian Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

contoh: misalkan p(x) = 2 x + 1, q(x) = x - 2, r(x) = 3 x + 2 • Asosiatif • Komutatif § Penjumlahan § Perkalian Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

c. Daerah Asal Fungsi Hasil Operasi Aljabar Dua Fungsi atau Lebih Diketahui Df daerah asal fungsi f dan Dg daerah asal fungsi g. Daerah asal operasi aljabar dua fungsi sebagai berikut. • Daerah asal fungsi (f + g)(x): Df + g = Df ∩ Dg • Daerah asal fungsi (f – g)(x): Df – g = Df ∩ Dg • Daerah asal fungsi (f × g)(x): Df × g = Df ∩ Dg • Daerah asal fungsi (f/g)(x): Df/g = Df ∩ Dg ∩ {x | g(x) ≠ 0} Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Operasi Komposisi Fungsi a. Definisi Komposisi Fungsi b. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi 1) Pada operasi komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif yaitu: 2) Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif yaitu: 3) Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat Identitas yaitu: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Definisi Fungsi Invers Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f = {(x, y) | x A dan y B}, invers fungsi f adalah relasi yang memetakan B ke A. Invers fungsi f dinotasikan sebagai f– 1 dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f– 1 = {(y, x) | y B dan x A}. Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Fungsi Invers invers suatu fungsi belum tentu berbentuk fungsi. Jika invers suatu fungsi berbentuk fungsi, invers tersebut disebut fungsi invers. q Sifat-sifat fungsi invers: Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

q Menentukan invers fungsi jika diketahui grafiknya Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

q Menentukan invers fungsi jika diketahui rumus fungsinya Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

BAB III LINGKARAN A. Persamaan Lingkaran B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran terhadap Lingkaran C. Garis Singgung Lingkaran Kembali ke daftar isi

A. Persamaan Lingkaran 1. Pengertian Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu tersebut disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama itu dinamakan jari-jari lingkaran (radius) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Persamaan Lingkaran § Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang diketahui pusatnya O(0, 0) dan melalui titik (2, 3). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

§ Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

§ Bentuk umum persamaan lingkaran titik pusat = jari-jari = Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran terhadap Lingkaran 1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran 2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran 3. Kedudukan Dua Lingkaran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Kedudukan titik terhadap lingkaran Kedudukan titik (x 1, y 1) terhadap lingkaran dapat ditentukan dengan cara berikut: a. Mensubstitusikan titik tersebut ke dalam lingkaran 1) Titik (x 1, y 1) terletak didalam lingkaran jika: 2) Titik (x 1, y 1) terletak pada lingkaran jika: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3) Titik (x 1, y 1) terletak diluar lingkaran jika: Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Membandingkan jarak antara Titik (x 1, y 1) terhadap pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran Misalkan titik pusat lingkaran di P(a, b) dan d adalah jarak antara titik (x 1, y 1) dan titik P(a, b). jika d < r, titik (x 1, y 1) terletak di dalam lingkaran jika d = r, titik (x 1, y 1) terletak pada lingkaran jika d > r, titik (x 1, y 1) terletak di luar lingkaran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Kedudukan garis terhadap lingkaran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Kedudukan Dua Lingkaran Misalkan: d = jarak titik pusat kedua lingkaran, R = jari-jari lingkaran besar, dan r = jari-jari lingkaran kecil. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Garis Singgung Lingkaran 1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Gradiennya 3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik Pada Lingkaran 4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik di Luar Lingkaran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. pengertian garis singgung lingkaran • garis singgung lingkaran merupakan garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran. titik perpotongan garis singgung dan lingkaran dinamakan titik singgung. pada gambar di atas garis ℓ menyinggung lingkaran di titik A(x 1, y 1). Garis ℓ tegak lurus dengan jari-jari lingkaran PA. titik A(x 1, y 1) dinamakan titik singgung. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya Misalkan m adalah gradien garis singgung lingkaran a. Persamaan garis ℓ pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r b. Persamaan garis ℓ pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran Misalkan titik (x 1, y 1) terletak pada lingkaran: a. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 di titik T: b. Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 di titik T: c. Persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 di titik T: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik di Luar Lingkaran Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (15, － 5) terhadap lingkara L: x 2 + y 2 = 225. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

BAB IV LOGIKA MATEMATIKA A. Pernyataan dan Ingkarannya B. Pernyataan Majemuk dan Pernyataan Berkuantor C. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen dan Ingkarannya D. Penarikan Kesimpulan Kembali ke daftar isi

A. Pernyataan dan Ingkarannya 1. Pengertian Pernyataan (kalimat deklaratif) adalah kalimat yang mempunyai kebenaran tertentu. Maksudnya kalimat tersebut bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak sekaligus bernilai benar dan salah. Ada dua macam kebenaran, yaitu: § kebenaran empiris (berdasarkan kenyataan pada saat itu). contoh: pukul 15. 00 WIB di sekitar Monas terjadi hujan ringan. § kebenaran non empiris (kebenaran mutlak). contoh: 28 merupakan angka yang habis dibagi 7. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih memuat variabel. nilai variabel yang membuat kalimat terbuka bernilai benar disebut penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. contoh kalimat terbuka adalah “ 4 + x = 9”. kalimat terbuka tersebut bernilai benar untuk x = 5 yaitu “ 4 + 5 = 9” dan menjadi pernyataan bernilai salah untuk x selain 5, misal x = 4, yaitu “ 4 + 4 = 8”. dengan demikian nilai x = 5 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka adalah “ 4 + x = 9”. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Ingkaran (negasi) suatu pernyataan Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Pernyataan Majemuk dan Pernyataan Berkuantor 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Pernyataan Majemuk Operasi Konjungsi Operasi Disjungsi Operasi Implikasi Operasi Biimplikasi Pernyataan Berkuantor Konvers, Invers, dan Kontraposisi Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pernyataan Majemuk Gabungan dari beberapa pernyataan yang dihubungkan dengan tanda hubung logika disebut pernyataan majemuk. Tanda hubung logika misalnya konjungsi (∧), disjungsi (∨), implikasi (⇒), dan biimplikasi (⇔). Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk tergantung dari pernyataan yang menyusunnya. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Operasi Konjungsi pernyataan P dan q adalah penggabungan pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung “dan”. Lambang konjungsi adalah “∧” dibaca “dan”, misalkan p ∧ q dibaca p dan q. Tabel kebenaran konjungsi keterangan: B = bernilai benar S = bernilai salah Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Operasi Disjungsi Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Operasi Implikasi Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

5. Operasi Biimplikasi Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

6. Pernyataan Berkuantor Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

7. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Hubungan antara konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi p ⇒ q sebagai berikut: Contoh soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen dan Ingkarannya Pernyataan majemuk yang ekuivalen adalah pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran yang sama. Contoh: Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Ingkaran Pernyataan Berkuantor Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Negasi Pernyataan Majemuk Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

D. Penarikan Kesimpulan Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

BAB V DIMENSI TIGA A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang B. Jarak Titik, Garis, dan Bidang C. Sudut Garis dan Bidang Kembali ke daftar isi

A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang 1. 2. 3. 4. 5. Kedudukan Titik terhadap Garis Kedudukan Titik terhadap Bidang Kedudukan Garis terhadap Garis Lain Kedudukan Garis terhadap Bidang Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Kedudukan Titik terhadap Garis Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Kedudukan Titik terhadap Bidang Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Tentukan titik sudut yang terletak pada bidang alas limas. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Tentukan pasangan garis yang saling bersilangan. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Kedudukan Garis terhadap Bidang Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Tentukan pasangan garis dan bidang yang saling sejajar. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

5. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

B. Jarak Titik, Garis, dan Bidang 1. 2. 3. 4. 5. 6. Jarak Antara Dua Titik Jarak Antara Titik dan Garis Jarak Antara Titik dan Bidang Jarak Antara Dua Garis Sejajar Jarak Antara Garis dan Bidang Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Jarak Antara Dua Titik Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Jarak Antara Titik dan Garis Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Jarak Antara Titik dan Bidang Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

5. Jarak Antara Garis dan Bidang Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Tentukan jarak antara rusuk PQ dan bidang LMRO. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

6. Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Tentukan jarak antara bidang KNRO dan bidang LMPQ Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

C. Sudut Garis dan Bidang 1. Sudut Antara Dua Garis 2. Sudut Antara Garis dan Bidang 3. Sudut Antara Dua Bidang Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Sudut Antara Dua Garis a. Sudut Antara Dua Garis yang Berpotongan Sudut antara kedua garis dapat ditentukan sebagai berikut 1) Pilih titik A yang terletak pada garis g dan titik B yang terletak pada garis h. 2) Besar sudut APB (∠APB) disebut ukuran sudut antara garis g dan garis h. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

b. Sudut Antara Dua Garis yang Bersilangan Garis g dan garis k bersilangan. Garis k terletak pada bidang ɑ, sedangkan garis g menembus bidang α di titik P. Sudut antara kedua garis itu apat ditentukan dengan cara sebagai berikut. 1) Buatlah garis k' melalui titik P dan sejajar garis k 2) Pilih titik C yang terletak pada garis g dan titik D yang terletak pada garis k' 3) Besar ∠CPD disebut ukuran sudut antara garis g dan garis k. Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

2. Sudut Antara Garis dan Bidang Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

3. Sudut Antara Dua Bidang Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

Contoh Soal Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab