Sistem Bilangan dan Himpunan Tim Pengampu Matematika Ekonomi

BILANGAN Bilangan, adalah suatu konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.

Bilangan, adalah suatu konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangan nol dan bilangan bulat positif. Contoh: B = {. . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } Bilangan asli adalah bilangan positif yang dimulai dari bilangan satu ke atas. Contoh: A = { 1, 2, 3, . . . } Bilangan prima adalah bilangan yanga tidak dapat dibagi oleh bilangan apapun, kecuali bilangan itu sendiri dan 1 (satu). Contoh: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . } Bilangan cacah adalah himpunan bilangan positif dan nol. Contoh: C = { 0, 1, 2, 3, . . . } Bilangan nol adalah bilangan nol itu sendiri (0) Contoh: N = { 0 } Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut sebagai pembilang dan bilangan b disebut sebagai penyebut. Contoh: H = { 1/2, 2/3, 1/6, 5/8, . . . } Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh: R = { ¼, ¾, . . } Bilangan irrasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan selain bilangan rasional. Contoh: I = { √ 2, √ 3, √ 6, . . . } Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional itu sendiri. Contoh: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √ 2, √ 5, . . . }

Bilangan negatif adalah bilangan bernilai negatif. Contoh: N = { -1, -2, , . . } Bilangan positif adalah bilangan yang bernilai positif selain nol. Contoh: P = { 2, 7, 9, . . } Bilangan ganjil adalah bilangan yang apabilan dibagi 2 hasilnya selalu tersisa 1 atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan (2 n-1) dengan n = bilangan bulat. Contoh: G = { 1, 3, 5, 7, . . } Bilangan genap adalah bilangan yang selalu habis dibagi 2. Contoh: B = { 2, 4, 6, 8, 10, . . . } Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan bukan termasuk bilangan prima. Contoh: K = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, . . . } Bilangan riil adalah bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk decimal. Contoh: L = { 5/8, 4/5, . . } Bilangan kompleks adalah bilangan yang angota-anggotanya (a + bi) dimana a, b ϵ R, i 2 = -1. Dengan a bagian bilangan rill dan b bagian dari bilangan imajiner. Contoh: K = { 2 -3 i, 8+2, . . } Bilangan imajiner adalah bilangan i (satuan imajiner) dimana i adalah lambang bilangan baru yang bersifat i 2 = -1. Contoh: M = { i, 4 i, 5 i, . . . } Bilangan romawi adalah sistem penomoran yang berasal dari romawi kuno menggunakan huruf latin yang melambangkan angka numerik. Contoh: W = { I, III, IV, V, VI, IX, XII, . . } Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak dua kali dan disimbolkan dengan pangkat 2. Contoh: D = { 22, 32, 42, 52, . . . }

HIMPUNAN o Himpunan adalah kumpulan objek – objek yang berbeda. o Objek didalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. o Penyajian himpunan : 1. Enumerasi ( menyebutkan semua anggota himpunan yang ada) contoh 1 : A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 4, 6, 8} 2. Simbol – simbol baku (ditulis dengan menggunakan huruf kapital yang dicetak tebal) contoh 2: N = himpunan bilangan asli = {1, 2, …}

3. Notasi pembentuk himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } contoh 3: A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5 A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} contoh 4: M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF 2151} 4. Diagram Venn Contoh 5: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn :

Himpunan bilangan yang penting untuk diketahui adalah himpunan bilangan Asli, himpunan bilangan Cacah, himpunan bilangan Bulat, himpunan bilangan Rasional, himpunan bilangan Irrasional (tak terukur), himpunan bilangan Real.

Sifat Ketidaksamaan Bilangan Real a. Sembarang bilangan Real a dan b, dapat terjadi salah satu dari tiga hal yaitu : a < b, b < a, atau a = b. b. Jika a < b dan b < c maka a < c. c. Jika a < b, maka a + c < b + c untuk sembarang nilai c. d. Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc. e. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc.

a. Sifat komutatif untuk penjumlahan x+y=y+x b. Sifat komutatif untuk perkalian x. y = y. x c. Sifat assosiatif untuk penjumlahan x + (y + z) = (x + y) + z d. Sifat assosiatif untuk perkalian x (yz) = (xy) z e. Sifat distributif x (y + z) = xy + xz

KARDINAL Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. notasi : n(A) atau |A| Contoh 6: A = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}, A={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, maka |A| = 8 12

Himpunan Kosong dan Himpunan Bagian (subset) Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0. Notasi : atau { } Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. B dikatakan superset dari A. Notasi : A B 13

HIMPUNAN SAMA A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A Contoh : (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B 14

HIMPUNAN EKIVALEN Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B Contoh : Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4 15

Himpunan Saling Lepas Dua himpunan dikatakan saling lepas, jika dan hanya jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: Contoh : JIka A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A//B 16

Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2 A Jika A = m, maka P(A) = Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} 17

Operasi Himpunan Irisan (intersection) Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya dari himpunan A dan B. Notasi : A B = {x|x є A dan x є B} Contoh : Jika A = {1, 3, 5, 8, 10} dan B = {2, 5, 10, 15, 17}, maka A B = {5, 10} 18

Gabungan (union) Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A dan B. Notasi : A B = { x x A atau x B } Contoh : Jika A = { 2, 7, 9 } dan B = { 2, 6, 10 }, maka A B = { 2, 6, 7, 9, 10 } 19

PRINSIP DUALITAS 20

Komplemen (complement) Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang mengandung semua elemen dalam semesta pembicaraan yang tidak ada didalam A. Notasi : A= { x x U, x A } Contoh : Misalkan U = { 1, 2, 3, . . . , 9 } jika A = {1, 3, 5}, maka : A = {2, 4, 6, 7, 8, 9}

Selisih (difference) Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Selisih dari A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A. Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B Contoh : {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2} 22

Perkalian Kartesian (cartesian product) Perkalian Kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya adalah semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } Kardinalitas perkalian kartesian : A B = A B 23

Prinsip Inklusi-Eksklusi • Prinsip Inklusi-Eksklusi adalah suatu prinsip yang digunakan untuk mengetahui jumlah elemen hasil penggabungan dari beberapa himpunan. • Jumlah elemen hasil penggabungan dihitung dari jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen di dalam irisannya. • Untuk dua himpunan A dan B: A B = A + B – 2 A B 24

Contoh: U=100 A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15), Hitunglah jumlah bilangan yang habis di bagi 3 atau 5? yang ditanyakan adalah A B. A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A B = 100/15 = 6 A B = A + B – A B = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5. 25