FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Ricordiamo che

FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

Ricordiamo che … Una funzione di due variabili è del tipo z = f(x , y) Si definisce funzione reale di due variabili reali una relazione che associa ad ogni coppia di numeri reali (x, y) appartenenti al Dominio uno ed un solo numero reale z Assegnando a x e y due valori del Dominio si ottiene il valore di z e, quindi, il punto P(x ; y ; z) x y Esempio: z = 3 x-y+9 Se x = 2 e y = 7 si ottiene z = 8 Il punto è P(2 ; 7 ; 8) z

Questo punto può essere rappresentato nello “spazio” P(2 ; 7 ; 8) 8 P 2 7

Dominio di una funzione a due variabili • Il Dominio è il sottoinsieme del prodotto cartesiano R X R costituito da tutte le coppie (x, y) di numeri reali che hanno per corrispondente un ed un solo numero reale Z

Dominio di una funzione a due variabili Per determinare il dominio di una funzione a due variabili e’ necessario procedere alla sua classificazione: • Funzione intera o Funzione Fratta • Funzione razionale o irrazionale • Funzione trascendente : logaritmica, esponenziale

Grafico di una funzione a due variabili Rappresentare graficamente una funzione di due variabili è piuttosto complesso poiché si tratterebbe di tracciare il grafico di una superficie in sistema di assi cartesiani x, y, z e questo non è sempre agevole. Esistono programmi svolti dal calcolatore che danno l'idea di queste immagini: sono molto suggestive, ma non sempre evidenziano certi comportamenti della funzione.

Piano di equazione z = 3 x+2 y+10

z = 2 x 2 y

z = xy

z = x 2 + y 2 25

z = y 2 x 2

Linee di livello E’ possibile avere delle informazioni sul grafico della funzione tracciando le sue “linee o curve di livello”. Le linee di livello sono la proiezione ortogonale sul piano x, y di tutti i punti aventi la stessa quota z = K In pratica è come se si tagliasse la superficie con dei piani orizzontali a differenti quote e si trasferisse il risultato di questo “taglio” sul piano x, y

Per costruire le linee di livello occore partire da un sistema: f(x, y) = k equazione della generica linea di livello Assegnando dei valori alla quota z si identificano le varie linee di livello che sono quindi rappresentabili sul piano x, y ponendo accanto a ciascuna di esse la relativa quota z

Clicca per visualizzare le linee di livello

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DERIVATE PARZIALI Nello studio dell’analisi si incontra il concetto di derivata; data una funzione y = f(x) si definisce la sua derivata come: Il rapporto a fianco del simbolo del limite viene detto RAPPORTO INCREMENTALE

Nel caso di una funzione a due variabili è necessario scrivere due definizioni Questa scrittura definisce la derivata parziale rispetto a x in quanto la y viene considerata costante y’x Questa scrittura definisce la derivata parziale rispetto a y in quanto la x viene considerata costante y’y

Esempio : z = x 2 y +2 x y 2 Z’ = 2 x+2 x Z’ = 1 2 y y Ovviamente sono valide tutte le regole di derivazione applicate nello studio delle funzioni ad una sola variabile y = f(x)

DERIVATE SUCCESSIVE Anche nel caso di funzioni a due variabili è possibile procedere al calcolo delle derivate successive. Z’’x x significa che a partire dalla z’x devo ancora derivare rispetto alla x Z’’x y significa che a partire dalla z’x devo ancora derivare rispetto alla y Z’’ y x significa che a partire dalla z’y devo ancora derivare rispetto alla x Z’’y y significa che a partire dalla z’ y devo ancora derivare rispetto alla y

Teorema di Schwarz Esso afferma che le due derivate seconde z’’ x y e z’’ y x sono uguali Z’’XY = Z’’ YX Esempio. Data la funzione z = 3 x 2 +5 xy-y 3 verificare il Teorema di Schwarz Z’x = 6 x+5 y Z’ y = 5 x-3 y 2 Z’’x y = 5 Z’’y x = 5

PIANO TANGENTE Nello studio dell’analisi matematica è stato più volte ricordato il significato geometrico della derivata prima, che rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in un determinato punto alla funzione. Assegnato un punto P(x 0, y 0) appartenente ad una funzione y = f(x) è possibile ricavare la retta tangente a partire dall’equazione del fascio proprio di rette passante per P y-y 0 = m·(x-x 0) dove è rappresentato dalla derivata prima della funzione f’(x 0, y 0)

In analogia su quanto detto per le funzioni ad una variabile, è possibile scrivere l’equazione del piano tangente in un punto P(x 0, y 0, z 0) ad una superficie: Z = f(x 0, y 0)+f’x(x 0, y 0)·(x-x 0) + f’y(x 0, y 0) ·(y-y 0) Dove f’x e f’y sono le derivate prime parziali della funzione z = f(x, y) calcolate nel punto di tangenza P(x 0, y 0, z 0) Il piano tangente può esser utilizzato per approssimare la superficie nell’intorno dl punto di tangenza.

MASSIMI E MINIMI Si ricorda la definizione di massimo relativo: Un punto M è di massimo relativo se esiste un suo intorno o intervallo I nel quale il punto M > P(x, y) per ogni punto P appartente all’intervallo Analoga la definizione di minimo relativo. Se poi la disuguaglianza è valida per tutto il dominio, si avrà un massimo assoluto o minimo assoluto. Max assoluto Max. relativo Min assoluto

MASSIMI E MINIMI LIBERI Esistono due metodi per la ricerca dei massimi e minimi liberi: A) Metodo delle derivate B) Metodo delle linee di livello

Metodo delle derivate Assegnata ala funzione z = f(x, y) si procede al calcolo delle derivate parziali prime che vengono poste uguali a zero: CONDIZIONE NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE I punti le cui coordinate sono le soluzioni del sistema sono detti PUNTI CRITICI O STAZIONARI: fra tali punti si devono ricercare i massimi ed i minimi della funzione. Per decidere se si tratta effettivamente di massimo o di minimo, occorre esaminare il determinante hessiano

Ora occorre andare a verificare il valore di H nel o nei punti critici precedentemente ricavati. Sia P(x 0, y 0) un punto critico Se H (x 0, y 0) > 0. Se H (x 0, y 0) < 0 Se H (x 0, y 0) e ƒ''XX(X 0, Y 0) > 0 in P si ha un minimo relativo ƒ''XX(X 0, Y 0) < 0 in P si ha un massimo relativo In P si ha un punto di sella è dubbio il comportamento della funzione in P è dubbio e bisogna utilizzare un altro metodo o esaminare la funzione nell’intorno di P

Esempio: determinare gli eventuali massimi e minimi relativi della funzione Z = x² – xy + 2 y² + 3 x + 2 y calcolo delle derivate parziali prime: Z'X = 2 x – y + 3 Z‘y = – x + 4 y + 2 Le due derivate prime vengono messe a sistema ponendole uguali a zero: Le soluzioni del sistema sono: Abbiamo ottenuto dunque un solo punto critico o stazionario Ora si procede al calcolo delle derivate seconde: Z''XX = 2 Z''YY = 4 Z''XY = Z''YX = – 1

Si procede quindi al calcolo del determinante Hessiano: In questo caso l’Hessiano ci fornisce già un valore numerico cioè è puntuale. Poiché H >0 il nostro punto critico può essere un massimo o un minimo: Per arrivare alla conclusione si analizza la Z ’’xx che essendo uguale a 2 ci porta alla conclusione che il punto P(-2, -1, -4) è un punto di minimo

Metodo delle linee di livello Il metodo consiste nel tracciare le linee di livello della funzione z = f(x, y): Una volta tracciate le linee di livello si andrà ad analizzarle per capire se esse degenerano in un punto. In tale punto ci sarà il massimo o il minimo a seconda dell’andamento del valore della z

MASSIMO E MINIMI VINCOLATI In molte applicazioni sorge il problema di determinare gli eventuali massimiminimi di una funzione le cui variabili non sono indipendenti ma devono soddisfare certe condizioni; si parla in tal caso di massimi-minimi vincolati. In economia ad esempio nell’ottimizzare la funzione dei profitti di un’impresa che produce e vende un prodotto si tiene conto del vincolo espresso dalla funzione di domanda del bene. Dunque un problema di massimo-minimo vincolati si presenta in questo modo: Z=f(x, y) da massimizzare – minimizzare con vincolo g(x, y) =0 Esempio Determinare il massimo-minimo della funzione z = x 2+y 2 - 4 con il vincolo x + y-2=0

Massimi-minimi vincolati Esistono sostanzialmente tre metodi di risoluzione A) Metodo di sostituzione B) Metodo della funzione Lagrangiana C) Metodo delle linee di livello tangenti

Metodo di sostituzione Procedimento : • • Si esplicita il vincolo rispetto ad una variabile (x o y indifferentemente) Si sostituisce l’espressione ricavata nella funzione iniziale eliminando dunque una variabile • Si procede come per il calcolo di massimi-minimi in una funzione ad una variabile Esempio: trovare max. -min della funzione: con vincolo Si esplicita nel vincolo rispetto ad y E si sostituisce nella funzione z ottenendo così una funzione con una sola variabile:

Il problema ora è diventato un problema di analisi di funzione ad una sola variabile. Si procede quindi al calcolo della derivata prima che viene posta uguale a zero: Si sono ottenuti due punti critici. Ora si può procedere in due modi: Con lo studio della crescenza/decrescenza o con lo studio della derivata seconda: + 0 - - - - 0 + + -3 Max z’’= 2 x+1 2 min z’’(2) = 2 min (2, -5, 2/3) z’’(-3)=-5 Max(-3, -15/2, 43/2)

Metodo della funzione Lagrangiana Assegnata la funzione z=f(x, y) e il vincolo g(x, y) si costruisce una nuova funzione detta FUNZIONE LAGRANGIANA: Z = f(x, y) + λ·g(X, Y) λ è detto moltiplicatore di Lagrange e trasforma un problema di massimo – minimo vincolato in un problema di massimo – minimo libero vincolato. La funzione Lagrangiana è una funzione a tre variabili: x, y, λ Condizione necessaria, ma non sufficiente affinchè Z abbia un massimo (minimo) vincolato è data dal contemporaneo annullamento delle derivate parziali prime rispetto a (λ, x, y).

Le soluzioni del sistema sono dette punti critici o punti stazionari A questo punto si procede al calcolo di un determinante detto Hessiano Orlato: Dove g’x e g’y sono le derivati parziali del vincolo e Z’’xx Z’’xy Z’’yy le derivate parziali seconde della funzione Lagrangiana Per ogni punto critico p(x 0, y 0, λ 0) deve essere calcolato il valore dell’Hessiano orlato e verificare se: H (X 0, Y 0, λ 0) > 0 in P 0 la funzione ha un massimo vincolato H (X 0, Y 0, λ 0) < 0 in P 0 la funzione ha un minimo vincolato H (X 0, Y 0, λ 0) = 0 non si può dire nulla ed occorre studiare la funzione nei punti del vincolo prossimi a P 0

Metodo delle linee di livello tangenti • Si rappresenta graficamente la funzione per curve di livello evidenziando la relazione esistente fra il variare della variabile z e le curve • Si rappresenta graficamente il vincolo (nello stesso sistema cartesiano) • Si cercano, fra tutte le curve di livello che sono tangenti al vincolo: nei punti di tangenza, se ci sono, si avranno max-min vincolati