Aljabar Boolean Pertemuan 10 Matematika Diskrit 1 Definisi

Aljabar Boolean Pertemuan 10 Matematika Diskrit 1

Definisi Aljabar Boolean 2

Postulat Huntington 1. Closure: (i) a + b B (ii) a b B 2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a 1 = a 3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a b = b. a 4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) (ii) a + (b c) = (a + b) (a + c) 5. Komplemen: (i) a + a’ = 1 (ii) a a’ = 0 3

Aljabar Boolean Dua-Nilai 4

Prinsip Dualitas 5

LATIHAN Diketahui himpunan B dengan tiga buah nilai {0, 1, 2} dan dua buah operator + dan *, kaidah operasi dengan operator + dan * didefinisikan pada tabel berikut: a. Dari keempat aksioma dasar (komitatif, distributif, identitas, dan komplemen) aksioma manakah yang dipenuhi b. Apakah himpunan B dengan dua buah operator di atas membentuk aljabar boolean ? Jelaskan ! + 0 1 2 * 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 1 1 1 2 2 0 1 2 2 6 2

Hukum-hukum Aljabar Boolean 7

FUNGSI BOOLEAN Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. 8

Fungsi Boolean 9

10

Komplemen Fungsi 11

2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka 1. Tentukan dual nya f: x + (y’ + z’) (y + z) 2. komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’ Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’) 12

Bentuk Kanonik 13

14

15

16

17

18

Bentuk Baku Tidak harus mengandung literal yang lengkap. Contohnya, f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP) f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS) 19

Aplikasi Aljabar Boolean 20

21

Gerbang logika Pertemuan 11 22

Gerbang Dasar AND animasi 23

Gerbang Dasar OR animasi 24

Gerbang Dasar - NOT n n Hanya memiliki 1 masuklan dan 1 keluaran. penyangkalan dengan kata-kata "tidak" (NOT) 1`= 0 dan 0` = 1 25

26

27

28

Penyederhanaan Fungsi Boolean 29

1. Penyederhanaan Secara Aljabar 30

2. Peta Karnaugh 31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

Kondisi Don’t care 42

43

44

45

46

Metode Quine-Mc. Cluskey Metode Peta Karnaugh tidak mangkus untuk jumlah peubah > 6 (ukuran peta semakin besar). Metode Peta Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatan visual untuk mengidentifikasi minterm-minterm yang akan dikelompokkan. Metode alternatif adalah metode Quine-Mc. Cluskey. Metode ini mudah diprogram. 47

Latihan soal 1. Implementasikan fungsi f(x, y, z) = (0, 6) dan hanya dengan gerbang NAND saja. 2. Gunakan Gerbang Logika untuk merancang rangkaian logika yang dapat menentukan apakah sebuah angka desimal yang direpresentasikan dalam bit biner merupakan bilangan genap atau bukan (yaitu, memberikan nilai 1 jika genap dan 0 jika tidak). 48

3. Sebuah instruksi dalam sebuah program adalah if A > B then writeln(A) else writeln(B); Nilai A dan B yang dibandingkan masing-masing panjangnya dua bit (misalkan a 1 a 2 dan b 1 b 2). (a) Buatlah rangkaian logika (yang sudah disederhanakan tentunya) yang menghasilkan keluaran 1 jika A > B atau 0 jika tidak. (b) Gambarkan kembali rangkaian logikanya jika hanya menggunakan gerbang NAND saja (petunjuk: gunakan hukum de Morgan) 49

4. Buatlah rangkaian logika yang menerima masukan duabit dan menghasilkan keluaran berupa kudrat dari masukan. Sebagai contoh, jika masukannya 11 (3 dalam sistem desimal), maka keluarannya adalah 1001 (9 dalam sistem desimal). 50