BAB 6 BARISAN DERET NOTASI SIGMA DAN INDUKSI

BAB 6 BARISAN, DERET, NOTASI SIGMA, DAN INDUKSI MATEMATIKA

Standar Kompetensi Menggunakan konsep barisan deret dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar q Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri q Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematik dalam pembuktian q Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret q Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya.

POLA BILANGAN BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA Pola Bilangan dan Barisan Deret Notasi Sigma

Pola Bilangan Pola bilangan sering kali dapat divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda-benda (diwakili dengan lambang noktah • )

Contoh:

Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u₁ , bilangan kedua u₂ , bilangan ketiga u₃ , dan bilangan ke n adalah un , maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai u₁ , u₂ , u₃ , . . . uk. . un

POLA BILANGAN BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA Pola Bilangan dan Barisan Deret Notasi Sigma

Deret Misalkan u₁ , u₂ , u₃ , . . . un merupakan suku suatu barisan. Jumlah beruntun dari suku barisan itu dinamakan sebagai deret dan dituliskan sebagai u₁ + u₂ + u₃ +. . . + un un juga dapat disebut sebagai suku penjumlahan yang ke-n. jika n merupakan bilangan asli berhingga maka deret itu dinamakan sebagai deret berhingga

POLA BILANGAN BARISAN, DERET, DAN NOTASI SIGMA Pola Bilangan dan Barisan Deret Notasi Sigma

Notasi Sigma Suatu deret u₁ + u₂ + u₃ +. . . + ui +. . . + un dapat ditulis dengan menggunakan notasi sigma sebagai

Contoh:

BARISAN DERET ARITMETIKA Barisan Aritmetika Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika

Definisi Suatu barisan u₁ , u₂ , u₃ , . . . un disebut barisan aritmetika jika untuk sebarang nilai n berlaku hubungan : dengan b adalah suatu tetapan ( konstanta ) yang tidak tergantung pada n.

Rumus umum suku ke-n Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b. Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika itu ditentukan oleh

Rumus suku tengah Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil ( 2 k – 1 ), dengan k bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan aritmetika itu adalah suku ke-k atau uk dan rumus suku tengah uk ditentukan oleh hubungan :

Contoh:

Sisipan pada Barisan Aritmetika Misalkan diantara dua bilanan real x dan y (dengan x ≠ y) akan disisipkan sebanyak k buah bilangan(k ϵ bilangan asli ). Nilai beda barisan aritmatika dengan x dan y ϵ bilangan real (x ≠ y ) dan k ϵ bilangan asli

BARISAN DERET ARITMETIKA Barisan Aritmetika Deret Aritmetika

Deret Aritmetika

Definisi Jika u₁ , u₂ , u₃ , . . . un merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka u₁ + u₂ + u₃ +. . . + un dinamakan sebagai deret aritmetika.

Rumus jumlah n suku pertama Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika u₁ + u₂ + u₃ +. . . + Un₋₁ ditentukan dengan menggunakan hubungan Dengan n = banyak suku , a = suku pertama , dan Un = suku ke-n

Sifat-sifat Sn pada deret aritmetika

BARISAN DERET GEOMETRI Barisan Geometri Deret Geometri

Barisan Geometri

Definisi Suatu barisan u₁ , u₂ , u₃ , . . . um disebut barisan geometri jika untuk sebarang nilai n ϵ bilangan asli kurang dari m berlaku hubungan : dengan r adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n.

Rumus umum suku ke-n Misalkan suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. rumus umum suku ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh

Rumus suku tengah Suatu barisan geometri dengan banyak suku adalah ganjil ( 2 k – 1 ), dengan k ϵ bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-k atau uk dan rumus suku tengah uk ditentukan oleh hubungan

Contoh:

Sisipan pada Barisan Geometri Diantara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Nilai rasio barisan geometri yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan Untuk k genap Untuk k ganjil

BARISAN DERET GEOMETRI Barisan Geometri Deret Geometri

Deret Geometri

Definisi Jika u₁ , u₂ , u₃ , . . . un merupakan barisan geometri , maka u₁ + u₂ + u₃ +. . . + un dinamakan sebagai deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama Jumlah n suku pertama deret geometri u₁ + u₂ + u₃ +. . . + un₋₂ + un₋₁ +. . . un ditentukan dengan menggunakan hubungan dengan n = banyaknya suku, a = suku pertama, dan r = rasio

Deret Geometri Tak Hingga Deret geometri tak hingga a + ar² +. . . + arⁿ⁻¹ +. . . dikatakan 1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen , jika dan hanya | r | < 1. limit jumlah itu ditentukan oleh 2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika | r | > 1

Contoh:

MENGGUNAKAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN Algoritma Pembuktian dengan induksi matematika Contoh

Algoritma Langkah 1 Tunjukkan bahwa rumus S(n) benar untuk n = 1 Langkah 2 Tunjukkan bahwa jika rumus S(n) benar untuk n = k, maka rumus S(n) juga benar untuk nilai n=k+1

MENGGUNAKAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN Algoritma Pembuktian dengan induksi matematika Contoh

Contoh: Pembuktian Langkah 1

Langkah 2