MATEMATIKA EKONOMI Bagian 1 Deret DOSEN FEBRIYANTO SE

MATEMATIKA EKONOMI Bagian 1 - Deret DOSEN FEBRIYANTO, SE. , MM.

Deret n n Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Deret dilihat dari jumlah suku Deret dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku Deret hitung Deret berhingga DERET Deret tak terhingga Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) Deret ukur Deret harmoni 2

Deret n Deret hitung (DH) q q q Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh: n 1) 7, 12, 17, 22, 27, 32 n 2) 93, 83, 73, 63, 53, 43 n 3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 (pembeda = 5) (pembeda = - 10) (pembeda = 2) Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 3

Deret n Suku ke-n dari deret hitung q Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus. Sn = a +(n-1)b n n n q Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S 10) dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah n n q a : suku pertama atau S 1 b : pembeda n : indeks suku S 10 = a + (n - 1)b S 10 = 7 + (10 - 1)5 S 10 = 7 + 45 S 10 = 52. Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah 52. Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 4

Deret n Jumiah n suku deret hitung q q Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S 1 atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan. Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan Jika Sn belum diketahui q Jumlah deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 sampai suku ke-10 adalah n n n J 10 = 10/2 (7 + S 10) J 10 = 5 (7 + 52) J 10 = 295 Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 5

Deret n Deret ukur (DU) q Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. q q Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya. Contoh n 5, 10, 20, 40, 80, 160 n 512, 256, 128, 64, 32, 16 n 2, 8, 32, 128, 512 (pengganda = 2) (pengganda = 0, 5) (pengganda = 4) Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 6

Deret q Suku ke-n dari DU n Rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur: q Sn = apn-1 § a : suku pertama § p : pengganda § n : indeks suku n Contoh q Nilai suku ke 10 (S 10) dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80, 160 adalah § S 10 = 5 (2)10 -1 § S 10 = 5 (512) § S 10 = 2560 q Suku ke 10 dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80, 160 adalah 2560 Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 7

Deret n Jumlah n suku deret hitung q Jumlah sebuah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah nilai sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan. q Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: q q Jika p <1, penggunaan rumus yang di sebelah kiri akan lebih mempermudah perhitungan. Jika p >1, menggunakan rumus yang di sebelah kanan. Contoh: n Jumlah n suku dari deret hitung 5, 10, 20, 40, 80, 160 adalah Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 8

Deret dalam Penerapan Ekonomi n Model Perkembangan Usaha q Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha (produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal) bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya. n Model Bunga Majemuk q Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan kasus investasi. q Dengan model ini dapat dihitung; misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang. n Model Pertumbuhan Penduduk q Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Matematika Ekonomi - Deret Sebagaimana pernah (Febriyanto, dinyatakan oleh Malthus, penduduk SE. , MM. ) 9

Deret dalam Penerapan Ekonomi n n Model Perkembangan Usaha Contoh q Sebuah perusahaan jamu “roso" menghasilkan 3. 000 bungkus jamu pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu meningkatkan produksinya sebanyak 500 bungkus setiap bulan. Jika perkembangan produksinya tetap, berapa bungkus jamu yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa bungkus yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? q Diketahui: n a = 3. 000 n b = 500 n n = 5 n Sn = a +(n-1)b S 5 = 3. 000 + (5 - 1)500 = 5. 000 Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5. 000 bungkus, sedangkan jumlah seluruh jamu yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20. 000 bungkus. Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 10

Deret dalam Penerapan Ekonomi n Model Bunga Majemuk q Jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah q Fn = P(1 + i)n P : jumlah sekarang i : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun q Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu di masa datang adalah: F : jumlah di masa datang i : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 11

Deret dalam Penerapan Ekonomi n n Model Bunga Majemuk Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan? n Dikteahui: q P = 5. 000 q n = 3 q i = 2% = 0, 02 n Penyelesaian: q F = P (1 + i )n q F = 5. 000 (1 + 0, 02)3 q F = 5. 000 (1, 061208) q F = 5. 306. 040 Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 12

Deret dalam Penerapan Ekonomi n Model Bunga Majemuk q Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp. 532. 400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini? q F = 532. 400 n =3 i = 10% = 0, 1 q P = 400. 000 Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400. 000, 00. q q Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 13

Deret dalam Penerapan Ekonomi n Model Pertumbuhan Penduduk q Pt = P 1 R t-1 Dimana R=1+r q q Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis) Pt : Jumlah pada tahun ke-t r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun) Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 14

Deret dalam Penerapan Ekonomi n Model Pertumbuhan Penduduk q Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat per tumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2, 5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ? q q q q Pt = P 1 R t-1 P 1 = 1 juta r = 0, 04 R = 1, 04 P 1= 1. 800. 943 r = 0, 025 R = 1, 025 Dimana: R = 1 + r P tahun 2006 = P 16 = 1 juta (1, 04)15 = 1 juta (1, 800943) = 1. 800. 943 jiwa P 11 tahun kemudian = P 11 = 1. 800. 943 (1, 025)10 P 11 = 2. 305. 359 jiwa Matematika Ekonomi - Deret (Febriyanto, SE. , MM. ) 15