REALNA ZAPOREDJA Zaporedje je preslikava mnoice naravnih tevil

REALNA ZAPOREDJA Zaporedje je preslikava množice naravnih števil ( N ) v množico realnih števil ( R ) N f R ali 1

Lahko tudi zapišemo Elemente zaporedja imenujemo člene zaporedja Kadar poznamo predpis f po katerem N preslikavamo v R, zaporedje zapišemo s splošnim členom 2

Aritmetično zaporedje 3

Geometrično zaporedje 4

Meje zaporedja je navzgor omejeno zaporedje, če lahko najdemo tako realno število G, da velja G zgornja meja zaporedja Velja : Zaporedje, ki je navzgor omejeno ima poljubno mnogo zgornjih mej ! 5

Definicija Najmanjša zgornja meja se imenuje natančna zgornja meja ( M ) M = inf(G) je navzdol omejeno zaporedje, če lahko najdemo tako realno število g, da velja 6

Velja Zaporedje, ki je navzdol omejeno, ima poljubno mnogo spodnjih mej Največja spodnja meja se imenuje natančna spodnja meja (m). m = sup (g) Zaporedje, ki je na obe strani omejeno, pravimo da je omejeno 7

Za poljuno realno število A in okolico števila A imenujemo odprti interval Geometrično je to daljica na realni osi A Oznaka ali 8

Stekališče zaporedja je tako realno število s, da se v vsaki njegovi okolici nahaja neskončno mnogo členov zaporedja Weirstrass-ov izrek Vsako neskončno in omejeno zaporedje ima vsaj eno stekališče Konvergentno zaporedje imenujemo zaporedje, ki ima natanko eno stekališče 9

Zaporedje, ki ni konvergentno je divergentno Edino stekališče konvergentnega zaporedja imenujemo LIMITA zaporedja Simbolično zapišemo limito 10

Pri konvergentnem zaporedju z limito A, vedno moremo najti dovolj pozen člen , da za vsak n > k pri poljubnem velja Posledica Izven (A limita konvergentnega zaporedja)leži vedno končno mnogo členov zaporedja. 11

Dve vprašanji -kdaj je neko zaporedje konvergentno -kako konvergentnemu zaporedju izračunati limito Cauchy-jev izrek Potreben in zadosten pogoj zato, da je zaporedje konvergentno je, da velja 12

Monotona zaporedja monotono naraščajoče zaporedje strogo naraščajoče zaporedje monotono padajoče zaporedje strogo padajoče zaporedje 13

Izrek Vsako monotono naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, prvi člen zaporedja je enak natančni spodnji meji Izrek Vsako monotono padajoče zaporedje je navzgor omejeno, prvi člen je enak natančni zgornji meji 14

Izrek Monotono naraščajoče in navzgor omejeno zaporedje je konvergentno in velja Izrek Monotono padajoče in navzdol omejeno zaporedje je konvergentno in velja 15

LASTNOSTI konvergentnih zaporedij Izrek Če konvergentnemu zaporedju dodamo ali odvzamemo poljubno končno število členov, je zaporedje še vedno konvergentno z isto limito Dani naj bosta konvergentni zaporedji in z limito A z limito B 16

Vpeljemo zaporedja Zaporedje vsote Zaporedje razlike Produktno zaporedje Kvocientno zaporedje Izrek Zaporedje vsote dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka vsoti limit 17

Izrek Zaporedje razlike dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka razliki limit Izrek Produktno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka produktu limit 18

Izrek Kvocientno zaporedje dveh konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje, limita je enaka kvocientu limit predpostavljamo Konstantno zaporedje je zaporedje, ki ima vse člene enake. 19

Izrek Če vsi členi zaporedja vsebujejo konstantni faktor k, ga lahko izpostavimo in velja 20

VRSTE s konstantnimi členi Vsoto členov neskončnega zaporedja imenujemo vrsta Definicija Vrsta je konvergentna, če je njena vsota končno realno število, sicer je vrsta divergentna 21

Vrsti priredimo zaporedje delnih vsot 22

Vrsta je konvergentna natanko tedaj, kadar je konvergentno zaporedje delnih vsot vrste je konvergentna vrsta tedaj in le tedaj, če k vsakemu lahko najdemo tak , da je za vsak veljavno ali 23

Dani sta vrsti Vrsta je majoranta za vrsto kadar za vsak velja , Če je konvergentna majoranta vrste, potem je tudi vrsta konvergentna. 24

Vrsta za konvergira, če velja : in 25

26