Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

4. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesai an masalah Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

4. 2 Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

1 2 3 4 Menentukan sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa. Menentukan faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor. Menyelesaikan persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor Membuktikan teorema sisa dan teorema faktor Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear Teorema Sisa : 1. Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (x – k), maka sisanya adalah s = f(k). 2. Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (ax + b), maka sisanya adalah s = Bukti : f(x) = (x – k). H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k – k). H(k) + s f(k) = 0 + s Sisa s = f(k) (terbukti) Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Contoh soal : 1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3 x 4+4 x 3–x 2+5 x– 7) oleh (x – 2) Jawab : S = f(2) = 3. 24 + 4. 23 – 22 + 5. 2 – 7 = 3. 16 + 4. 8 – 4 + 10 – 7 = 48 + 32 – 1 = 79 Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79 2. Suku banyak (2 x 3 + ax 2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2 x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a+b! Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

2. Suku banyak (2 x 3 + ax 2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2 x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b ! Jawab : f(x) = (2 x 3 + ax 2 + bx – 2) s = 7 jika dibagi (2 x – 3) s= =7 s= =2 +a +b – 2=7 x 4 27 + 9 a + 6 b = 36 9 a + 6 b = 9 : 3 3 a + 2 b = 3. . . (1) f(x) habis dibagi (x + 2) s = f(– 2) = 0 s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0 s = f(– 2) = – 16 + 4 a – 2 b – 2 = 0 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

s = f(– 2) = – 16 + 4 a – 2 b – 2 = 0 4 a – 2 b = 18 : 2 2 a – b = 9…. . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b : (1)…. 3 a + 2 b = 3 x 1 3 a + 2 b = 3 (2)…. 2 a – b = 9 x 2 4 a – 2 b = 18 + 7 a = 21 a=3 Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada persamaan (1) atau (2)…. 2. 3 – b = 9 b = – 3 Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b) Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b) Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b), selalu dapat dituliskan : f(x) = p(x). H(x) + s f(x) = (x–a)(x – b). H(x) + s(x) f(x) = (x–a)(x – b). H(x) + (px+q) P adalah koefisien x dan q adalah konstanta Untuk menentukan nilai p dan q lakukan kegiatan 5. 2 pada hal. 173 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Sehingga didapatkan : Jadi : Contoh soal : Tentukan sisa pembagian suku banyak (3 x 4+4 x 3–x 2+5 x– 7) oleh x 2 + x – 6 ! Jawab : F(x) = (3 x 4+4 x 3–x 2+5 x– 7) P(x) = x 2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) a = 2 dan b = - 3 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Jadi : Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Jawab : F(x) = (3 x 4+4 x 3–x 2+5 x– 7) P(x) = x 2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) a = 2 dan b = - 3 f(a) = f(2) = 3. 24 + 4. 23 – 22 + 5. 2 – 7 = 48 + 32 – 4 + 10 – 7 = 79 f(b) = f(- 3) = 3. (- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7 = 243 – 108 – 9 – 15 – 7 = 104 Jadi : Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Teorema Faktor 1. Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0. 2. Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika =0 Contoh soal : Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2 x 4 + 7 x 3 – 4 x 2 – 27 x – 18) ! Bukti : f(x) = (2 x 4 + 7 x 3 – 4 x 2 – 27 x – 18) • (x – 2) faktor dari (2 x 4 + 7 x 3 – 4 x 2 – 27 x – 18) maka f(2) = (2. 24 + 7. 23 – 4. 22 – 27. 2 – 18) Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Bukti : f(x) = (2 x 4 + 7 x 3 – 4 x 2 – 27 x – 18) • (x – 2) faktor dari (2 x 4 + 7 x 3 – 4 x 2 – 27 x – 18) maka f(2) = (2. 24 + 7. 23 – 4. 22 – 27. 2 – 18) = (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0 Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x) Terbukti • (x + 3) faktor dari (2 x 4 + 7 x 3 – 4 x 2 – 27 x – 18) maka f(-3) = (2. (-3)4 + 7. (-3)3 – 4. (-3)2 – 27. (-3) – 18) = (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0 Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x) Terbukti Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak Jika f(x) = a 0 xn + a 1 xn-1 + … + an-1 x + an dan (x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari an Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8) Jawab : f(x) = 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ± 8, ± 4, ± 2, ± 1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8) Jawab : f(x) = 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ± 8, ± 4, ± 2, ± 1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0 Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x) Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut : Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

2 – 5 – 14 8 2 – 4 – 9 18 4 – 8 0 x=– 2 + f(-2) Sehingga : f(x) = (x – k). H(x) + s 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 = (x + 2). (2 x 2 – 9 x + 4) + 0 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 = (x + 2). (2 x – 1)(x – 4) Jadi faktor dari 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 adalah (x + 2), (2 x – 1) dan (x – 4) Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak Contoh soal : Selesaikan persamaan suku banyak 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 = 0 Jawab : f(x) = 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 Nilai a yang mungkin adalah ± 8, ± 4, ± 2, ± 1 Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0 Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x) Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut : Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

2 – 5 – 14 8 2 – 4 – 9 18 4 – 8 0 x=– 2 + f(-2) f(x) = (x – k). H(x) + s (x + 2). (2 x 2 – 9 x + 4) + 0 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 = (x + 2). (2 x – 1)(x – 4) Sehingga : 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 = Jadi faktor dari 2 x 3 – 5 x 2 – 14 x + 8 adalah (x + 2), (2 x – 1) dan (x – 4) Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Pembagian Suku Banyak Hitunglah 1. 256 dibagi 3 dengan cara bersusun ! Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3 x 4 + 4 x 3 – x 2 + 5 x – 7 dibagi (x – 2) ! 3 x 3 + 10 x 2 + 19 x Jawab : (x – 2) 3 x 4 + 4 x 3 – x 2 + 5 x – 7 3 x 4 – 6 x 3 10 x 3 – x 2 + 5 x – 7 10 x 3 – 20 x 2 2 19 x + 5 x – 7 19 x 2 – 38 x - Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

3 x 3 + 10 x 2 + 19 x + 43 Hasil bagi (x – 2) 3 x 4 + 4 x 3 – x 2 + 5 x – 7 3 x 4 – 6 x 3 3 – x 2 + 5 x – 7 10 x pembagi 10 x 3 – 20 x 2 19 x 2 + 5 x – 7 19 x 2 – 38 x 43 x – 7 43 x – 86 79 sisa Jadi hasil baginya = 3 x 3 + 10 x 2 + 19 x + 43 dan sisanya adalah 79 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3 x 4 + 4 x 3 – x 2 + 5 x – 7 dibagi (x – 2) ! Jawab : 3 4 -1 5 3 6 10 20 19 38 43 x=2 -7 86 + 79 Sisa Koefisien Hasil Bagi Jadi hasil baginya = 3 x 3 + 10 x 2 + 19 x + 43 dan sisanya adalah 79 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6 x 4 – 4 x 2 + 2 x – 1 dibagi (2 x + 4) ! 3 x 3 – 6 x 2 + 10 x Jawab : (2 x + 4) 6 x 4 + 0 x 3 – 4 x 2 + 2 x – 1 6 x 4 + 12 x 3 – 4 x 2 + 2 x – 12 x 3 – 24 x 2 2 20 x + 2 x – 1 20 x 2 + 40 x - Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

3 x 3 – 6 x 2 + 10 x – 19 Hasil bagi (2 x + 4) 6 x 4 + 0 x 3 – 4 x 2 + 2 x – 1 6 x 4 + 12 x 3 – 4 x 2 + 2 x – 1 pembagi – 12 x 3 – 24 x 2 20 x 2 + 2 x – 1 20 x 2 + 40 x – 38 x – 1 – 38 x – 76 75 sisa Jadi hasil baginya = 3 x 3 - 6 x 2 + 10 x -19 dan sisanya adalah 75 6 x 4 – 4 x 2 + 2 x – 1= (2 x + 4)(3 x 3 - 6 x 2 + 10 x -19) + 75 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6 x 4 – 4 x 2 + 2 x – 1 dibagi (2 x + 4) ! Jawab : 6 0 – 4 2 6 – 12 24 20 – 40 – 38 x=– 2 – 1 76 + 75 Sisa H(x) = = 3 x 3 – 6 x 2 + 10 x – 19 Jadi hasil baginya : H(x) = 3 x 3 – 6 x 2 + 10 x – 19 dan sisanya adalah f(– 2) = 75 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Pembagian Suku Banyak Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax 2+ bx + c) 1. Cara bersusun Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4 x 4 – 5 x 2 + 3 x – 1 dibagi (2 x 2 + x – 1) ! 2 x 2 – x – 1 Hasil bagi Jawab : (2 x 2 + x – 1) 4 x 4 + 0 x 3 – 5 x 2 + 3 x – 1 4 x 4 + 2 x 3 – 2 x 2 – 2 x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1 pembagi – 2 x 3 – x 2 + x 2 – 2 x + 2 x – 1 – 2 x 2 – x + 1 3 x – 2 sisa Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal : Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4 x 4 – 5 x 2 + 3 x – 1 dibagi (2 x 2 + x – 1) ! Jawab : Diskusikan dan kerjakan, dikumpulkan pada pertemuan yang akan datang !!!! Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2

Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2