abc MATEMATIKA 2 UNIVERZITETNI TUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1

abc MATEMATIKA 2 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

INTEGRAL LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE Elementarni študij funkcije : enačbe, neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij. Lokalne lastnosti funkcije : zveznost, odvedljivost. (lokalne lastnosti se lahko zelo spremenijo že ob majhni spremembi funkcijskih vrednosti) Znotraj dane natančnosti zvezne funkcije ni mogoče ločiti od nezvezne. MATEMATIKA 2 2

INTEGRAL LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE funkcija odvod majhna razlika pri funkcijskih vrednostih velika razlika pri vrednostih odvoda Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe? povprečna vrednost osnovne funkcije: 10. 9166 povprečna vrednost ‘zanihane’ funkcije: 10. 9195 Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti. MATEMATIKA 2 3

INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM p a b p je povprečna vrednost funkcije f na intervalu [a, b], če je ploščina pod grafom enaka ploščini pravokotnika. p = (ploščina pod grafom funkcije f ) : (b-a) MATEMATIKA 2 4

INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM Ploščino pod grafom funkcije ocenimo s pomočjo pravokotnikov: Vsota ploščin včrtanih pravokotnikov je manjša od ploščine pod grafom. Vsota ploščin očrtanih pravokotnikov je večja od ploščine pod grafom. Intuitivno, z delitvijo [a, b] na dovolj drobne podintervale, je razlika med včrtano in očrtano ploščino poljubno majhna, zato dobimo kolikor hočemo natančno oceno za ploščino pod grafom. MATEMATIKA 2 5

INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM Formalizem: Privzemimo, da je f: [a, b]→ omejena ( m ≤ f(x) ≤ M za vse x∈[a, b] ). delitev intervala [a, b] mi: natančna spodnja meja f na intervalu [xi-1, xi] Mi: natančna zgornja meja f na intervalu [xi-1, xi] spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin včrtanih pravokotnikov) zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D (vsota ploščin očrtanih pravokotnikov) Pri vseh delitvah D je S( f, D) ≤ ploščina pod grafom f ≤ Z( f, D). MATEMATIKA 2 6

INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Množica spodnjih integralskih vsot je navzgor omejena, zato ima natančno zgornjo mejo, ki jo označimo S( f ) in imenujemo spodnji integral funkcije f. Množica zgornjih integralskih vsot pa je navzdol omejena, zato ima natančno spodnjo mejo, ki jo označimo Z( f ) in imenujemo zgornji integral funkcije f. Vedno je S( f) ≤ Z( f). Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f). Skupno vrednost imenujemo integral funkcije f na intervalu [a, b] in označimo z MATEMATIKA 2 7

INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Katere funkcije so integrabilne? Za vsako delitev D velja S( f, D) ≤ S( f) ≤ Z( f, D), zato je dovolj, če pokažemo, da vedno lahko izberemo delitev D, pri kateri je razlika majhna kolikor želimo. Kakorkoli izberemo delitev D, vedno dobimo S( f, D)=0 in Z( f, D)=1 S( f)=0 in Z( f)=1, torej f ni integrabilna MATEMATIKA 2 8

INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Privzemimo, da je f: [a, b]→ naraščajoča, in izberimo natančnost ɛ: Monotone funkcije so integrabilne. Privzemimo, da je f: [a, b]→ zvezna, in izberimo natančnost ɛ: Zvezne funkcije so integrabilne. f: [a, b]→ je integrabilna, če ima največ števno mnogo točk nezveznosti. MATEMATIKA 2 9

INTEGRAL LASTNOSTI INTEGRALA f pozitivna na [a, b] a b c Ob upoštevanju tega dogovora veljajo vse zgornje formule tudi takrat, ko je spodnja meja integrala večja od zgornje. MATEMATIKA 2 10

INTEGRAL LASTNOSTI INTEGRALA M, m: natančna zgornja in spodnja meja f na [a, b] M m a b Če je f zvezna, zavzame vse vrednosti med m in M. a b Zvezna funkcija na vsakem intervalu zavzame svojo povprečno vrednost. MATEMATIKA 2 11

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA RAČUNANJE PO DEFINICIJI Predpis je neroden za računanje: običajno je težko določiti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na delilnih intervalih. Računanje se poenostavi, če namesto ekstremov izberemo neko vrednost funkcije na intervalu. Na vsakem intervalu delitve izberemo po eno točko ti∈[xi-1, xi] in tvorimo Riemannovo vsoto. Za poljubno delitev D velja: S( f, D) ≤ R( f, D, T) ≤ Z( f, D) . . . MATEMATIKA 2 12

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA f(x)=x na [a, b] D poljubna, za T izberemo: a b Podobno dobimo: MATEMATIKA 2 13

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA f(x)=ex na [0, 1] Podobno dobimo: MATEMATIKA 2 14

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA ANALITIČNO RAČUNANJE f omejena ⇒ f zvezna ⇒ MATEMATIKA 2 F zvezna F odvedljiva in F ’= f osnovni izrek analize 15

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Obratno, če je F ’=f dobimo Newton-Leibnizova formula F je primitivna funkcija za f Primitivna funkcija ni enolično določena, dve primitivni funkciji dane funkcije se razlikujeta za konstanto. MATEMATIKA 2 16

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA § ‘uganemo’ primitivno funkcijo F § izračunamo MATEMATIKA 2 17

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA NUMERIČNO RAČUNANJE Integral računamo numerično, če ne znamo določiti primitivne funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah. Integrand f nadomestimo s približkom g, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati. Približek g določimo na podlagi vrednosti f v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov). napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk približna vrednost integrala MATEMATIKA 2 18

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA METODA TRAPEZOV a b [a, b] razdelimo na n enakih delov: trapezna formula MATEMATIKA 2 Funkcijo f nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo g, določeno s točkami (xk , yk). napaka metode 19

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA SIMPSONOVA METODA a b [a, b] razdelimo na n enakih delov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri točke potegnemo parabolo. Funkcijo f nadomestimo z g, sestavljeno iz teh parabol. Simpsonova formula MATEMATIKA 2 20

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Trapezna metoda : 2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti: xk 0. 0000 0. 2000 0. 4000 0. 6000 0. 8000 1. 0000 yk 1. 0000 0. 8333 0. 7143 0. 6250 0. 5555 0. 5000 3. Vstavimo v trapezno formulo: dejanska napaka 0. 0025 Simpsonova metoda : n=2 (4 delilne točke) dejanska napaka 0. 0001 MATEMATIKA 2 21

INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Oceni ploščino kosa pločevine: 55 cm 51 cm 62 cm 50 cm 12 cm 100 cm MATEMATIKA 2 22

INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE Analitična metoda za izračun integrala sloni na določanju primitivne funkcije in uporabi Newton. Leibnizove formule. Osnovni prijemi za računanje primitivnih funkcij sledijo iz pravil za odvajanje. F primitivna funkcija za f k·F primitivna funkcija za k·f F, G primitivni funkciji za f F+G primitivna funkcija za f+g MATEMATIKA 2 23

INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE Primitivne funkcije produkta, kvocienta ali kompozituma dveh funkcij v splošnem ni mogoče izraziti s pomočjo primitivnih funkcij faktorjev. Velikokrat primitivna funkcija elementarne funkcije ni elementarna funkcija: Za takšne funkcije pravimo, da niso elementarno integrabilne (so pa integrabilne, saj so zvezne). integracija po delih (per partes) MATEMATIKA 2 24

INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE Integral lahko preoblikujemo tako, da namesto x vpeljemo novo spremenljivko Integriranje po spremenljivki x od a do b lahko nadomestimo z integriranjem po spremenljivki u od α do β , pri čemer upoštevamo sorazmernostni faktor x´(u). MATEMATIKA 2 25

INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE PRAVILA ZA INTEGRIRANJE uvedba nove spremenljivke (substitucija) integracija po delih (per partes) MATEMATIKA 2 26

INTEGRAL MATEMATIKA 2 INTEGRACIJSKE METODE 27

INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE Uspešna je tudi substitucija t 2=x 2+1. MATEMATIKA 2 28

INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE INTEGRIRANJE RACIONALNIH FUNKCIJ P(x), Q(x) polinoma 1. korak Če je potrebno, z deljenjem prevedemo na primer, ko je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. 2. korak Imenovalec razcepimo na faktorje, potem pa integrand razcepimo na delne ulomke oblike 3. korak Integriramo dobljeni izraz. MATEMATIKA 2 29

INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI integrand je neomejen, ne ustreza zahtevam za integrabilnost Formalno uporabimo Newton-Leibnizovo formulo: Ali je mogoče razširiti pojem integrabilnosti na tovrstne primere? MATEMATIKA 2 30

INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI Osnovna primera: § f zvezna na [a, b), pri b neomejena § f zvezna na neomejenem intervalu [a, +∞) MATEMATIKA 2 31

INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI limita ne obstaja 2 1 MATEMATIKA 2 32

INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI limita ne obstaja MATEMATIKA 2 33

INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI Ocenjevanje konvergence: obstoj izlimitiranega integrala poskusimo ugotoviti na podlagi primerjave z znanimi integrali. integral obstaja MATEMATIKA 2 34

INTEGRAL MATEMATIKA 2 IZLIMITIRANI INTEGRALI 35

INTEGRAL UPORABA INTEGRALA PLOŠČINE LIKOV MATEMATIKA 2 36

INTEGRAL UPORABA INTEGRALA DOLŽINA KRIVULJE Vsaka delitev intervala določa neko lomljenko. Dolžina krivulje je natančna zgornja meja dolžin lomljenk. Dolžina krivulje (če je f zvezno odvedljiva) MATEMATIKA 2 37

INTEGRAL UPORABA INTEGRALA PROSTORNINA TELESA Riemannova vsota za funkcijo P Prostornina telesa (če je P zvezna) MATEMATIKA 2 38

INTEGRAL UPORABA INTEGRALA VRTENINE Vrtenina je telo, ki ga zaobjamemo z vrtenjem krivulje okoli osi. Prerez na nivoju x je krog s ploščino P(x)=f(x)2 π. Prostornina vrtenine MATEMATIKA 2 39

INTEGRAL UPORABA INTEGRALA NEKATERE FIZIKALNE KOLIČINE, KI SE IZRAŽAJO Z INTEGRALOM (Integriramo funkcije ene spremenljivke, zato se zaenkrat omejimo na primere, ki so ‘enodimenzionalni’. ) Ø Dolžina poti, ki jo točka, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v=v(t) prepotuje v času od t 1 do t 2: Ø Masa krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a, b] in z dolžinsko gostoto r=r(x): ØTežišče krivulje, dane z enačbo y=f(x) na [a, b] in z dolžinsko gostoto r=r(x): Težišče n točk (xi, yi), z masami mi: Ø Delo, ki ga sila F=F(x) opravi vzdolž osi x MATEMATIKA 2 40

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM Kdaj je tako dobljena funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna? Kaj je njen odvod, integral? ZVEZNOST Predpišimo natančnost ε: MATEMATIKA 2 41

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM ODVEDLJIVOST odvod integrala po parametru MATEMATIKA 2 42

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM INTEGRABILNOST Primerjajmo funkciji G 1=G 2 posebej: G 1(b)=G 2(b) zamenjava vrstnega reda integriranja MATEMATIKA 2 43

INTEGRAL MATEMATIKA 2 FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM 44

INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM Formula o zamenjavi vrstnega reda integriranja velja tudi za funkcije f(x, y), ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolž neke gladke krivulje. MATEMATIKA 2 45

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Prostornino pod ploskvijo ocenimo s kvadri. Pravokotnik [a, b]x[c, d] razdelimo na mrežo manjših pravokotnikov. Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo. mij, Mij : natančna spodnja in zgornja meja f(x, y) na pravokotniku [xi-1, xi]×[yi-1, yi] Δyj Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj – yj-1 spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D MATEMATIKA 2 zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D 46

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL spodnji integral funkcije f zgornji integral funkcije f Vedno je S( f) ≤ Z( f). Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f). Zvezne funkcije so integrabilne. Integrabilne so tudi funkcije, pri katerih je množica točk nezveznosti majhna, npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolž neke gladke krivulje. MATEMATIKA 2 47

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Dvojni integral je enak dvakratnemu. MATEMATIKA 2 48

INTEGRAL MATEMATIKA 2 DVOJNI INTEGRAL 49

INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Polovico valja presekamo z ravnino. Določi prostornino dobljenega telesa 2. možnost: MATEMATIKA 2 50

INTEGRAL TRIGONOMETRIČNE VRSTE Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada z oddaljevanjem od izhodišča, zato so za obravnavanje periodičnih funkcij primernejše vrste sestavljene iz trigonometričnih funkcij. Pomožni izračuni: podobno: MATEMATIKA 2 51