Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Tugas

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Tugas kelompok 3 Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Analisis real PERTIDAKSAMAAN Nilai Mutlak Supremum dan Infimum 1. RASMA MANDJUR 214120043 2. WIDYA NINGSIH 1215 120 092 3. FRIDOLIN 214120033 Matematika V B Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Modul Pembelajaran Matematika Kelas X semester 1 Nilai mutlak PERTIDAKSAMAAN No. 1 Tuliskan defenisi nilai mutlak suatu bilangan real dan jelaskan dengan contoh Penyelesaian

NILAI MUTLAK No. 2 Tunjukkan bahwa :

Lanjutan No. 2

Nilai Mutlak No. 3 Buktikan pernyataan berikut : BUKTI :

Nilai mutlak No. 4 Tuliskan defenisi: persekitaran –ε dari a dan jelaskan dengan contoh! Contoh: Penyelesaian

Nilai Mutlak No. 5 Jika a ∈ R, tunjukkan bahwa:

Nilai Mutlak No. 6

Nilai mutlak No. 7 Pernyataan di atas salah. Bukti penyangkalan: Penyelesaian

Nilai Mutlak No. 8 Perhatikan bahwa :

Nilai Mutlak No. 9 Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut :

Nilai mutlak No. 10 Bukti Perhatikan bahwa: v a < x < b jelas bahwa x < b, sehingga : x < b x – a < b – a . . . (kedua ruas dikurangi a). . . (1) v a < y < b jelas bahwa y < b, sehingga : y < b y – a < b – a . . . (kedua ruas dikurangi a). . . (2) Ø dari persamaan (1) dan (2) diperoleh bahwa :

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 11 Tuliskan defenisi supremum dan infimum dan jelaskan dengan contoh ! Jawab Defenisi I : Misalkan S himpunan bagian R. a. Suatu bilangan a di R disebut batas S jika s ≤ u untuk setiap s ∈ S. b. Suatu bilangan w di R disebut batas bawah s jika s ≥ u untuk setiap s ∈ S. Defenisi II : Misalkan S himpunan bagian R a. Jika S terbatas di atas, maka disebut supremum (batas terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas yang lain dari S. b. Jika S terbatas di bawah, maka disebut infimum (batas bawah terkecil) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas yang lain dari S.

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 12 Bukti Andaikan kesimpulan dari teorema di atas tidak benar, yaitu untuk setiap n N terdapat x sehingga x > n Oleh karena itu x adalah batas dari N, sehingga dengan menggunakan sifat supremum, maka himpunan tak kosong N mempunyai supremum u di dalam . Karena u – 1 < u dengan Lemma 2. 4. 4 maka terdapat m N sehingga u – 1 < m. Tetapi akibatnya u < m + 1. Karena m + 1 N, maka terjadi kontradiksi dengan asumsi bahwa u adalah batas dari N.

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 13 Misalkan z dan y bilangan real positif, maka : a. Terdapat bilangan n di N sehingga berlaku z < ny c. Terdapat bilangan n di N sehingga berlaku n – 1 ≤ z < n.

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 14 Penyelesaian

Lanjutan No. 14

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 15 Jika x, y di R dengan x < y maka terdapat bilangan rasional r sehingga berlaku x < r < y. buktikan ! Bukti

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 17 No. 16 Jika x dan y di R danberlaku x < y maka terdapat bilangan irrasional r sehingga berlaku x < r< y. Buktikan! Bukti Tentukan infimum dan supremum dari: a) {1+(1/n)} Bukti

Lanjutan No. 17 c. {1 -(-1/n)} b. {1+(-1/n)} Bukti

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 18 Diberikan himpunan tak kosong S dan terbatas di R. Tunjukkan bahwa, (1) Sup (a A) = a. Sup A jika (a > 0) dan (2) Inf (a. A) = a. inf A jika (a > 0). Jawab

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 19 Diberikan himpunan tak kosong A dan terbatas di R. Tunjukkan bahwa, (1) Sup (a. A) a. inf A jika (a<0) dan (2) inf (a. A) = a. Sup A jika (a<0). Jawab

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 20 Diberikanhimpunantakkosong. S danterbatas di R. Tunjukkanbahwa, inf S ≤ Sup S Bukti Inf S ≤ Sup S Misalkan a = inf S, maka a batas bawah dari S dan a ≥ w (Ʉ w batas bahwa S). Misalkan b = sup S, maka b batas dari S dan b ≤ v (Ʉ v batas S). Karena w ≤ v maka a ≤ b atau inf S ≤ sup S

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 21 Diberikan himpunan S={1 -(-1)n/n, nєN}, tentukan. Inf S dan Sup S Bukti Jadi, Sup S = 2 dan Inf S = 0

SUPREMUM DAN INFIMUM No. 22 Diberikan himpunan tak kosong S dan terbatas di R. Jika S = Sup S apa kesimpulan anda. Jika S = Sup S, maka himpunan S tidak memiliki batas bawah dan tunggal di Sup S No. 23 Diberikan himpunan tak kosong A dan B terbatas di R. Didefinisikan S = {a+b, aєA, bєB}. Tunjukkan bahwa, (1) Sup(A) + Sup(B) = Sup S dan (2) Inf (S) = Inf(A) + Inf(B). bukti

Lanjutan No. 23 a. Pertama kita menunjukkan bahwa sup(A +B) ≤ Sup A + sup B. Jika a ϵ A dan b ϵ B kemudian a +b ≤ Sup A + sup B. Oleh karena itu Sup A + sup B adalah batas untuk A + B. Dengan definisi dari Sup (A +B), hasilnya yaitu Sup(A + B) ≤ Sup A + sup B. b. Untuksembaranga ϵ A danb ϵ B, berlaku a ≥ inf A dan b ≥ inf B. sehinggaa + b ≥ inf A + inf B. Jadi, A + B terbatas di bawah oleh inf A + inf B. Ambil ε>0 sembarang. Piliha ϵ A danb ϵ B sedemikian sehinggaa < inf A + ε /2 danb < inf B + ε /2. Maka, a + b < inf A + inf B + ε. Jadi, Inf (A + B) = Inf A + Inf B.

JANGAN MIMPIKAN HIDUPMU, TAPI JALANILAH MIMPIMU END