LOGIKA MATEMATIKA Oleh LUFVIANA LIKKU TRIMINTARUM A 410

LOGIKA MATEMATIKA Oleh : LUFVIANA LIKKU TRIMINTARUM A 410 080 096

A. PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA, DAN INGKARAN Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak dapat bernilai benar dan salah. Pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen atau proposisi dan dilambangkan dengan huruf kecil.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel) merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang konstanta adalah bilangan tetap atau suku yang tidak mengandung variabel. Perhatikan kalimat-kalimat di bawah ini: Contoh 1: 1. Ibukota negara Indonesia terletak di Atambua. 2. Bilangan prima terkecil adalah 2. 3. Dia benar-benar anak yang cantik, pandai dan ramah. 4. Berapakah nilai dari 2 log 8. 5. 5 x + 3 = 13.

Keterangan: • Kalimat no. 1 merupakan pernyataan, sebab dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat tersebut bernilai salah, sebab Ibukota Indonesia terletak di Jakarta. • Kalimat no. 2 merupakan pernyataan sebab dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat tersebut bernilai benar. • Kalimat no. 3 merupakan kalimat terbuka, sebab belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka pada no. 3 ini menggunakan variabel kata “dia”. • Kalimat no. 4 bukan pernyataan dan juga bukan kalimat terbuka, tetapi merupakan kalimat pertanyaan. • Kalimat no. 5 merupakan kalimat terbuka dengan variabel x dan terdapat dua konstanta yaitu 3 dan 13. Jika nilai x diganti dengan sebuah nilai maka akan menjadi kalimat pernyataan. Nilai x yang dapat mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar disebut Himpunan Penyelesaian

B. INGKARAN DAN NEGASI Negasi adalah kalimat baru yang didapat dengan cara mengingkar kalimat yang diberikan. Negasi dari pernyataan p ditulis dengan p atau p. Jika pernyataan p bernilai benar maka p bernilai salah dan jika bernilai salah maka p bernilai benar.

Contoh 2: Tentukan negasi dari kalimat-kalimat di bawah ini: 1. Baju adik berwarna merah. 4. 2 < 5 2. Jakarta terletak di Pulau Jawa. 5. 2 x + 3 3. Enam tidak habis dibagi. 6. 3 x + 2 y = 10 Jawab: 1. Baju adik tidak berwarna merah. 2. Jakarta tidak terletak di Pulau Jawa. 3. Enam habis dibagi 2. 4. 2 ≥ 5 5. 2 x + 3 < 4 6. 3 x + 2 y ≠ 10 Dari contoh diatas kita dapat membuat tabel sebagai berikut: P p ( p) B S S B B S P p = ≠ < > ≤ ≠ = ≤ > <

C. KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI Pernyataan komposisi atau pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang diperoleh dengan penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan kata hubung logika. Kata hubung logika yang digunakan terlihat pada tabel berikut: Kata hubung logika … dan … … atau … jika … maka … … jika dan hanya jika … Lambang Pernyataan majemuk Konjungsi Disjungsi Implikasi Biimplikasi

1. Konjungsi Dua pernyataan p dan q dapat dibentuk dengan menggunakan kata hubung logika “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang: p ! q (dibaca: p dan q). Perhatikan tabel berikut: p q B B S S B S B S S S Tabel diatas artinya B = benar dan S = salah, sehingga diperoleh: B B=B B S=S S B=S S S=S

Kadang-kadang kata hubung logika “dan” diganti dengan kata lain yang mempunyai arti sama seperti “tetapi” atau “walaupun”. Contoh 3: Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi berikut: a. Yogyakarta ibukota Indonesia dan Yogyakarta kota Pelajar. b. Dua bilangan genap dan bilangan prima. Jawab: a. Yogyakarta ibukota Indonesia : S S B=S Yogyakarta kota pelajar : B Jadi Yogyakarta ibukota Indonesia dan Yogyakarta pelajar bernilai salah. b. Dua bilangan genap : B B B=B Dua bilangan prima : B Jadi “Dua bilangan genap dan bilangan prima” bernilai benar

2. Disjungsi dari pernyataan p atau q dinyatakan dengan lambang p q (baca: p atau q). Perhatikan tabel berikut: p q B B S S B S B B B S Tabel diatas artinya B = benar dan S = salah, sehingga diperoleh: B B=B B S=B S B=B S S=S

Contoh 4: a. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut: Gus Dur adalah Presiden RI ke-4 atau Megawati Wakil Presiden RI yang ke-4 juga. b. Dua merupakan bilangan bulat atau dua merupakan bilangan rasional. Jawab: a. Gus Dur Presiden RI yang ke-4 : B B S=B Megawati wakil Presiden RI yang ke-4 : S Jadi “Gus Dur adalah presiden RI yang ke-4 atau Megawati wakil presiden RI yang ke-4 juga” bernilai benar. b. Dua merupakan bilangan bulat : B B B=B Dua merupakan bilangan rasional : B Jadi “Dua merupakan bilangan bulat atau dua merupakan bilangan rasional” bernilai benar.

3. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang: “p q” Lambang p q dapat dibaca antara lain: (1) Jika p dan q (4) p syarat cukup untuk q (2) p berimplikasi q (5) q syarat untuk p (3) q hanya jika p Pada implikasi p q, p disebut anteseden atau hipotesis dan q disebut konklusi atau kesimpulan. Perhatikan tabel berikut: Tabel disamping: B : benar dan S : salah, p q maka diperoleh: B B B=B B S S B S=S S B B S S B=B S S=B

Contoh 5: a. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini: Jika Cilacap berada di Jawa Tengah maka Cilacap kota pantai. Jika 3 merupakan bilangan rasional maka 6 merupakan faktor dari 3. Jawab: a. Cilacap berada di jawa Tengah : B B B=B Cilacap kota pantai : B Jadi jika Cilacap berada di Jawa Tengah maka Cilacap kota pantai bernilai benar. b. 3 merupakan bilangan rasional : B B S=S 6 merupakan faktor dari 3 : S Jadi “Jika 3 merupakan bilangan rasional maka 6 merupakan faktor dari 3” bernilai salah.

4. Implikasi Logis Implikasi logis adalah suatu pernyataanmajemuk yang mempunyai nilai kebenaran, benar semua atau salah semua. Implikasi logis yang mempunyai nilai kebenaran benar semua disebut Tautologi, sedang yang mempunyai nilai kebenaran salah semua disebut Kontradiksi. Contoh 6: Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa pernyataan p (p q) adalah sebuah tautologi. Jawab: P q B B S S B S p q p (p q) B B B S B B Keterangan: Tampak bahwa nilai kebenaran untuk p (p q) bernilai benar semua, jadi p (p q) merupakan tautologi.

Contoh 6: Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa pernyataan (p q) adalah sebuah kontradiksi. p q p q (p q) p (p q) B B S S B S B S S S B B S S S S Karena nilai kebenaran dari (p q) p (p q) semua bernilai salah, maka pernyataan (p q) p (p q) disebut dengan Kontradiksi.

5. Biimplikasi dan Biimplikasi Logis a. Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang: p q (dibaca p jika dan hanya jika q). Tabel disamping artinya: B B = B B S = S S B = S S S = B p B B S S Perhatikan tabel berikut: Tabel disamping artinya: q p q B S B S S B B B=B B S=S S B=S S S=B

Dari tabel dapat dibuktikan pula bahwa: p q = (p q) (q p) p q q p (p q) (q p) p q B B S S B S B B B B S S B Contoh 8: Pernyataan p : 2 + 6 = 8 (benar) q : 2 < 8 (benar) maka p q : 2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (bernilai benar) Pernyataan p : 2 + 6 > 9 (salah) q : 6 < 9 (benar) maka p q : 2 + 6 > 9 jika dan hanya jika 6 < 9 (bernilai salah)

b. Biimplikasi Logis Biimplikasi logis adalah suatu bentuk biimplikasi yang selalu bernilai benar untuk setiap pernyataan yang diberikan. Contoh 9: Tunjukkan dengan tabel kebenaran pernyataan (p q) (p p) merupakan biimplikasi logis. Jawab: p p B S S B p q p p B B (p q) (p p) B B Karena kolom (p p) bernilai benar semua untuk semua pernyataan maka (p p) merupakan biimplikasi logis.

D. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pernyataan p ekuivalen dengan q ditulis dengan p q. Contoh: Buktikan bahwa pernyataan “(p q) (q p)” Jawab: p q p q q p B B S S S B B S B S B B B Karena nilai kebenaran p q sama dengan nilai kebenaran q p maka dikatakan: “(p q) (q p)”

E. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK Negasi atau ingkaran dari pernyataan majemuk yang meliputi konjugsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi adalah sebagai berikut: a. b. c. d. Negasi Konjungsi : (p q) p q Negasi Gisjungsi : (p q) p q Negasi Implikasi : (p q) p q Negasi Biimplikasi : (p q) (q p)

F. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Dari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi lain yaitu: q p, yang disebut konvers dari p q, yang disebut invers dari p q q p, yang disebut kontraposisi dari p q hubungan antara implikasi-implikasi tersebut dapat ditunjukkan pada diagram dan tabel sebagai berikut: p q Konvers q p Invers Kontraposisi Invers p q Konvers p q

Tabel kebenaran p B B S S q B S p S S B B q S B p q q p B B S S B B B Dari tabel diperoleh: 1. p q q p 2. q p p q Sama

Contoh: Diketahui sebuah implikasi: “Jika kamu berusaha maka kamu akan berhasil”. Tentukan: a. Konvers b. Invers c. Kontraposisi Jawab: a. Jika kamu akan berhasil maka kamu berusaha b. Jika kamu tidak berusaha maka kamu tidak akanberhasil c. Jika kamu tidak berhasil maka kamu tidak berusaha

G. KALIMAT BERKUANTOR 1. Pengertian (kalimat (pernyataan) berkuantor adalah pernyataan mengenai himpunan obyek yang mengandung atau memakai ukuran kuantitas, seperto”semua (setiap), beberapa (sekurang-kurangnya) atau tidak ada”. Jadi kuantor menyatakan pengertian “berapa banyak”. Ada dua jenis kuantor yaitu: 1. Kuantor universal (umum) yang memuat kata “semua/setiap” yang dilambangkan dengan x atau Ax dibaca untuk semua x. 2. Kuantor eksistensial (khusus) yang memuat kata “beberapa/ada/sebagian” yang dilambangkan dengan x atau Ex yang dibaca untuk beberapa x.

Contoh: 1. Semua orang akan mati 2. Ada anjing berkaki tiga 3. ( x R) (x 2 0) dibaca = untuk setiap x anggota bilangan nyata berlaku x 2 0. 4. ( x R) (x + 5 = 4), dibaca = ada x anggota bilangan nyata, sehingga x + 5 = 4

2. Ingkaran pernyataan berkuantor Pernyataan 1. Semua A adalah B 2. Ada A adalah B 1. 2. 3. Ingkaran Beberapa A bukan B Semua A bukan B, atau tiada A yang merupakan B “Semua pelajar naik kelas” ingkarannya “Ada pelajar yang taknaik kelas”. “Beberapa wanita suka merokok” ingkarannya “Semua wanita tidak suka merokok”. “Tiada orang yang sukses” ingkarannya “Ada orang yang sukses”.

H. PENARIKAN KESIMPULAN Dalam logika matematika kita kenal beberapa model cara penarikan kesimpulan, yaitu: a. Modus Ponens Mempunyai pola sebagai berikut: Premis 1 : p q Premis 2 : p Kesimpulan : q Contoh: Premis 1 : Jika Qurrina belajar maka ia menjadi pandai Premis 2 : Qurrina belajar Kesimpulan : Jadi Qurrina menjadi pandai

b. Modus Tolfens Mempunyai pola sebagai berikut: Premis 1 : p q Premis 2 : q Kesimpulan : q Contoh: Premis 1 : Jika Sembara membawa cemeti amal rasulimaka mak lampir lari ketakutan. Premis 2 : Mak lampir tidak ketakutan Kesimpulan : Jadi Sembara tidak membawa cemeti amal rasuli

c. Silogieme Mempunyai pola sebagai berikut: Premis 1 : p q Premis 2 : q r Kesimpulan: p r Contoh: Premis 1 : Jika jari hujan maka saya tidak masuk sekolah Premis 2 : Jika saya tidak masuk ekolah maka bapak saya marah-marah Kesimpulan: Jika hari hujan maka bapak saya marah-marah