Primijenjena matematika Damir Krstinic damir krstinicfesb hr Diskretna

Primijenjena matematika Damir Krstinic damir. krstinic@fesb. hr

Diskretna statistička obilježja l l Neka je zadan niz statističkih podataka x 1, x 2, . . . , xn i neka su a 1, a 2, . . . , ar međusobno različite vrijednosti tog statističkog niza. Svaka od vrijednosti a 1, a 2, . . . , ar se u nizu pojavljuje s frekvencijom f 1, f 2, . . . , fr Ovako organizirani podaci lako se prikazuju tablično i grafički.

Relativne frekvencije l Za različite vrijednosti a 1, a 2, . . . , an s pripadnim frekvencijama f 1, f 2, . . . , fn, relativne frekvencije definiramo kao f 1/n, f 2/n, . . . , fn/n. l Ukupan broj podataka u nizu jednak je

Aritmetička sredina i varijanca l Aritmetičku sredinu niza definiramo sa l Disprezija ili varijanca statističkog niza je l Standardna devijacija statističkog niza je

Primjer 1 l l Broj glavica kupusa po beraču kupusa dan je nizom statističkih podataka: 3, 5, 3, 0, 5, 4, 6, 3, 5, 3, 4, 1, 0, 3, 4, 5, 6, 3, 0, 4, 1, 2, 0, 3, 4, 5, 3, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 2, 1, 5 Tabličnim prikazom podataka olakšavamo računanje numeričkih karakteristika niza

Tablični prikaz ak 0 1 2 fk 6 4 5 a kf k 0 4 10 a k 2 f k 0 4 20 3 4 5 6 16 12 8 5 n=56 48 48 40 30 180 144 192 200 180 740 S

Proračuna parametara stat. niza l Iz tablice računamo:

Proračun korištenjem Matlaba l Podatke unosimo u Matlab. l Za obradu podataka pišemo funkciju koja računa pripadne frekvencije za međusobno različite vrijednosti statističkog niza

a k, f k function [a, f]=af(x) x=sort(x); j=1; a(1)=x(1); f(1)=1; for k=2: size(x, 2) if x(k)==x(k-1) f(j)=f(j)+1; else j=j+1; a(j)=x(k); f(j)=1; end

Parametri niza l Nakon proračuna frekvencija, računamo parametre niza x=[3 5 3 0 5 4 6 3 5 3 4 1. . . 0 3 4 5 6 3 0 4 1 2 0 3 4 5 3. . . 3 2 3 4 5 6 4 3 2 4 2 1 3 4 5 6 4. . . 3 4 2 1 5 ]; [a, f]=af(x); n=sum(f) sv=a*f’/n d=(a. ^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

Grafički prikaz Izračunate podatke moguće je grafički prikazati: plot(a, f) l

Kontinuirana statistička obilježja l l l Neka je zadan niz od n statističkih podataka x 1, . . . , xn kontinuiranog statističkog obilježja. Podatke svrstavamo u razrede [a 0, a 1), . . . , [ar-1, ar] širina c, sa ritmetičkim sredinama razreda s 1, . . . , sn. Ako frekvencije razreda označimo redom sa f 1, . . , fn, a pripadne relativne frekvencije sa r 1, . . . rn, podatke možemo pregledno prikazati

Primjer 2 l Mjerena je težina glavica kupusa, pri čemu su dobiveni sljedeći podaci: 5. 22, 3. 03, 2. 81, 4. 23, 2. 67, 1. 90, 3. 97, 5. 65, 5. 44, 4. 57, 3. 89, 3. 60, 3. 85, 2. 52, 2. 14, 3. 97, 4. 98, 2. 70, 2. 09, 4. 22, 2. 54, 5. 06, 4. 33, 2. 94, 3. 47, 4. 24, 3. 59, 2. 83, 4. 58, 3. 15 l Podatke organiziramo u r=5 razreda i računamo numeričke karakteristike niza

Parametri niza l l Uočavamo da je najmanja vrijednost u nizu 1. 90, a najveća 5. 65 Kako imamo 5 razreda, njihova širina je c=(5. 65 -1. 90)/5=0. 75

Računanje korištenjem Matlaba l Definiramo funkciju sfc(x, r) koja podatke svrstava u zadani broj razreda x=[5. 22 3. 03 2. 81 4. 23 2. 67 1. 90 3. 97 5. 65. . . 5. 44 4. 57 3. 89 3. 60 3. 85 2. 52 2. 14 3. 97. . . 4. 98 2. 70 2. 09 4. 22 2. 54 5. 06 4. 33 2. 94. . . 3. 47 4. 24 3. 59 2. 83 4. 58 3. 15]; [s, f, c] = sfc(x, 5); n=sum(f) sv=s*f’/n d=(s. ^2)*f’/n-sv^2 sd=sqrt(d)

Grafički prikaz l Podatke prikazujemo grafički plot(s, f) bar(s, f)

Binomna razdioba l Za binomnu razdiobu s parametrima karakteristično je da su vrijednosti ak-ova 0, 1, . . . , n. l Ako je X slučajna varijabla distribuirana po binomnoj razdiobi, onda je vjerojatnost da ona poprimi određenu vrijednost k (k=0, 1, 2, . . . , n):

Primjer 3 l Rezultati natjecanja u ispijanju piva dani su u tablici. Zbog sigurnosti natjecatelja, maksimalan broj ispijenih piva ograničen je na 10. Rezultate prilagodite binomnoj razdiobi. Broj piva Pripadne frekvencije ak=k 0 2 1 3 2 5 3 15 4 18 5 10 6 11 7 4 8 3 fk

Rešenje: a=0: 8 f=[2 3 5 15 18 10 11 4 3] N=sum(f) n=10 sv=a*f’/N p=sv/n ft=round(N*binomna(n, p, a))

Poissonova razdioba l l Kod Poissonove razdiobe, vrijednosti ak su svi prirodni brojevi i nula. Ako je X slučajna varijabla distribuirana po Poissonovoj razdiobi s parametrom l>0 (l=sv), onda je vjerojatnost da ona poprimi vrijednost k dana sa:

Primjer 4 l Skupina iračkih gerilaca natječe se u gađanju Američkih vojnika. Rezltate natjecanja u broju pogođenih Amerikanaca, dane u tablici, prilagodi Poissonovoj razdiobi. ak=k 0 1 fk 36 101 150 221 312 236 151 88 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 14 6 3 1 1

Rješenje a=0: 13 f=[36 101 150 221 312 236 151 88 32 14 6 3 1 1] N=sum(f) sv=a*f '/N ft=round(N*poisson(sv, a)) Rezultat: ft = 23 93 190 259 264 215 146 85 43 20 8 3 1 0

Grafički prikaz rezultata plot(a, f, a, ft, ’--’)

Normalna razdioba l Kod normalne razdiobe podaci mogu poprimiti bilo koju realnu vrijednost. l Ako je X slučajna varijabla distribuirana po normaalnoj razdiobi s parametrima m i s 2, onda je njeno očekivanje EX= m, a disperzija (varijanca) DX=Var. X= s 2

Primjer 5 l Mjerenjem pogreške serije dubinomjera, ustanovljeno je da greška varira između – 2 i 0. 5 m. Podatke grupirane u 5 razreda, dane u tablici, prilagodi normalnoj razdiobi. razredi frekvencije fk -2, -1. 5 5 -1. 5, -1 10 -1, -0. 5 20 -0. 5, 0 8 0, 0. 5 3

Rješenje – parametri razdiobe c=0. 5 dg=-2: c: 0 gg=dg+c f=[5 10 20 8 3] s=(dg+gg)/2 N=sum(f) sv=s*f’/N d=(s. ^2)*f’/N-sv^2 sd=sqrt(d)

Teorijske frekvencije l l Aritmetičku sredinu sv interpretiramo kao očekivanje m, a sd kao standardnu devijaciju s. Teorijske frekvencije računaju se prema:

Računanje teoretskih frekvencija l Jednorenu matricu (vektor) teoretskih frekvencija u matlabu računamo naredbom: ft=N*c/sd/sqrt(2*pi)*exp(-((s-sv)/sd). ^2 /2) ft=round(ft)