Prirodni brojevi MATEMATIKA 5 PRIRODNI BROJEVI SKUP PRIRODNIH

Prirodni brojevi MATEMATIKA 5

PRIRODNI BROJEVI SKUP PRIRODNIH BROJEVA ČITANJE I PISANJE PRIRODNIH BROJEVA PARNI I NEPARNI BROJEVI USPOREĐIVANJE PRIRODNIH BROJEVA PREDHODNIK I SLJEDBENIK PRIRODNI BROJEVI I TOČKE PRAVCA MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 2

Skup prirodnih brojeva Koliko je vukova prikazano na slici? . Koliko latica ima cvijet hibiskusa? MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 3

Skup prirodnih brojeva Koliko nogu ima stolica? A koliko nogu ima ova stolica? MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 4

Skup prirodnih brojeva Sa koliko ploha je omeđena kocka? Koliko krakova ima ova zvijezda? MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 5

Skup prirodnih brojeva Koliko je u učionici stolica i klupa? Koliko u tvom razredu ima učenika? Koliko je od toga djevojčica, a koliko dječaka? MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 6

Skup prirodnih brojeva Na slici su prikazana 3 vuka. Cvijet hibiskusa ima 5 latica. Stolica ima 4 noge. Ova stolica ima samo 1 nogu. Kocka je omeđena sa 6 plohi. Zvijezda ima 16 krakova. U učionici ima 14 klupi i 25 stolica. U razredu ima 17 učenika. Od 17 učenika 7 je djevojčica i 10 je dječaka. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 7

Skup prirodnih brojeva Da bismo došli do odgovora morali smo prebrojiti određene objekte. Brojeve koje koristimo za prebrojavanje nazivamo PRIRODNI BROJEVI. Brojevi koje smo koristili da bi odgovorili na prethodna pitanja (3, 5, 4, 1, 6, 14, 25, 17, 8 i 9) su samo neki prirodni brojevi. Svi prirodni brojevi zajedno sačinjavaju SKUP PRIRODNIH BROJEVA. Skup prirodnih brojeva označavamo sa N (čitaj en). N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 8

Skup prirodnih brojeva Kad nešto prebrojavamo počinjemo od 1. 1 je najmanji prirodni broj. Nekada imamo jako mnogo za prebrojavati. Na primjer nekoga možda zanima koliko nogu ima stonoga? Ili koliko zrnaca pijeska ima na plaži? SAHARUN Dugi otok MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 9

Skup prirodnih brojeva Prebrojiti noge stonogi još bismo možda i uspjeli, ali prebrojiti zrnca pijeska nam izgleda nemoguće. Koliko god brojali ima još i pijeska i brojeva. Iza svakog prirodnog broja postoji prirodni broj za 1 veći. Najveći prirodni broj ne postoji. SAHARUN Dugi otok MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 10

Skup prirodnih brojeva U životu često trebamo brojem označiti i kad nečega nemamo. Za to koristimo broj 0. Broj 0 nije prirodan broj. Zbog toga postoji prošireni skup prirodnih brojeva N 0 ( čitaj en nula) koji osim prirodnih brojeva sadrži i 0. N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 11

Pisanje prirodnih brojeva Brojevi koje mi danas koristimo nazivaju se ARAPSKI BROJEVI. Slika prikazuje kako su se mijenjali arapski brojevi do današnjeg oblika. 123456789 Ovi brojevi se nazivaju ARAPSKI BROJEVI jer su ih na područje Evrope donijeli arapski trgovci koji su u Evropu donosili iz Indije i Kine začine, čaj, svilu i ostale proizvode kojih u Evropi nije bilo. Vjerojatno su nastali na području Indije, a trgovcima su brojevi bili važni za njihov posao. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 12

Pisanje prirodnih brojeva Brojevni sustav koji koristimo naziva se DEKADSKI SUSTAV jer se kao baza koristi broj 10. Znakovi koje koristimo u pisanju brojeva zovu se ZNAMENKE i ima ih ukupno 10. To su: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0. Sve ostale brojeve pišemo kombinirajući ove znamenke. Ako piše 3 to je broj tri kojeg pišemo sa jednim znakom – ZNAMENKOM. Ako piše 33 to je samo jedan broj trideset i tri kojeg pišemo sa dva znaka – ZNAMENKE. Lijeva znamenka 3 u broju 33 vrijedi trideset a desna znamenka 3 u broju 33 vrijedi samo tri. Lijeva znamenka vrijedi 10 puta više od iste znamenke s desne strane zbog čega se ovakav brojevni sustav naziva DEKADSKI. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 13

Pisanje prirodnih brojeva Rastav broja 33 na znamenke izgleda ovako: 33 = 3 · 10 + 3 · 1 Rastavimo još neke brojeve: 777 = 7 · 100 + 7 · 1 5555 = 5 · 1000 + 5 · 10 + 5 · 1 Svaka znamenka s lijeve strane ima deset puta veću vrijednost od iste znamenke koja se nalazi njoj s desne strane. Zato je važno znati vrijednosti pojedinih znamenki koji ovisi o položaju neke znamenke. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 14

Pisanje prirodnih brojeva MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 15

Pisanje prirodnih brojeva Znamenke koje su sa lijeve strane imaju veću vrijednost od znamenaka sa desna strane. Najmanju vrijednost ima znamenka jedinica koja je krajnje desno. Deset jedinica je jedna desetica. Deset desetica je jedna stotice. Deset stotica je jedna tisućica. Deset tisućica je jedna deset tisućica. Deset deset tisućica je jedna sto tisućica. Zato se naš brojevni sustav naziva DEKADSKI BROJEVNI SUSTAV. Radi lakšeg čitanja znamenke se grupiraju u grupe po tri znamenke. Tisućice se od stotica odvajaju razmakom, milijutinke se od sto tisućica odvajaju razmakom, itd. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 16

Pisanje prirodnih brojeva Kako se pravilno čitaju neki brojevi? 208 280 3 004 5 014 9 060 25 700 38 400 50 001 50 010 50 100 51 000 517 634 MATEMATIKA 5 Dvjesto osamdeset Tri tisuće četiri Pet tisuća četrnaest Devet tisuća šezdeset Dvadeset pet tisuća sedamsto Trideset osam tisuća četristo Pedeset tisuća jedan Pedeset tisuća deset Pedeset tisuća sto Pedeset jedna tisuća Petsto sedamnaest tisuća šesto trideset četiri 26. 11. 2020. 17

Pisanje prirodnih brojeva Veći od tisuća su MILIJUNI, a veći od milijuna su MILIJARDE. Evo nekoliko primjera za veće brojeve. 2 000 Dva milijuna 13 000 Trinaest milijuna 5 014 000 Pet milijuna četrnaest tisuća 9 060 300 Devet milijuna šezdeset tisuća tristo 25 000 700 Dvadeset pet milijuna sedamsto 9 000 000 Devet milijardi 3 007 000 Tri milijarde sedam milijuna 500 000 000 Pedsto milijardi 50 000 Pedeset milijuna 13 000 025 Trinaest milijardi dvadeset pet 63 015 105 Šezdeset tri milijuna petnaest tisuća sto pet MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 18

Pisanje prirodnih brojeva jedan 1 tisuću 1 000 milijun 1 000 milijarda 1 000 000 bilijun 1 000 000 bilijarda 1 000 000 000 trilijun 1 000 000 000 trilijarda 1 000 000 Kvadrilijun 1 000 000 Kvadrilijarda 1 000 000 000 Kvintilijun 1 000 000 000 Od bilo kojeg prirodnog broja postoje još veći prirodni brojevi, ali oni jako veliki nemaju imena. Pokušaj u nekoj knjizi ili na internetu naći kako se zove najveći broj koji ima svoje ime. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 19

Parni i neparni brojevi Na tjelesnom se neke vježbe izvode u parovima. U nekim razredima se dogodi da svaki učenik ima svoj par, a u nekima jedan učenik ostane sam. O čemu to ovisi? Ako učenike možemo podijeliti na parove (u grupe po dva člana) i niti jedan učenik ne ostane sam kažemo da ih ima PARAN BROJ a ako jedan učenik ostane sam tada ih ima NEPARAN BROJ. Parni brojevi su 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24… Neparni brojevi su: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23… MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 20

Parni i neparni brojevi Mnogi plesovi se plešu u parovima Par jagoda Uočimo: Ø 2 je najmanji parni broj. Ø 1 je najmanji neparni broj. Ø Svaki parni broj se nalazi između dva neparna broja. Ø Svaki neparni broj se nalazi između dva parna broja osim 1. Ispred 1 je nula koja, prisjetimo se, nije prirodni broj. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 21

Uspoređivanje prirodnih brojeva Usporediti prirodne brojeve znači odrediti koji je veći a koji manji. Marko je pojeo 4 čokoladne kugle a Ivan ih je pojeo 7. Koji je pojeo više čokoladnih kuglica? Naravno, Ivan jer je 7 veći broj od 4. To zapisujemo pomoću znaka > koji čitamo “je veći”. veći Izraz 7 > 4 čitamo “sedam je veći od četiri”. Marko je pojeo manje čokoladnih kuglica jer je 4 < 7. Znak < čitamo “je manji”, manji a izraz 4 < 7 čitamo “četiri je mani od sedam”. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 22

Uspoređivanje prirodnih brojeva Marko je za svoj album sakupio 127 sličica nogometaša i Ivan je sakupio 127 sličica. Koji je sakupio više sličica ? Sakupili su jednako jer je 127 = 127. Znak = čitamo “jednako”. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 23

Uspoređivanje prirodnih brojeva Znakove <, > i = poznati su od prije, a sad ćemo upoznati dva nova znaka: ≤ i ≥. Znak ≤ čitamo “manje ili jednako”. jednako On nam dopušta dvije mogućnosti, da nešto bude manje od zadanog broja ili da bude jednako zadanom broju. Primjer 1: Napiši sve prirodne brojeve n za koje vrijedi n < 8. Rješenje: 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Svi su ovi brojevi manji od osam. Primjer 2: Napiši sve prirodne brojeve n za koje vrijedi n ≤ 8. Rješenje: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8. Znak ≤ uključuje i brojeve jednake broju 8, a to je među prirodnim brojevima samo 8 koji nije rješenje prethodnog primjera. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 24

Uspoređivanje prirodnih brojeva Znak ≥ čitamo “veće ili jednako”. jednako On nam također dopušta dvije mogućnosti, da nešto bude veće od zadanog broja ili da bude jednako zadanom broju. Primjer 3: Napiši sve prirodne brojeve n za koje vrijedi n > 8. Rješenje: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, … Stavljamo tri točke jer se niz brojeva nastavlja dalje i ne postoji zadnji broj u tom nizu. Svi su ovi brojevi veći od osam. Primjer 4: Napiši sve prirodne brojeve n za koje vrijedi n ≥ 8. Rješenje: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, . . . Znak ≥ uključuje i brojeve jednake broju 8 pa je u ovom primjeru i broj 8 rješenje zadatka. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 25

Uspoređivanje prirodnih brojeva Riješimo još neke primjere. Primjer 5: Napiši sve prirodne brojeve n za koje vrijedi 25 < n < 32. Ovakve izraze počinjemo čitati od nepoznanice: “en je veći od 25 i manji od 32”. Rješenje: 26, 27, 28, 29, 30 i 31. Primjer 6: Napiši sve prirodne brojeve n za koje vrijedi 52 < n ≤ 68. (čitamo: en je veći od 52 i manji ili jednak 68). Rješenje: 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67 i 68. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 26

Uspoređivanje prirodnih brojeva Primjer 7: Napiši sve prirodne brojeve n za koje vrijedi 100 ≤ n ≤ 120. (čitamo: en je veći ili jednak od sto i manji ili jednak od sto dvadeset) Rješenje: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119 i 120. Primjer 8: Napiši sve neparne prirodne brojeve n za koje vrijedi 100 ≤ n ≤ 120. Rješenje: 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117 i 119. Brojevi 100 i 120 nisu rješenje ovog zadatka jer ne ispunjavaju prvi uvjet, tj. nisu neparni. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 27

Uspoređivanje prirodnih brojeva Primjer 9: Napiši sve dvoznamenkaste prirodne brojeve n za koje vrijedi n ≥ 80. (čitamo: en je veći ili jednak 80) Rješenje: 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 i 99. Brojevi veći od 99 nisu dvoznamenkasti. Primjer 10: Napiši sve parne prirodne brojeve n za koje vrijedi 44 ≤ n < 66. (čitamo: en je veći ili jednak od 44 i manji od 66) Rješenje: 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62 i 64. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 28

Predhodnik i sljedbenik U imeniku su učenici upisani po abecedi tako da se zna točan redoslijed. Svaki učenik zna tko je upisan prije njega, a tko iza njega. Tako je i sa prirodnim brojevima. Iza svakog broja dolazi broj za jedan veći i za svaki prirodni broj se zna koji broj dođe neposredno ispred njega, a koji dođe neposredno iza njega. Broj koji dođe odmah ispred nekog broja naziva se NEPOSREDNI PREDHODNIK i on je uvijek za 1 manji od zadanog prirodnog broja. Broj koji dođe odmah iza nekog broja naziva se NEPOSREDNI SLJEDBENIK i on je uvijek za 1 veći od zadanog prirodnog broja. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 29

Predhodnik i sljedbenik n– 1 MATEMATIKA 5 n 26. 11. 2020. n+1 30

Predhodnik i sljedbenik Primjer 1: Dopuni tablicu. Neposredni predhodnik Prirodni broj Neposredni sljedbenik 4 5 6 99 100 101 997 998 999 999 1 000 000 1 000 001 785 786 787 99 999 100 000 100 001 15 999 16 000 16 001 1 2 3 98 99 100 2 473 021 2 473 022 Rješenje: MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 31

Predhodnik i sljedbenik Riješi brojevnu križaljku. 1 2 3 4 7 8 9 11 5 10 12 13 14 15 6 OKOMITO UPIŠI SLJEDBENIKE VODORAVNO UPIŠI PREDHDNIKE ZADANIH BROJEVA. 1. Najmanji šesteroznamenkasti broj 1. Najmanji broj umanjen četveroznamenkasti za dva. 4. osamdeset. 2. Broj osamsto devedeset četiri. 7. 3. 8. 4. 9. Broj devetsto šezdeset. broj umanjen za Najveći troznamenkasti jedan. Broj sto devet Broj osamsto devet. Najveći troznamenkasti broj umanjen za osam. Broj šezdeset devet. 5. 11. Najmanji troznamenkasti broj. 6. Broj devedeset osam tisuća osamsto osam. 13. devedeset Broj dvostruko veći od broja dvadeset. 10. Broj devetsto devedeset sedam. 14. Broj osamdeset. 12. Broj devet devedeset šest. od broja sto. 15. Broj puta veći 13. Broj osamnaest. VODORAVNO MATEMATIKA 5 OKOMITO 26. 11. 2020. 32

Brojevni pravac Na mjernoj traci brojevi se nalaze po određenom redoslijedu. Susjedni brojevi su raspoređeni na jednake razmake. Na isti način ćemo i mi rasporediti brojeve na brojevni pravac. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 33

Brojevni pravac ׀ ׀ ׀ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Na brojevnom pravcu najprije označimo ISHODIŠTE. To je točka kojoj pridružujemo nulu. Zatim označimo točke na jednakim razmacima kojima ćemo pridružiti ostale prirodne brojeve. Svaki prirodni broj možemo pridružiti jednoj točki na pravcu. Točku kojoj pridružujemo broj 1 naziva se JEDINIČNA TOČKA, a dužina između ishodišta i jedinične točke naziva se JEDINIČNA DUŽINA. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 34

Brojevni pravac Ako nam ne stanu svi brojevi od nule pa do onih brojeva koje trebamo možemo prikazati dio brojevnog pravca koji ne sadrži nulu. PRIMJER 1: Prikaži na brojevnom pravcu brojeve za koje vrijedi 32 < n < 42. RJEŠENJE: Ostali brojevi također imaju svoje mjesto na brojevnom pravcu ali ih nismo pisali jer nisu rješenje zadatka. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 35

Brojevni pravac PRIMJER 2: Prikaži na brojevnom pravcu parne prirodne brojeve za koje vrijedi 76 ≤ n ≤ 88 RJEŠENJE: Neparni brojevi nisu rješenje zadatka pa su njihova mjesta ostala prazna. Razlika između susjednih parnih brojeva je dva pa i na brojevnom pravcu između susjednih parnih brojeva su dvije jedinične dužine. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 36

Brojevni pravac 1. ZADATAK: U balone upiši odgovarajuće brojeve. a) b) c) MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 37

Brojevni pravac Ponekad nam ne bi stali svi brojevi pa na brojevnom pravcu ne nižemo brojeve po jedan nego u pravilnim razmacima. PRIMJER 3: Prikaži na brojevnom pravcu ishodište i prirodne brojeve za koje vrijedi n ≤ 100. RJEŠENJE: Ovo nisu svi brojevi manji ili jednaki broju 100 ali ako bismo htjeli prikazati pregledno sve brojeve ne bi nam stali. Ako odredimo tako malu jediničnu dužinu da sve stane brojevi će biti tako stisnuti da se neće moći pročitati. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 38

Brojevni pravac 2. ZADATAK: U balone upiši odgovarajuće brojeve. a) b) c) MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 39

Prezentaciju izradila: Snježana Stanić 28. rujna 2010. MATEMATIKA 5 26. 11. 2020. 40