abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI TUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 70 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju. ? ? ? Ko sem se zaposlil pred šestimi leti so mi rekli, da je star 70 milijonov let. . . Vse količine, ki jih dobimo z merjenjem so približne, zato njihov zapis mora vsebovati tudi informacijo o natančnosti. Proton je 1836. 12 -krat težji od elektrona. decimalna mesta 1836. 12 značilna mesta Število decimalnih mest je odvisno od zapisa: 1836. 12=1. 83612 x 103=183612 x 10 -2 število značilnih mest pa je vedno enako. MATEMATIKA 1 2
ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE Pomemben dogovor: v zapisu obdržimo le značilna mesta, npr. če Avogadrovo število zapišemo kot N 0=6. 0 x 1023 pomeni, da je tudi zadnja ničla značilna (tj. pravilna). Vsaka količina je rezultat zaokrožanja. Pri tem števke 0, 1, 2, 3, 4 zaokrožamo navzdol, 5, 6, 7, 8, 9 pa navzgor. 1. 08462 = 1. 085 zaokroženo na tri decimalke = 1. 08 zaokroženo na dve decimalki Pozor: 1. 085, zaokroženo na dve decimalki je 1. 09! Zato N 0=6. 0230 x 1023 pomeni 6. 02295 x 1023 ≤ N 0 < 6. 02305 x 1023, oziroma (6. 0230 ± 0. 00005)x 1023 , medtem ko N 0=6. 023 x 1023 pomeni 6. 0225 x 1023 ≤ N 0 < 6. 0235 x 1023 oziroma (6. 023 ± 0. 0005)x 1023 MATEMATIKA 1 3
ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE RAČUNSKA PRAVILA (1. 2846+21. 72) / 13. 14=? kalkulator: 1. 750730594 Katere decimalke je smiselno obdržati? praktična pravila: • natančnost rezultata ne more biti večja od natančnosti podatkov • pri seštevanju in odštevanju naj bo število decimalnih mest rezultata enako najmanjšemu številu decimalnih mest faktorjev (npr. 1. 2846+21. 72=23. 00 in ne 23. 0046) • pri množenju in deljenju naj bo število značilnih mest rezultata enako najmanjšemu številu značilnih mest faktorjev (npr. 23. 0046/13. 14=1. 751 in ne 1. 75 ali 1. 750730594) MATEMATIKA 1 4
ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE S titracijo smo 25 cm 3 raztopine Na. OH nevtralizirali z 12. 21 cm 3 raztopine HCl. Izračunaj koncentracijo Na. OH, če je koncentracija HCl 0. 0942 mol/dm 3. c = (12. 21 x 0. 0942)/25. 00 = 0. 04600728 (12. 215 x 0. 09425)/24. 995=0. 046059761 (12. 205 x 0. 09415)/25. 005=0. 045954839 Upoštevamo tri značilna mesta ⇒ c = 0. 0460 mol/dm 3 Koliko železa nastane, če se pri redukcijski reakciji Fe 2 O 3 + 3 CO 2 Fe + 3 CO 2 porabi 503 g ogljikovega monoksida? (Fe 55. 85 g/mol, CO 28. 01 g/mol) m = 503/28. 01 x 2/3 x 55. 85 = 668. 634412 Števila molekul, ki nastopajo v reakciji (2 Fe, 3 CO) so cela, tj. točna, zato štejemo, da je število značilnih decimalk neskončno. m = 669 g MATEMATIKA 1 5
ŠTEVILA REALNA ŠTEVILA Realna števila so vsa (končna in neskončna) decimalna števila. Realna števila so teoretični konstrukt, ki nam omogoča, da točno izrazimo vse količine. V splošnem ni mogoče podati neskončnega zaporedja decimalk, zato zapis in računanje z realnimi števili slonita na približkih in zaokroževanju. Nekatera realna števila (npr. koreni, števili π in e. . . ) so podana implicitno in z njimi lahko včasih računamo točno, brez zaokroževanja (npr. √ 2 x √ 3 =√ 6, vendar pa √ 2+√ 3 nima nobenega preprostejšega zapisa). Če na premici izberemo enotsko dolžino, lahko množico točk premice enačimo z množico realnih števil ℝ. Tako dobimo številsko premico. 0 1 (pravimo tudi, da smo na premici vpeljali koordinate) MATEMATIKA 1 6
ŠTEVILA REALNA ŠTEVILA Realna števila delimo na racionalna števila (ki jih lahko predstavimo z ulomki) in iracionalna števila (vsa ostala). Decimalni zapis racionalnih števil je periodičen (pri končnih se periodično ponavlja števka 0), torej jih lahko podamo s končnim zapisom. Decimalk iracionalnih števil ni mogoče podati s končnim zapisom. Iracionalnih števil je bistveno več kot racionalnih! Premislek v dveh korakih; omejimo se na interval (0, 1). (a) Lahko naštejemo vse ulomke na intervalu (0, 1): V tem zaporedju so predstavljena vsa racionalna števila na (0, 1), zato pravimo, da je množica racionalnih števil števna. (b) Naštete ulomke lahko pokrijemo z vedno manjšimi intervalčki: 1/2 z intervalom širine 0. 1, 1/3 z intervalom širine 0. 01, 2/3 z intervalom širine 0. 001 in tako naprej. 0 1 Unija teh intervalčkov vsebuje vsa racionalna števila na (0, 1), njihova skupna dolžina pa je Ves preostanek (skoraj 90%!) intervala (0, 1) tvorijo iracionalna števila. . . Podobno se prepričamo, da lahko vsako števno množico pokrijemo s kolikor želimo majhno unijo intervalov. Pravimo, da ima vsaka števna množica mero nič. Skoraj vsa realna števila so iracionalna! MATEMATIKA 1 7
ŠTEVILA REALNA ŠTEVILA Glavna težava pri neskončnih decimalnih številih je, da se z njimi ne da računati. Koliko je 0. 071428 + 0. 213, ali 3. 71213· 0. 523 ? V praksi si lahko pomagamo s približnim računanjem: Realno število podamo z zaporedjem vedno boljših približkov, npr. 3, 3. 14, 3. 1415, 3. 141592, . . . , π. Nato pa računamo s približki: Če namesto a, b ∈ ℝ vzamemo približka a’, b’, potem so a’+b’, a’-b’, a’b’ in a’/b’ približki za a+b, a-b, ab in a/b. Vendar pozor, to niso vedno decimalni približki: 2. 56 x 3. 17 = 8. 1152, medtem ko 2. 5 x 3. 1 = 7. 75 Sčasoma so matematiki spoznali, da je omejevanje na decimalne približke okorno in nepraktično zato so realna števila in računske operacije raje opredelili drugače. MATEMATIKA 1 8
ŠTEVILA REALNA ŠTEVILA Kako bi opredelili ploščino lika na sliki? Naravna možnost je, da jo aproksimiramo s ploščinami včrtanih mnogokotnikov. Kako vemo, da je s tem podano neko realno število? (torej neskončno decimalno število) Opazimo najprej, da so ploščine mnogokotnikov so omejene (npr. s ploščino zunanjega pravokotnika). Vsaka omejena množica realnih števil A ima natančno določen levi in desni rob. Premislek: Desni rob bomo podali z zaporedjem decimalk. Za decimalno število d rečemo, da ne presega množice A, če je d manjši ali enak od kakšnega elementa A. Označimo s c največje celo število, ki ne presega A. Naj bo naprej d 1 največja števka, za katero decimalno število c. d 1 ne presega A. Podobno, naj bo d 2 največja števka, za katero c. d 1 d 2 ne presega A. Nadaljujmo, naj bo d 3 največja števka, da c. d 1 d 2 d 3 ne presega A. S tem postopkom dobimo realno število s=c. d 1 d 2 d 3…, ki ima naslednji lastnosti: (a) pri določanju s vedno vzamemo največjo možno decimalko, zato nobeno število iz A ni večje od s. (b) če je s’<s, potem je neka decimalka s’ manjša od istoležne decimalke s, zato je s’ manjši od nekega elementa iz A, torej A presega vsako število, ki je manjše od s. Število s je torej smiselno imeti za desni rob množice. Podobno opredelimo tudi levi rob. MATEMATIKA 1 9
ŠTEVILA REALNA ŠTEVILA Tako določenemu desnemu robu množice A pravimo natančna zgornja meja množice A, oziroma po latinsko supremum množice A, in zapišemo s=sup A. Vsaka navzgor omejena množica realnih števil ima natančno zgornjo mejo Kadar je supremum s množice A hkrati njen element, pravimo, da je s maksimum množice A in pišemo s=max A. Navzgor omejena množica ima vedno supremum, lahko pa se zgodi, da nima maksimuma. Podobno ima vsaka navzdol omejena množica realnih števil natančno spodnjo mejo, ki ji pravimo tudi infimum in pišemo s=inf A. Kadar je s=inf A element množice A, pravimo, da je s minimum množice A in pišemo s=min A. Navzdol omejena množica ima vedno infimum, lahko pa se zgodi, da nima minimuma. MATEMATIKA 1 10
ŠTEVILA REALNA ŠTEVILA (maksimuma ni) max=0 sup {ploščine krogu vrisanih mnogokotnikov} = ploščina kroga = inf {ploščine krogu orisanih mnogokotnikov} dolžina krivulje = sup {dolžine ‘lomljenk’ ob krivulji} MATEMATIKA 1 11
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA c (a, b, c) (a, b) b 1 0 1 a a b Če na premici določimo izhodišče in enoto, potem vsakemu realnemu številu ustreza točka na premici. Če na dveh pravokotnih premicah določimo izhodišče in enoto, potem vsakemu paru realnih številu ustreza točka v ravnini. Če na treh pravokotnih premicah določimo izhodišče in enoto, potem vsaki trojici realnih številu ustreza točka v prostoru. Številsko premico lahko enačimo z množico realnih števil ℝ. Ravnino lahko enačimo z množico parov realnih števil ℝ 2. Prostor lahko enačimo z množico trojic realnih števil ℝ 3. Ravninska geometrija obravnava objekte (točke, premice, krivulje) v ravnini. MATEMATIKA 1 Prostorska geometrija obravnava objekte (točke, premice, ravnine, krivulje, ploskve ) v prostoru. 12
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Prostorska geometrija je osnova za študij strukture snovi. Geometrične količine, dolžine, ploščine, prostornine, kote itn. lahko izrazimo s pomočjo koordinat, vendar so formule zapletene in neintuitivne. Lažji in geometrično nazornejši pristop je z uporabo vektorskega računa. MATEMATIKA 1 13
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA VEKTORJI Pojem vektorske količine izvira iz fizike, kjer ga sistematično uporabljamo za ponazoritev sil, hitrosti, tokov in drugih fizikalnih količin. poševni met sile na klancu Vektor je matematični objekt, ki ga določata velikost in smer. Vektorje ponazorimo z usmerjenimi daljicami: smer vektorja je določena s premico in njeno orientacijo, velikost pa z dolžino daljice Dve usmerjeni daljici predstavjata isti vektor, če lahko eno premaknemo v drugo z vzporednim premikom (torej, če sta enako dolgi in sta vzporedni v isto smer). MATEMATIKA 1 14
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Vsak vektor lahko ponazorimo z daljico, ki se začenja v izhodišču. Tedaj je vektor določen s koordinatami končne točke, ki jim pravimo komponente vektorja. (v 1, v 2, v 3) Usmerjena daljica od (x 1, x 2, x 3) do (y 1, y 2, y 3) predstavlja vektor s komponentami (y 1 -x 1, y 2 -x 2, y 3 -x 3). Nekatere količine in operacije se enostavno izražajo s komponentami. Velikost vektorja dobimo s pomočjo Pitagorovega izreka: Vektorje seštevamo po paralelogramskem pravilu: vektorja predstavimo z usmerjenima daljicama s skupnim prijemališčem in vzamemo diagonalo dobljenega paralelograma. Komponente vsote dobimo tako, da seštejemo istoležne komponente sumandov: Vektor pomnožimo s številom k tako, da ohranimo smer, dolžino pa pomnožimo s k. Komponente produkta dobimo tako, da s k pomnožimo komponente vektorja: MATEMATIKA 1 (u 1, u 2, u 3)+(v 1, v 2, v 3)=(u 1+v 1, u 2+v 3, u 3+v 3) k·(v 1, v 2, v 3)=(kv 1, kv 2, kv 3) 15
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Tudi kot med vektorjema se da izraziti s komponentami: Formula je zapletena. Lahko jo poenostavimo, če vpeljemo operacijo, imenovano skalarni produkt: Velja: skalarni produkt dveh vektorjev je enak produktu njunih velikosti in kosinusa kota, ki ga oklepata. Tedaj se velikost vektorja kot med in MATEMATIKA 1 in izraža z , pa s sta pravokotna natanko takrat, ko je 16
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Izrazimo ploščino paralelograma, ki ga oklepata vektorja: Poskusimo najprej za Račun za trirazsežne vektorje je še precej daljši, na koncu pa se spet veliko členov uniči, ostane pa vsota polnih kvadratov: MATEMATIKA 1 17
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Tudi formula za ploščino je zelo zapletena, poenostavitev pa ni prav na dlani. Vpeljemo še eno operacijo, imenovano vektorski produkt: Vektorski produkt je torej vektor (za razliko od skalarnega produkta, ki je število) in ima naslednje lastnosti: je enak ploščini paralelograma, ki ga oklepata in sta vzporedna natanko takrat, ko je je pravokoten na na MATEMATIKA 1 in in : 18
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Nadaljnje lastnosti skalarnega in vektorskega produkta: (Enako velik vektor v nasprotni smeri. ) Prostornina paralelepipeda se izraža z mešanim (vektorskim in potem skalarnim) produktom vektorjev stranic. MATEMATIKA 1 19
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA VEKTORJI - POVZETEK KOMPONENTNI ZAPIS GEOMETRIČNI POMEN SKALARNI PRODUKT VEKTORSKI PRODUKT MATEMATIKA 1 20
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Osnovni objekti prostorske geometrije so točke. premice in ravnine. Točke so podane s svojimi koordinatami. Nekoliko presenetljivo so ravnine lažje za obravnavo kot premice, zato se jih lotimo prej. Ravnino lahko opredelimo na različne načine: s točko in premico s i t r e m i t očkam rmalo o n n i o s točk MATEMATIKA 1 21
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA ENAČBA RAVNINE Pogoj, da točka (x, y, z) leži na ravnini izrazimo vektorsko: (normala je pravokotna na vse daljice v ravnini) Po komponentah pa dobimo ( ) Vsaka linearna zveza med koordinatami točk v prostoru predstavlja ravnino. Katero ravnino določa enačba x+y+2 z=2? . MATEMATIKA 1 22
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA RAVNINA SKOZI TRI DANE TOČKE Enačba ravnine skozi točke (1, 1, 0), (-1, 0, 2) in (0, 0, 1): MATEMATIKA 1 23
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA RAZDALJA MED TOČKO IN RAVNINO Razdalja je enaka projekciji vektorja do točke na smer normale. (po potrebi vzamemo absolutno vrednost) (v normirano enačbo ravnine vstavimo koordinate točke) Koliko je točka (0, 3, 1) oddaljena od ravnine x+y+2 z=2? MATEMATIKA 1 24
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA Tudi premico lahko opredelimo na različne načine: to ek v n s m rje ri e sm z dve ma t oč kama i ko č to kot presek dveh ravnin MATEMATIKA 1 25
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA ENAČBA PREMICE Pogoj, da točka (x, y, z) leži na premici izrazimo vektorsko: (daljica na premici je vzporedna s smerjo) Po komponentah pa dobimo Enačbe lahko uredimo v kanonično obliko: MATEMATIKA 1 26
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA PREMICA SKOZI DANI TOČKI Enačba premice skozi (1, 0, -1) in (2, 2, 1): Če je katera od komponent vektorja smeri enaka 0, se enačba premice poenostavi: MATEMATIKA 1 27
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA PREMICA KOT PRESEK DVEH RAVNIN Skozi točko v ravnini lahko potegnemo nešteto premic. Poljubni dve izmed teh določata točko. Podobno skozi premico v prostoru lahko postavimo nešteto ravnin. Poljubni dve izmed teh ravnin enolično določata premico. MATEMATIKA 1 28
LINEARNA ALGEBRA PROSTORSKA GEOMETRIJA PARAMETRIČNI OPIS PREMICE IN RAVNINE MATEMATIKA 1 29
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Vsak vektor na premici skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer je smerni vektor premice in a poljubno število. Vsak vektor na ravnini skozi izhodišče lahko zapišemo kot kjer sta vektorja na ravnini in a 1, a 2 poljubni števili. Množico, v kateri lahko tvorimo linearne kombinacije (in za katere veljajo običajna računska pravila) imenujemo linearni prostor ali vektorski prostor. Dovolj je, če preverimo, ali so linearne kombinacije dveh vektorjev vsebovane v množici. Primeri linearnih prostorov so še realna in kompleksna števila, funkcije, ipd. Cela števila niso linearni prostor, ker pri množenju z realnimi števili ne dobimo nujno cela števila. Pozitivna realna števila niso linearni prostor, ker v njih ne moremo odštevati. MATEMATIKA 1 30
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Najbolj značilni primer vektorskega prostora tvorijo realne n-terice. Elementi so oblike (x 1, x 2, . . . , xn) ℝn , seštevamo in množimo jih po komponentah: (x 1, x 2, . . . , xn)+(y 1, y 2, . . . , yn)=(x 1+y 1, x 2+y 2, . . . , xn+ yn) k·(x 1, x 2, . . . , xn)=(k·x 1, k·x 2, . . . , k·xn) V vektorskem prostoru lahko ene elemente izrazimo kot linearne kombinacije drugih elementov. Včasih vse elemente izrazimo s pomočjo zelo majhnega števila vektorjev. ali v splošnem polinomi MATEMATIKA 1 kompleksna števila 31
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI V je tudi vektorski prostor, ki ga tvorijo trojice (oz. vektorji v prostoru), vendar ne vse. Za podmnožico vektorskega prostora, ki je tudi sama podprostor, pravimo, da je vektorski podprostor. Ravnine in premice skozi izhodišče so podprostori v prostoru vseh vektorjev v ℝ 3. Ravnina, ki ne gre skozi izhodišče, ni podprostora vektorjev v ℝ 3. Polinomi, ki imajo ničlo v točki 1 so podprostor v vektorskem prostoru vseh polinomov. Ali je mogoče v vsakem vektorskem prostoru izbrati nekaj vektorjev in s pomočjo njih izraziti vse ostale? MATEMATIKA 1 32
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Množica vektorjev B je baza vektorskega prostora V, če lahko vsak vektor iz V na en sam način izrazimo kot linearno kombinacijo elementov B. Baza vektorskega prostora mora biti `ravno prav velika’: če je premajhna, se nekaterih elementov V ne bo dalo izraziti z elementi baze; če ima preveč elementov pa se bo dalo elemente V izraziti na (pre)več različnih načinov. Zapis vektorja kot linearne kombinacije neodvisnih vektorjev je vedno enoličen. MATEMATIKA 1 33
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI V vektorskem prostoru V imamo neskončno mnogo možnih izbir za bazo, vsem tem bazam pa je skupno le to, da imajo enako mnogo elementov. Številu elementov baze pravimo dimenzija prostora V in ga označimo dim V. V vektorskem prostoru ℝ 3 lahko za bazo vzamemo vektorje (1, 0, 0), (0, 1, 0) in (0, 0, 1). Poljuben vektor lahko zapišemo kot linearno kombinacijo teh treh in sicer na en sam način: Dimenzija prostora ℝ 3 je 3. Podobno je dimenzija prostora ℝn enaka n. V vektorskem prostoru vseh polinomov lahko za bazo vzamemo vse potence: 1, x, x 2, x 3 , . . . Vektorski prostor vseh polinomov je neskončnodimenzionalen. Kompleksna števila so dvodimenzionalni vektorski prostor z bazo: 1, i. MATEMATIKA 1 34
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Premica skozi izhodišče je vektorski prostor, v katerem lahko za bazo vzamemo (katerikoli) njen smerni vektor. Premica skozi izhodišče je enodimenzionalni vektorski prostor. Ravnina skozi izhodišče je vektorski prostor, v katerem lahko za bazo vzamemo katerakoli vektorja, ki ležita v ravnini, vendar ne na isti premici. Ravnina je dvodimezionalni vektorski prostor. V ravnini z enačbo x+y+2 z=0 lahko za bazo vzamemo vektorja (2, 0, -1) in (0, 2, -1): V vektorskem prostoru ℝ 3 lahko za bazo vzamemo katerekoli tri vektorje, ki ne ležijo v isti ravnini. MATEMATIKA 1 35
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI LINEARNE FUNKCIJE V, W linearna prostora. Funkcija L: V→W je linearna, če ohranja linearne kombinacije, tj. če velja Odvajanje je linearna preslikava, saj velja (a·u(x)+b·v(x))'=a·u'(x)+b·v'(x). MATEMATIKA 1 36
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI LINEARNE ENAČBE Linearna enačba je enačba oblike L(x)=w kjer je L: V→W linearna funkcija in w W. Z ustrezno izbrano linearno funkcijo L in vektorjem w lahko poljubni sistem linearnih enačb strnjeno zapišemo kot eno linearno enačbo. MATEMATIKA 1 37
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Želimo odgovoriti na dve vprašanji: a) Ali je enačba L(x)=w rešljiva? b) Če je enačba rešljiva, kaj so vse njene rešitve? Za linearno funkcijo L: V→W vpeljemo: N(L) je podprostora V, Z(L) pa je podprostora W. Res, če sta v, v' N(L), potem je L(av+a'v')=a. L(v)+a'L(v')=0, torej je tudi av+a'v' N(L). Poleg tega, za L(v), L(v') Z(L) je a. L(v)+a'L(v')=L(av+a'v'), torej je tudi a. L(v)+a'L(v') Z(L). Vsota dimenzij zaloge vrednosti in ničelne množice je ravno dimenzija V. dim Z(L)+dim N(L)=dim V Izberimo bazo L(x 1), …, L(xi) za Z(L) in bazo y 1, …, yj za N(L). Za vsak v V lahko enolično izrazimo L(v)= a 1 L(x 1)+…+ai L(xi)= L(a 1 x 1+…+ai xi). Tedaj je v-(a 1 x 1+…+ai xi) v ničelni množici L in ga lahko enolično izrazimo kot v-(a 1 x 1+…+ai xi)= b 1 y 1+…+bj yj. Sklepamo, da lahko v enolično izrazimo kot v=a 1 x 1+…+ai xi+ b 1 y 1+…+bj yj, torej je dimenzija V enaka i+j. MATEMATIKA 1 38
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI a) Enačba L(x)=w rešljiva, če je w Z(L). b) Če je L(x 0)=w, potem so vse rešitve enačbe dane z Velikost jedra N(L) funkcije L določa velikost množice rešitev enačbe L(x)=w: Če je dimenzija vektorskega prostora N(L) enaka n, potem lahko zapišemo splošno rešitev v kateri nastopa n parametrov. Pravimo, da je množica rešitev n-parametrična. Če je x 0 rešitev enačbe L(x)=w in če je v 1, v 2, . . . , vn baza prostora N(L), potem je splošna rešitev enačbe dana z x=x 0+t 1 v 1+t 2 v 2+…+tnvn, kjer so t 1, t 2, …, tn poljubna realna števila. MATEMATIKA 1 39
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Eno rešitev enačbe dobimo tako, da vzamemo primerno dolg vektor v smeri, ki je pravokotna na (1, 0, 2) in (2, 1, -1): MATEMATIKA 1 40
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI MATRIČNI OPIS LINEARNIH FUNKCIJ Linearno funkcijo L: ℝ 3 → ℝ lahko določimo takole L(x 1, x 2, x 3)=L(x 1·(1, 0, 0)+x 2·(0, 1, 0)+x 3·(0, 0, 1))=x 1·L(1, 0, 0)+x 2·L(0, 1, 0)+x 3·L(0, 0, 1)) Vrednost L je določena s tremi števili: a 1=L(1, 0, 0), a 2=L(0, 1, 0) in a 3=L(0, 0, 1). Če poznamo a 1, a 2, a 3 lahko L(x 1, x 2, x 3) izračunamo kot skalarni produkt: L(x 1, x 2, x 3)=x 1 a 1+ x 2 a 2+ x 3 a 3= (a 1, a 2, a 3)·(x 1, x 2, x 3) Podobno je linearna funkcija n spremenljivk določena z n–terico števil a 1, a 2, . . . , an in jo lahko izračunamo kot skalarni produkt L(x 1, x 2, . . . , x n)= (a 1, a 2, . . . , an)·(x 1, x 2, . . . , x n) MATEMATIKA 1 41
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Linearno funkcijo L: V → W iz n-dimenzionalnega v m-dimenzionalni vektorski prostor tvori m linearnih funkcij n spremenljivk, ki jih lahko predstavimo s tabelo m n števil. Če jih zapišemo po vrsticah dobimo tabelo: Stolpci pa so ravno vrednosti L na bazi (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Če poznamo koordinate elementa v V, potem lahko vrednost L(v) W izrazimo s pomočjo teh koordinat in nabora vrednosti L(vi). Če pa želimo izračunati še koordinate L(v), potem moramo poznati tudi koordinate elementov L(vi). MATEMATIKA 1 42
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Slike baznih elementov L(vi) zapišemo kot linearne kombinacije elementov baze W: MATEMATIKA 1 43
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Stolpci matrike so koeficienti vektorjev L(vi) zapisani v bazi wj. MATEMATIKA 1 44
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI RAČUNSKE OPERACIJE NA MATRIKAH Linearni funkciji L 1, L 2: V → W predstavimo z matrikama Potem je vsota L 1+L 2: V → W predstavljena z matriko VSOTA MATRIK Linearna funkcija k·L 1: V → W pa je predstavljena z matriko PRODUKT MATRIKE S ŠTEVILOM Matrike lahko seštevamo in množimo s poljubnim številom, zato množica vseh matrik tvori vektorski prostor. MATEMATIKA 1 45
LINEARNA ALGEBRA MATEMATIKA 1 VEKTORSKI PROSTORI 46
LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTORI Zato funkciji K L ustreza matrika, sestavljena iz stolpcev, ki predstavljajo K(L(vi)). PRODUKT MATRIK cij je skalarni produkt i-te vrstice prve matrike z j-tim stolpcem druge matrike Produktna matrika ima enako vrstic kot prvi in enako stolpcev kot drugi faktor. MATEMATIKA 1 47
LINEARNA ALGEBRA SISTEMI LINEARNIH ENAČB Sistem enačb lahko strnjeno zapišemo kot Množenje z matriko 2 3 predstavlja linearno funkcijo L: ℝ 3 → ℝ 2, zato je to linearna enačba oblike L(x)=b za x ℝ 3 in b ℝ 2. Vemo, da je enačba rešljiva, če je b Z(L). Vse rešitve rešljive enačbe dobimo kot elemente množice x 0+N(L), kjer je x 0 neka rešitev sistema, N(L) pa je jedro funkcije L. Kako iz matrike sistema in iz desne strani sistema določimo x 0 in N(L) ? MATEMATIKA 1 48
LINEARNA ALGEBRA SISTEMI LINEARNIH ENAČB Sisteme linearnih enačb lahko rešujemo z opravljanjem zaporedja preprostih operacij, ki poenostavijo enačbe, vendar pa ne spremenijo množice rešitev. V sistemu linearnih enačb se množica rešitev ne spremeni, če: 1. zamenjamo vrstni red enačb; 2. enačbo pomnožimo z neničelnim številom; 3. eno enačbo prištejemo kaki drugi enačbi. Na razširjeni matriki sistema se navedene operacije odražajo takole: 1. zamenjamo vrstni red vrstic v matriki; 2. vrstico matrike pomnožimo z neničelnim številom; 3. eno vrstico matrike prištejemo k kaki drugi vrstici. MATEMATIKA 1 49
LINEARNA ALGEBRA SISTEMI LINEARNIH ENAČB koeficiente zapišemo v razširjeno matriko sistema Matriko poenostavimo z Gaussovim eliminacijskim postopkom: Na prvem koraku pogledamo, ali je element a 11 0. Če ni, pa to dosežemo z zamenjavo vrstnega reda vrstic. Prvo vrstico množimo z ai 1/ a 11 in jo potem prištejemo i-ti vrstici za i=2, . . . , m. Tako dosežemo, da so vsi ostali elementi v stolpcu enaki nič in s tem smo neznank x 1 eliminiramo iz vseh ostalih enačb. ·(-2) · 4 Postopek nadaljujemo na drugem stolpcu, kjer poiščemo neničelni element v drugem stolpcu (razen tistega v prvi vrstici). Če ga najdemo, ga prestavimo v drugo vrstico in z njim uničimo vse vodilne elemente v preostalih vrsticah. Postopek nadaljujemo dokler ne dobimo matrike, ki ima pod diagonalo same ničle. MATEMATIKA 1 50
LINEARNA ALGEBRA SISTEMI LINEARNIH ENAČB Vrstice delimo z vodilnim elementom, da dobimo enke in potem s prištevanjem pridelamo še ničle nad diagonalo. · 3 ·(-2) Začetni sistem smo poenostavili do sistema: Vsaka preostala enačba določa eno neznanko. Ker imamo tri enačbe in štiri neznanko, lahko neznanko v poljubno izberemo, ostale pa izrazimo: MATEMATIKA 1 51
LINEARNA ALGEBRA SISTEMI LINEARNIH ENAČB Gaussova eliminacija V zadnji vrstici so koeficienti pri neznankah enaki nič, desna stran pa je od nič različna! Kadar se to zgodi, sistem enačb ni rešljiv. Sistem enačb, v katerem je desna stran ničelna imenujemo homogeni sistem enačb. Homogen sistem ima vedno vsaj trivialno rešitev, množica vseh rešitev pa je ravno ničelna množica linearne funkcije, podane z matriko sistema. Gaussova eliminacija (desne strani ne pišemo) Ostali sta nam dve enačbi za štiri neznanke, zato dve neznanki lahko poljubno izberemo, prostor rešitev (tj. ničelna množica) pa je dvodimenzionalen. Za bazo lahko vzamemo vektorja (3, 2, 1, 0) in (2, -1, 0, 1), splošna rešitev pa je t 1·(3, 2, 1, 0)+ t 2· (2, -1, 0, 1). MATEMATIKA 1 52
LINEARNA ALGEBRA SISTEMI LINEARNIH ENAČB UREJANJE ENAČB Uredi enačbo gorenja etanola: C 2 H 5 OH + O 2 CO 2 + H 20 x y u v Neznane količine označimo z x, y, u, v in jih uredimo po posameznih atomih (ali skupinah) Dobimo homogen sistem linearnih enačb. Sistem je preprost in ne zahteva Gaussove eliminacije. C 2 H 5 OH + 3 O 2 2 CO 2 + 3 H 20 Uredi enačbi gorenja propana in reakcije magnezijevega fosfida z vodo MATEMATIKA 1 C 3 H 8 + O 2 CO 2 + H 20 Mg 3 P 2 + H 2 O PH 3 + Mg(OH)2 53
LINEARNA ALGEBRA SISTEMI LINEARNIH ENAČB 10 I 3 10 12 V I 2 20 Določi tokove v električnem krogu: I 1 Označimo tokove in napišemo Kirchhoffove enačbe za razvejišča I 1= I 2+ I 3 in kroge 10 I 1+20 I 2 = 12 (padec napetosti v levem krogu) 10 I 1+10 I 3 = 12 (padec napetosti v zunanjem krogu) 20 I 2 - 10 I 3 = 0 (desni krog – enačba je odvečna, ker sledi iz prejšnjih dveh) MATEMATIKA 1 54
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ f: A B f: x ↦ f(x) x A je argument, f(x) B je funkcijska vrednost. Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Glavna operacija na funkcijah je sestavljanje. Funkciji f in g lahko sestavimo, če so vrednosti f vsebovane med argumenti g. A f B g C g f MATEMATIKA 1 55
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ TABELIRANE FUNKCIJE Premier League Final Chelsea 95 Arsenal 83 Manchester United 77 Everton 61 Liverpool 58 Bolton Wanderers 58 Middlesbrough 55 Manchester City 52 Tottenham Hotspur 52 Aston Villa 47 Charlton Athletic Temp. (o. C) Kisik (mg/L) 0 14, 16 18 9, 18 1 13, 77 19 9, 01 2 13, 40 20 8, 84 3 13, 05 21 8, 68 4 12, 70 22 8, 53 5 12, 37 23 8, 38 6 12, 06 24 8, 25 46 7 11, 76 25 8, 11 Birmingham City 45 8 11, 47 26 7, 99 Fulham 44 9 11, 19 27 7, 86 Newcastle United 44 10 10, 92 28 7, 75 Blackburn Rovers 42 11 10, 67 29 7, 64 Portsmouth 39 12 10, 43 30 7, 53 West Bromwich Albion 34 13 10, 20 31 7, 42 Crystal Palace 33 14 9, 98 32 7, 32 Norwich City 33 15 9, 76 33 7, 22 Southampton 32 16 9, 56 34 7, 13 17 9, 37 35 7, 04 Angleška 1. liga 2005 -2006 MATEMATIKA 1 Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mm. Hg Logaritemske tablice Jurija Vege 56
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ GRAFIČNA PREDSTAVITEV FUNKCIJE Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi. MATEMATIKA 1 57
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJE PODANE S FORMULO linearna funkcija (enačba premice) pot pri prostem padcu razdalja točke do izhodišča linearna funkcija (enačba ravnine) Herenova formula povprečna vrednost Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk. Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo. MATEMATIKA 1 58
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ GRAF Graf f je množica točk v ravnini, ki so oblike (x, f (x)) za x∈A. krivulja v ravnini 1 1 MATEMATIKA 1 59
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (x, y, f(x, y)) za (x, y)∈A. alternativni prikazi ploskev v prostoru MATEMATIKA 1 60
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ ODSEKOMA DEFINIRANE FUNKCIJE PVT-diagram idealnega plina PVT-diagram realne snovi MATEMATIKA 1 61
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladine h vode v odvisnosti od časa t ? A B h h t C t D h t Ker so stene posode navpične, narašča gladina enakomerno - linearno. MATEMATIKA 1 62
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf ponazarja kinetično energijo E telesa, ki se giblje s hitrostjo v? A E B E v C v D E E v v Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv 2/2. MATEMATIKA 1 63
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p? A B V V p C p D V V p p Boyle-Mariottov zakon: p. V=konst. , zato je V~1/p. MATEMATIKA 1 64
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari? A y B y t C t D y y t t Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja: moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena. Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja. Matematično: y=e-at sin(bt), a je dušenje, b je frekvenca nihanja. MATEMATIKA 1 65
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf prikazuje spremembo temperature T ogrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode? A B T T t t prazna posoda C posoda z vodo D T t Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre. MATEMATIKA 1 66
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaže sekundni kazalec na uri? A B t D C t MATEMATIKA 1 t t 67
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA 1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti 2. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu definicijskega območja 5. Periodičnost in simetrije MATEMATIKA 1 68
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Definicijsko območje in zaloga vrednosti 1 1 Definicijsko območje Df je ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y. MATEMATIKA 1 69
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Naraščanje in padanje funkcije naraščajoča padajoča Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine. MATEMATIKA 1 70
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Lokalno naraščanje in padanje funkcij e pri a je funkcija padajoča a b pri b je funkcija naraščajoča MATEMATIKA 1 71
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Globalni ekstremi (globalni) maksimum (globalni) minimum MATEMATIKA 1 72
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Lokalni ekstremi lokalni maksimum ravnovesne lege so tipični primeri lokalnih ekstremov lokalni minimum MATEMATIKA 1 73
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Konveksnost in konkavnost Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol. konveksna konkavna konveksnost grafa ponazarja pospeševanje procesa MATEMATIKA 1 konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa 74
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno. Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno. MATEMATIKA 1 Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi. 75
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Asimptote Vodoravna asimptota npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira npr. dušeno nihanje MATEMATIKA 1 76
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Linearna asimptota Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida MATEMATIKA 1 77
FUNKCIJE ZNAČILNOSTI FUNKCIJ Periodičnost in simetrija liha soda MATEMATIKA 1 78
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ ELEMENTARNE FUNKCIJE Polinomi Racionalne funkcije Algebrajske funkcije Eksponentne in logaritmske funkcije Kotne in ločne funkcije MATEMATIKA 1 79
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij. Osnovne funkcije: potence eksponentna ex koreni logaritemska ln x MATEMATIKA 1 sinus sin x arkus sinus arcsin x arkus tangens arctg x 80
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ Funkcije podane z grafom Funkcija f: A B je predpis, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost. Krivulja v ravnini je graf neke funkcije če jo vsaka navpična premica seka največ enkrat. MATEMATIKA 1 81
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ OBRATNE FUNKCIJE f : A B Praslika Predpis b ↦ f -1(b)={a ∈ A| f(a)=b} (množica rešitev enačbe f(a)=b) f -1(b) določa funkcijo, če imajo množice f -1(b) natanko en element za vse b∈B. Tedaj je f bijektivna, predpis f -1: B A, b ↦ f -1(b) pa je obratna (inverzna) funkcija za f. f je surjektivna, če imajo f -1(b) vsaj en element. f je injektivna, če imajo f -1(b) največ en element. Kadar funkcija ni bijektivna, lahko včasih zožimo njeno domeno ali kodomeno in tako dobimo sorodno funkcijo, ki je bijektivna. MATEMATIKA 1 82
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ EKSPONENTNA FUNKCIJA injektivna surjektivna Zožimo kodomeno na (0, + ). exp: (0, + ) je bijektivna. Obratna funkcija je exp-1=ln: (0, + ) MATEMATIKA 1 83
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ TANGENS injektivna surjektivna Zožitev je bijektivna. Obratna funkcija je strogo naraščajoča, ima vodoravni asimptoti y=±π/2 MATEMATIKA 1 84
FUNKCIJE SINUS PODAJANJE FUNKCIJ injektivna surjektivna Zožitev je bijektivna. Obratna funkcija je MATEMATIKA 1 85
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ Obratna funkcija ni elementarna funkcija. MATEMATIKA 1 86
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJSKE ENAČBE, IMPLICITNE FUNKCIJE F(x, y)=0 f : A B je rešitev funkcijske enačbe, če je F(x, y) definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x, f(x))=0 za vse x∈A. Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno. MATEMATIKA 1 87
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ Implicitna enačba določa funkcijo na odseku med dvema navpičnima tangentama 1 2 a 2 b 3 a 3 b 4 MATEMATIKA 1 88
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ ZAPOREDJA FUNKCIJ Taylorjevi približki za funkcijo arctg(x) MATEMATIKA 1 89
FUNKCIJE PODAJANJE FUNKCIJ Fourierjevi približki za funkcijo arctg(x) MATEMATIKA 1 90
LIMITE IN ZVEZNOST LIMITA ZAPOREDJA Število L je limita zaporedja (xn), če so za dovolj velike n števila xn blizu L. Natančneje, L je limita zaporedja (xn), če velja: za vsako pozitivno število ε obstaja tako naravno število N, da je xn∈(L- ε, L+ ε), za vse n>N. LIMITA FUNKCIJE Število L je limita funkcije f pri točki a če velja: za vsako pozitivno število ε obstaja interval I okoli točke a, da je f(x)∈(L-ε, L+ε) za vse x iz I. Limito pri a=+ interpretiramo tako, da za interval I vzamemo primeren poltrak (t, + ). Tedaj lahko limito zaporedja gledamo kot posebni primer limite funkcije x(n), ko gre n proti +. MATEMATIKA 1 91
LIMITE IN ZVEZNOST LIMITE ZAPOREDJA, PODANA S REKURZIVNIM PRAVILOM x 0=1 začetni člen xn+1= xn+3 rekurzivno pravilo x 1=1+3=4 x 2=4+3=7 x 3=7+3=10 . . . 1, 4, 7, 10, … aritmetično zaporedje x 0=1 začetni člen xn+1=3 xn rekurzivno pravilo x 1=3 x 2=9 x 3=27 . . . MATEMATIKA 1 1, 3, 9, 27, … geometrično zaporedje 92
LIMITE IN ZVEZNOST x 0=0. 1 LIMITE xn+1=2 xn(1 -xn) x 1=2 · 0. 1 · (1 -0. 1)=0. 18 x 2=2 · 0. 18 · (1 -0. 18)=0. 2952 x 3=2 · 0. 2952 · (1 -0. 2952)=0. 41611392 0. 1, 0. 18, 0. 2952, 0. 41611392, . . . ? 0. 18 0. 2952 0. 4161 0. 4859 0. 4996 0. 4999 0. 5000 . . . Limita je 0. 5 MATEMATIKA 1 93
LIMITE IN ZVEZNOST xn+1= 2. 9 xn(1 -xn) x 0=0. 2 0. 7212 LIMITE 0. 7049 0. 5830 0. 6941 0. 6031 0. 6861 0. 6800 0. 6752 0. 6714 0. 6156 0. 6244 0. 6309 0. 6359 0. 6397 0. 6551724182 0. 464 0. 2 Limita je 19/29! MATEMATIKA 1 94
LIMITE IN ZVEZNOST LIMITE xn+1= 4 xn(1 -xn) x 0=0. 2222 0. 999999 0. 8500 0. 853604 0. 499856 0. 3063 0. 5099 0. 0835 0. 0 21 34 0. 2222 3. 2 8 1. 3 1· 10 -7 12 · 1 5. 2 0 -6 49 2. 0 · 10 -6 9 8. 3 9· 10 -5 99 · 1 0. 0 0 -5 00 33 59 0. 0 01 34 3 0. 0 05 36 6 0. 691308 Zaporedje je kaotično – nima limite! MATEMATIKA 1 95
LIMITE IN ZVEZNOST LIMITE xn+1= 4 xn(1 -xn) x 0=0. 21 Zaporedje je zelo občutljivo na začetno vrednost (in torej tudi na računske napake)! MATEMATIKA 1 96
LIMITE IN ZVEZNOST LIMITE NARAŠČAJOČA ZAPOREDJA IMAJO LIMITO Zaporedje (xn) je naraščajoče, če je x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤. . . Če je (xn) navzgor omejeno, ima natančno zgornjo mejo L. § Izberimo pozitiven ε: potem je L-ε manj od L. § Zaradi lastnosti natančne zgornje meje obstaja tak N, da je x. N>L-ε. § (xn) je naraščajoče, zato za vsak n ≥ N velja L-ε < xn ≤ L. § Za poljuben ε so pozni členi zaporedja ε-blizu L, torej je L= lim xn. Vsako naraščajoče, navzgor omejen o zaporedje ima limito. Če je naraščajoče zaporedje neomejeno, rečemo, da je njegova limita +. Analogno premislimo primer padajočih zaporedij. MATEMATIKA 1 97
LIMITE IN ZVEZNOST x 0=0. 2 LIMITE xn+1=2 xn(1 -xn) xn+1 -xn = 2 xn(1 -xn)-xn = xn(1 -2 xn) Če je 0 ≤ xn ≤ 0. 5, je xn ≤ xn+1. 0. 5 Povrhu, če je 0 ≤ xn ≤ 0. 5, je xn+1 = 2 xn(1 -xn) ≤ 0. 5 0 1 y =2 x (1 -x) Zaporedje je naraščajoče in omejeno, torej ima limito. MATEMATIKA 1 98
LIMITE IN ZVEZNOST LIMITE RAČUNSKA PRAVILA ZA LIMITE (veljajo za zaporedja in za funkcije) potem je Pravila smemo uporabiti le kadar limite obstajajo! MATEMATIKA 1 99
LIMITE IN ZVEZNOST ZVEZNE FUNKCIJE Funkcija f je zvezna pri točki a, če je f definirana v a in je Funkcija f je zvezna, če je zvezna pri vseh točkah kjer je definirana. Primeri: vse elementarne funkcije, večina funkcij, ki nastopajo pri modeliranju naravnih procesov. Alternativna definicija: Funkcija f je zvezna pri točki a, če je v tej točki definirana in če za vsak pozitiven ε obstaja tak interval I okoli točke a, da je |f(a)-f(x)|<ε za vse x∈I. Intuitivno: funkcija je zvezna pri a, če je za x, ki je blizu a, vrednost f(x) blizu f(a). Funkcija n spremenljivk je zvezna pri neki točki v ℝn če je v tej točki definirana in se njena limita pri tej točki ujema s funkcijsko vrednostjo. MATEMATIKA 1 100
LIMITE IN ZVEZNOST ZVEZNE FUNKCIJE ZVEZNOST ELEMENTARNIH FUNKCIJ f, g: A B zvezni funkciji f+g je zvezna. Podobno sklepamo za ostale računske operacije. f: A B, g: B C zvezni funkciji gof je zvezna. Vse osnovne funkcije so zvezne, računske operacije in sestavljanje funkcij pa ohranjajo zveznost. Vse elementarne funkcije so z vezne. MATEMATIKA 1 101
LIMITE IN ZVEZNOST ZVEZNE FUNKCIJE PRINCIP SENDVIČA Če se v zaporedju vloženih zaprtih intervalov [a 1, b 1] ⊇ [a 2, b 2] ⊇ [a 3, b 3] ⊇. . . dolžine intervalov manjšajo proti 0 (tj. lim(bn-an)=0), potem je v njihovem preseku natanko ena točka a 1 a 2 a 3 b 2 b 1 Leva krajišča intervalov so naraščajoče omejeno zaporedje, zato imajo limito A. Desna krajišča so padajoče omejeno zaporedje in imajo limito B. Presek vseh intervalov je ravno interval [A, B]. Ne more biti A < B, ker v zaporedju obstaja interval krajši od B-A. Zato je A=B in v preseku je samo ena točka. MATEMATIKA 1 102
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ LASTNOSTI ZVEZNIH FUNKCIJ Vsaka zvezna funkcija f : [a, b] je omejena Sklepali bomo s protislovjem in ovrgli možnost, da je f neomejena. [a, b] razpolovimo: če bi bila f neomejena, bi morala biti neomejena vsaj na eni izmed polovic. To polovico še naprej razpolovimo in sklepamo enako: vsaj na enem delu je f neomejena. Z nadaljevanjem postopka dobimo padajoče zaporedje intervalov na katerih je f neomejena in je vsak polovica prejšnjega, torej gredo njihove širine proti 0. Naj bo p točka, ki je po principu sendviča presek teh intervalov. Po konstrukciji je f neomejena na vsakem intervalu, ki vsebuje p. Po drugi strani je f zvezna pri p, zato na nekem intervalu okoli p velja f(x) [f(p)-1, f(p)+1]. Dobili smo, da je na nekem intervalu okoli p funkcija f hkrati omejena in neomejena. Privzetka, da je f zvezna in obenem neomejena si nasprotujeta. Torej, če je f zvezna, potem mora biti omejena. MATEMATIKA 1 103
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Vsaka zvezna funkcija f : [a, b] zavzame maksimum in minimum. Vemo že, da je zaloga vrednosti funkcije f omejena, zato ima natančno zgornjo mejo M. Denimo, da f ne doseže vrednosti M v nobeni točki intervala [a, b]. Potem predpis podaja zvezno funkcijo g: [a, b] ℝ. Obenem je razlika M- f(x) poljubno blizu 0, zato je funkcija g neomejena. To pa je v protislovju z ugotovitvijo, da je g zvezna, zato sklepamo, da je f(x)=M za nek x∈[a, b], torej f zavzame maksimum M na [a, b]. Podobno sklepamo, da f zavzame tudi minimum na intervalu [a, b]. MATEMATIKA 1 104
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Zvezna funkcija f : [a, b] zavzame vse vrednosti med minimumom in maksimumom. Privzemimo f(a)<f(b) in izberimo neko vmesno vrednost v: f(a)<v<f(b). Množica vseh x ∈ [a, b] za katere velja f(x) < v je neprazna in omejena, zato ima natančno zgornjo mejo, ki jo označimo s c. f(b) v f(a) c a b Trdimo f(c)=v. Res, f(c) ne more biti večji od v, saj so poljubno blizu c točke v katerih so vrednosti f manjše od v. Po drugi strani pa f(c) ne more biti niti manjši od v, saj so v vseh točkah intervala, ki so desno od c vrednosti f večje od v. Ostane le še možnost f(c)=v, kar pomeni, da na poljubnem intervalu znotraj področja definicije funkcija f zavzame vse vmesne vrednosti. Posebej to velja za vse vrednosti med minimumom in maksimumom. MATEMATIKA 1 105
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Zvezna funkcija definirana na zaprtem intervalu zavzame minimum, maksimum ter vse vmesne vrednosti. Njena zaloga vrednosti je zaprti interval [min f, max f ]. Enačba f(x) = c ima rešitev na intervalu [a, b], če je c v zalogi vrednosti funkcije f : [a, b] . Če je funkcija zvezna, je dovolj preveriti, ali f zavzame vrednost, ki je manjša od c ter vrednost, ki je večja od c. Ali je enačba x 4 -x-3=2 rešljiva? Funkcija f(x) = x 4 -x-3 je povsod zvezna, f(0)=-3 in f(2)=11. Sklepamo, da ima enačba x 4 -x-3=2 vsaj eno rešitev na intervalu [0, 2]. V splošnem ugotavljamo rešljivost enačbe f(x) = c na intervalu [a, b] tako, da poiščemo minimum in maksimum funkcije f na intervalu [a, b] in preverimo, ali se c nahaja vmes. MATEMATIKA 1 106
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ BISEKCIJA - DOLOČANJE NIČEL ZVEZNIH FUNKCIJ 3 4. 67 5. 25 4. 80 4. 76 6 4. 85 4. 5 Ničla je ≈ 4. 78 MATEMATIKA 1 107
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Enačbo x=e-x reši na dve decimalki natančno. y=e-x y=x Prevedemo na: x-e-x=0 y=x-e-x MATEMATIKA 1 108
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Iščemo ničlo funkcije f(x)=x-e-x f(0)=-1, f(1)=1 -1/e≈0. 63, torej ima f ničlo na intervalu [0, 1] f(0. 5)=-0. 106, zato nadaljujemo na intervalu [0. 5, 1] f(0. 75)=0. 277, zato nadaljujemo na intervalu [0. 5, 0. 75] f(0. 62)=0. 082, zato nadaljujemo na intervalu [0. 5, 0. 62] (ker iščemo rešitev na dve decimalki natančno, ni potrebno računati f(0. 625)) f(0. 56)=-0. 011, zato nadaljujemo na intervalu [0. 56, 0. 62] f(0. 59)=0. 035, zato nadaljujemo na intervalu [0. 56, 0. 59] f(0. 57)=0. 004, zato nadaljujemo na intervalu [0. 56, 0. 57] Prvi dve decimalki vseh števil na intervalu [0. 56, 0. 57] se ujemata, zato lahko postopek bisekcije ustavimo in za približno rešitev vzamemo x=0. 56. (natančnejša rešitev je x = 0. 5671432986 – računanje z bisekcijo bi zahtevalo še dodatnih 25 korakov) MATEMATIKA 1 109
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Ekstrem na polodprtem intervalu a b’ b Funkcija je navzgor neomejena, zato nima maksimuma. Minimum na intervalu [a, b’] obstaja zaradi zveznosti in je obenem minimum na [a, b ). MATEMATIKA 1 110
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Ekstrem na neomejenem intervalu Funkcija nima maksimuma, minimum na [a, b] pa je obenem globalni minimum. a b Polinom sode stopnje ima vedno en globalni ekstrem: minimum, če je vodilni koeficient pozitiven, oz. maksimum, če je vodilni koeficient negativen. MATEMATIKA 1 111
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Ekstrem in asimptota Funkcija, ki ima vodoravno asimptoto, zavzame vsaj enega izmed ekstremov. MATEMATIKA 1 112
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ EKSTREMI FUNKCIJ VE Č SPREMENLJIVK Ali so tudi v n območja, za katera vsaka zvezna funkcija n spremenljivk f : A zavzame minimum in maksimum? A n je zaprta, če vsebuje vse svoje robne točke. a je robna točka A če so v njeni bližini točke, ki so v A in točke, ki niso v A. robna točka A n je omejena, če je vsebovana v nekem dovolj velikem krogu. omejena MATEMATIKA 1 neomejena 113
LIMITE IN ZVEZNOST zaprta in omejena, ni zaprta MATEMATIKA 1 LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ zaprta, ni omejena ni zaprta, ni omejena 114
LIMITE IN ZVEZNOST LASTNOSTI ZVEZN IH FUNKCIJ Presek zaporedja vedno manjših zaprtih in omejenih množic v n je ena točka. Podobno kot za funkcije ene spremenljivke premislimo, da je zvezna funkcija f : A , definirana na zaprti in omejeni množici A n omejena. Dodatno ugotovimo, da zavzame natančno zgornjo in spodnjo mejo. Zvezna funkcija na omejeni in zaprti množici zavzame maksimum in minimum. Funkcija f zavzame minimum. MATEMATIKA 1 115
LIMITE IN ZVEZNOST ASIMPTOTE Pol pri b: Vodoravna asimptota: MATEMATIKA 1 116
LIMITE IN ZVEZNOST ASIMPTOTE POŠEVNA ASIMPTOTA MATEMATIKA 1 117
LIMITE IN ZVEZNOST MATEMATIKA 1 ASIMPTOTE 118
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA (aritmetično zaporedje) (geometrično zaporedje) MATEMATIKA 1 119
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA Privzemimo, da je f zvezna. Edine možne limite rekurzivnega zaporedja so rešitve enačbe f(x)=x. Točka x je negibna točka preslikave f, če velja f(x)=x. Negibne točke f so edini kandidati za limite rekurzivnega zaporedja, določenega z f. Ali zaporedje konvergira in katera negibna točka je limita, je odvisno od začetnega člena. MATEMATIKA 1 120
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA Obstoj limite: grafično n xn 0 1 2 3 4 5 … 0. 50 4. 25 2. 59 2. 07 2. 00 … 2. 07 0. 50 MATEMATIKA 1 2. 59 4. 25 2 121
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA Obstoj limite: analitično Privzemimo, da je f skrčitev na intervalu I okoli negibne točke x. Za takšno negibno točko pravimo, da je privlačna negibna točka (atraktor). Rekurzivno zaporedje, ki se približa privlačni negibni točki, proti tej točki tudi konvergira. MATEMATIKA 1 122
LIMITE IN ZVEZNOST REKURZIVNA ZAPOREDJA Negibna točka je privlačna, če graf funkcije poteka skozi senčeno območje. MATEMATIKA 1 123
LIMITE IN ZVEZNOST MATEMATIKA 1 REKURZIVNA ZAPOREDJA 124
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE Ali je mogoče sešteti neskončno števil, npr. vse člene nekega zaporedja? MATEMATIKA 1 125
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE zaporedje delnih vsot Vsoto vrste opredelimo kot limito zaporedja delnih vsot. MATEMATIKA 1 126
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE (geometrijska vrsta) MATEMATIKA 1 127
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE Harmonična vrsta Čeprav se sumandi manjšajo, je vsota neskončna! MATEMATIKA 1 128
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE S POZITIVNIMI ČLENI (xn ≥ 0) Zaporedje delnih vsot je naraščajoče. Limito ima, ko je navzgor omejeno. Primerjalna kriterija za konvergenco vrst I. II. MATEMATIKA 1 129
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE Geometrijska vrsta: Harmonična vrsta: Vrsto lahko seštejemo, če gre splošni člen dovolj hitro proti 0. Hitrost konvergence ocenimo tako, da poiščemo primerljivo geometrijsko ali harmonično vrsto. MATEMATIKA 1 130
LIMITE IN ZVEZNOST VRSTE SPLOŠNE VRSTE Ogledamo si, kako se spreminjajo delne vsote: razlika med m-to in n-to delno vsoto je |xm+…+ xn|, kar je manj od |xm|+…+| xn|, kolikor je razlika delnih vsot vrste iz absolutnih vrednosti. Zato, če konvergira vrsta iz absolutnih vrednosti, konvergira tudi osnovna vrsta. ALTERNIRAJOČE VRSTE Razlika dveh zaporednih delnih vsot gre proti 0, zato po principu sendviča zaporedje delnih vsot konvergira. Razlika med delno in celotno vsoto je manjša od prvega člena, ki ga izpustimo. MATEMATIKA 1 131
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN ODVOD Kako primerjamo hitrost spreminjanja funkcije glede s spremembo argumenta? Diferenčni količnik je povprečna hitrost spreminjanja funkcije f na intervalu med x 0 in x 1. ‘Trenutna’ hitrost v času x 0 je MATEMATIKA 1 132
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN FIZIKALNI POMEN x=x(t) pot v odvisnosti od časa t v(t) hitrost gibanja v času t dv(t 0) pospešek W(t) toplotna energija telesa v času t d. W(t 0) toplotni tok Q(t) električni naboj na prevodniku v času t d. Q(t 0) električni tok ANALITIČNI POMEN f naraščajoča na intervalu I okoli točke x 0 (tj. lokalno naraščajoča pri x 0) Podobno, če je f lokalno padajoča okoli točke x 0 MATEMATIKA 1 133
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN GEOMETRIJSKI POMEN je smerni koeficient premice, ki seka graf funkcije f v točkah T 0(x 0, f(x 0)) in T 1(x 1, f(x 1)). T 1 T 0 df(x 0) je smerni koeficient tangente na graf funkcije f v točki T 0. x 0 MATEMATIKA 1 x 1 134
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN ODVEDLJIVOST Kjer je funkcija f odvedljiva, je njen graf gladek. V teh točkah ima natančno določeno tangento. tangenta v točki 0 je navpična Leva limita se razlikuje od desne limite. Diferenčni količnik gre proti neskončnosti. Limita ne obstaja. MATEMATIKA 1 135
ODVOD DEFINICIJA IN POMEN ALTERNATIVNI OPIS MATEMATIKA 1 136
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV I. korak: funkcija odvod Predpis x ↦ df(x) določa funkcijo f ’: A → ℝ točke, kjer je f odvedljiva odvod funkcije f MATEMATIKA 1 137
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV II. korak: računske operacije in sestavljanje MATEMATIKA 1 138
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV III. korak: odvodi osnovnih funkcij In še. . . Na podlagi odvodov osnovnih funkcij in računskih pravil lahko rutinsko izračunamo odvod poljubne elementarne funkcije. MATEMATIKA 1 139
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV VIŠJI ODVODI S pomočjo višjih odvodov je mogoče natančneje opredeliti obnašanje funkcije. MATEMATIKA 1 140
ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK MATEMATIKA 1 141
ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK Izraz za l 1 je definicija odvoda funkcije f samo po spremenljivki x 1, tj. odvoda, pri katerem se delamo, da so spremenljivke x 2, . . . , xn konstantne. MATEMATIKA 1 142
ODVOD MATEMATIKA 1 ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK 143
ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK Nivojnice funkcije f : n so krivulje, ki povezujejo točke, v katerih ima f isto vrednost (izohipse, izobate, izoterme, . . . ). Podane so z enačbami f(x 1, . . . , xn)=c. Gradientni vektor je pravokoten na nivojnico, ki gre skozi dano točko. Njegova velikost ponazarja hitrost naraščanja vrednosti funkcije. Gradient določa polje smeri, ki je v vsaki točki pravokotno na nivojnice. MATEMATIKA 1 144
ODVOD MATEMATIKA 1 ODVODI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK 145
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ ZVEZNOST IN ODVEDLJIVOST Kjer je f odvedljiva, je tudi zvezna. Obratno seveda ni res kot kažejo primeri zveznih in obenem neodvedljivih funkcij: MATEMATIKA 1 146
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ ODVEDLJIVOST IN LOKALNI EKSTREMI f(x 0) lokalni maksimum v notranjosti intervala definicije f odvedljiva pri x 0 Če ima odvedljiva funkcija lokalni ekstrem v notranjosti intervala, je tam njen odvod enak 0. MATEMATIKA 1 147
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ Ekstremi so lahko na robu ali pa v notranjosti definicijskega območja. Če je ekstrem v notranjosti, je tam stacionarna točka. Stacionarne točke so lahko lokalni ekstremi ali pa prevoji. Lokalni ekstrem NI nujno tudi globalni ekstrem. MATEMATIKA 1 148
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ LOKALNI EKSTREMI FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK vsi parcialni odvodi so enaki 0 Kandidati za lokalne ekstreme so v stacionarnih točkah, tj. v točkah, kjer so vsi parcialni odvodi enaki 0. lokalni maksimum sedlo MATEMATIKA 1 149
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ lastnosti funkcije neposredno določajo (naraščanje, padanje, ekstremi) vrednosti odvoda (predznak, ničle) Če je funkcija f konstantna, je njen odvod 0. Če je df (x 0)=0, je funkcija f približno konstantna, f (x) f (x 0). Ali lahko s pomočjo odvoda natančno izrazimo vrednost funkcije? Za vsako sekanto lahko najdemo vzporedno tangento (npr. povprečna hitrost na danem časovnem intervalu je enaka hitrosti v nekem vmesnem trenutku). MATEMATIKA 1 150
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ LAGRANGEV IZREK Če je f odvedljiva, potem med vsakim parom točk x 0, x 1 obstaja tak t, da je Utemeljitev brez sklicevanja na sliko: g je odvedljiva, g(x 0)=g(x 1) g je zvezna, zato zavzame minimum in maksimum na [x 0, x 1] Če je max > min, ima g vsaj en ekstrem t∊(x 0, x 1) , kjer je g’(t)=0. Če je max = min, je g konstantna, zato za vse t∊(x 0, x 1) velja g’(t)=0. MATEMATIKA 1 151
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ Alternativna formulacija Lagrangevega izreka: MATEMATIKA 1 152
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ PREDZNAK ODVODA IN NARAŠČANJE FUNKCIJE f ’ 0 na [a, b] f je naraščajoča na [a, b]. f ’ 0 na [a, b] f je padajoča na [a, b]. f ’>0 na [a, b] f je strogo naraščajoča na [a, b]. f ’<0 na [a, b] f je strogo padajoča na [a, b]. Obratno ne velja: f(x)=x 3 strogo narašča okoli 0, vendar je f ’(0)=0. MATEMATIKA 1 153
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ V nadaljevanju se bomo praviloma omejili na zvezno odvedljive funkcije. MATEMATIKA 1 154
ODVOD RAČUNANJE ODVODOV POSREDNO ODVAJANJE FUNKCIJ VE Č SPREMENLJIVK f=f(u, v) + u=u(x) v=v(x) Kako odvajamo f(u(x), v(x)) kot funkcijo x? Podobno dobimo za posredni odvod funkcije n spremenljivk: MATEMATIKA 1 155
ODVOD MATEMATIKA 1 RAČUNANJE ODVODOV 156
ODVOD IMPLICITNE FUNKCIJE Kdaj lahko iz enačbe F(x, y)=0 izrazimo y kot funkcijo x ? f je zvezna: Podobno preverimo, da je f tudi odvedljiva. MATEMATIKA 1 157
ODVOD IMPLICITNE FUNKCIJE REŠEVANJE FUNKCIJSKE ENAČBE F(x, y)=0. Če so v neki točki (x 0, y 0) izpolnjeni pogoji: (1) F(x 0, y 0)=0 (2) F je zvezno odvedljiva okoli (x 0, y 0) in F ’y(x 0, y 0) ≠ 0 Potem je na nekem intervalu okoli x 0 natanko določena odvedljiva funkcija f, za katero je f(x 0)=y 0 in F(x, f(x))=0. Rešitev okoli T (0, 1) lahko podaljšamo do točk v kateri je tangenta navpična. Dobimo jih iz pogoja F ’y=0. MATEMATIKA 1 158
ODVOD LASTNOSTI ODVEDLJIVIH FUNKCIJ POVZETEK Odvod je limita diferenčnega količnika. Odvod meri spreminjanje funkcije, hitrost, smerni koeficient, je najboljši linearni približek funkcije. Funkcijo odvod računamo z uporabo računskih pravil Odvedljivost ima za posledico zveznost. Lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah. Lagrangev izrek. Če je odvod funkcije na intervalu negativen/nič/pozitiven, potem je funkcija padajoča/konstantna/naraščajoča. Posredno odvajanje funkcij več spremenljivk. Implicitno podane funkcije. UPORABA ODVODA Računanje limit Natančno risanje grafov Ekstremi funkcij ene in več spremenljivk Vezani ekstremi Izravnananje numeričnih podatkov Newtonova metoda za reševanje enačb Taylorjeva formula Numerično odvajanje MATEMATIKA 1 159
ODVOD L’ HOSPITALOVO PRAVILO RAČUNANJE LIMIT Če pa kvocient odvodov ni definiran, potem velja: L’Hospitalovo pravilo MATEMATIKA 1 160
ODVOD RISANJE GRAFOV 1. Definicijsko obmo čje: določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij. 2. Obnašanje na robu : trend (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L’Hospitalovim pravilom. 3. Ničle: določimo s pomočjo raznih (točnih ali približnih) metod za reševanje enačb. 4. Naraščanje in padanje, ekstremi : funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji. funkcija odvod _ + + _ _ Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne spremeni, je v stacionarni točki prevoj. MATEMATIKA 1 161
ODVOD RISANJE GRAFOV 5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak. prevoj 6. Periodičnost in simetrije : odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod. MATEMATIKA 1 162
ODVOD RISANJE GRAFOV Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda: MATEMATIKA 1 163
ODVOD MATEMATIKA 1 RISANJE GRAFOV 164
ODVOD EKSTREMI GLOBALNI EKSTREMI v notranjosti območja v stacionarni točki (če je funkcija odvedljiva) Globalni ekstrem je lahko… funkcija odvisna od manj spremenljivk na robu območja Vedno premislimo, ali funkcija sploh zavzame ekstrem! minimum MATEMATIKA 1 (rob tvorijo točke/krivulje/ploskve/. . . ) maksimum 165
ODVOD EKSTREMI Poišči ekstreme funkcije f(x, y)=2 x 2+xy-y 2 -2 x+4 y na trikotniku z oglišči A(0, 1), B(3, 4), C(-1, 4). stacionarna točka T 1(0, 2); f(0, 2)=4. max C B min A MATEMATIKA 1 166
ODVOD VEZANI EKSTREMI Iščemo ekstreme funkcije f(x, y) med točkami(x, y), ki zadoščajo pogoju G(x, y)=0. Na elipsi, določeni z enačbo (x-2)2+2(y-3)2=1, poišči točko, ki je najbližja izhodišču. Drugače povedano: poišči minimum funkcije f(x, y) =x 2+y 2 pri pogoju G(x, y)=(x-2)2+2(y-3)2 -1=0 Običajni postopek: iz enačbe G(x, y)=0 izrazimo y, vstavimo v f(x, y) in odvajamo na x. brezupno! MATEMATIKA 1 167
ODVOD VEZANI EKSTREMI Alternativni pristop: ogledamo si lego krivulje G(x, y)=0 glede na nivojnice funkcije f(x, y). Če v skupni točki krivulja seka nivojnico, potem so v njeni bližini točke na krivulji, kjer f zavzame večje in manjše vrednosti. V točki na krivulji, kjer f zavzame ekstremno vrednost se morata krivulja in nivojnica dotikati. - + Krivulji G(x, y)=0 in f(x, y) =C se v skupni točki dotikata, če sta v tej točki njuna gradienta d. G in df na isti premici (tj. vzporedna). Da bo v točki (x, y) ekstrem morata biti izpolnjena pogoja G(x, y)=0 in df (x, y)=k·d. G(x, y). Pogoja lahko združimo tako, da vpeljemo pomožno funkcijo Lagrangeva funkcija in zahtevamo d. F(x, y, t)=0 MATEMATIKA 1 168
ODVOD VEZANI EKSTREMI Kandidati za lokalne ekstreme funkcije f(x, y), vzdolž krivulje z enačbo G(x, y)=0 so stacionarne točke Lagrangeve funkcije F (x, y, t) =f (x, y) +t. G (x, y) V stacionarni točki je Enačba je 4. stopnje, rešujemo jo numerično: MATEMATIKA 1 169
ODVOD VEZANI EKSTREMI Splošno pravilo: Če iščemo ekstreme funkcije f(x 1, . . . , xn) pri pogojih G 1(x 1, . . . , xn) =0 G 2(x 1, . . . , xn) =0 … Gm(x 1, . . . , xn) =0, vpeljemo Lagrangevo funkcijo Vezani ekstremi f so v stacionarnih točkah Lagrangeve funkcije F. MATEMATIKA 1 170
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV Naloga: iz tabele numeričnih podatkov (xi, yi) določi funkcijsko zvezo y=f(x), ki se s temi podatki najbolje ujema. V tabeli so podane vrednosti količine y v odvisnosti od x. a. Določi ustrezno funkcijsko zvezo y=f(x). b. Oceni vrednost y pri x =1. 5 (interpolacija). c. Oceni vrednost y pri x=2 (ekstrapolacija). Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu: Zveza med x in y je približno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega? MATEMATIKA 1 171
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na množici podatkov (xi, yi), i=1, 2, . . . , n, s pomočjo testne funkcije Če so vsi podatki na premici y=A+Bx, potem je F(A, B)=0. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum. Lastnosti funkcije F: F je zvezna in odvedljiva za vse (A, B)∊ℝ 2 Ko gre A, B → ∞ narašča F čez vsako mejo, zato F zavzame minimum na ℝ 2 Ker ℝ 2 nima robnih točk, je minimum F v stacionarni točki. MATEMATIKA 1 172
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov Dobljeni sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije. MATEMATIKA 1 173
ODVOD MATEMATIKA 1 IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV 174
ODVOD interpolirana vrednost: f(1. 5)=4. 303 MATEMATIKA 1 IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV ekstrapolirana vrednost: f(2)=5. 354 175
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV V praksi sistem rešujemo takole: Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake: povprečje argumentov povprečje funkcijskih vrednosti povprečje kvadratov argumentov povprečje produktov MATEMATIKA 1 176
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV NELINEARNE ZVEZE V tabeli je predstavljena kinetika razpada N 2 O 5 v raztopini CCl 4. c je koncentracija N 2 O 5 po preteku t sekund. MATEMATIKA 1 177
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna: Računanje s testno funkcijo bi bilo zamudno, zato raje lineariziramo. (zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna) Vpeljemo novo količino in uporabimo prejšnje formule. Dobimo: MATEMATIKA 1 178
ODVOD NEWTONOVA METODA NUMERIČNO REŠEVANJE ENAČB x je negibna točka funkcije f, če velja f(x)=x. Če je f zvezno odvedljiva in če za negibno točko velja f ’(x)<1, potem je x privlačna negibna točka. Če začetni člen izberemo blizu privlačne negibne točke x, potem rekurzivno zaporedje xn=f(xn-1) konvergira proti x. Hitrost konvergence je večja, če je f ’(x) 0. Newtonova iteracijska metoda: enačbo g(x)=0 preoblikujemo v ekvivalentno enačbo oblike f(x)=x, kjer ima f čim bolj privlačne negibne točke. MATEMATIKA 1 179
ODVOD NEWTONOVA METODA RAČUNANJE KORENOV 1, 5. 5, 3. 659090, 3. 196005, 3. 162455, 3. 162277 (3. 162277 2=9. 99999582) 1, 5, 3. 784, 2. 916439, 2. 358658, 2. 092880, 2. 033273, 2. 030548, 2. 030543 (2. 030543 4=16. 99999380) 2, 2. 03125, 2. 030543 MATEMATIKA 1 Dober začetek je zlata vreden! 180
ODVOD IZRAVNAVANJE NUMERIČNIH PODATKOV o Določi prostornino enega mola CO 2 pri temperaturi 50 C in pritisku 20 atmosfer. Pri teh pogojih se CO 2 ne obnaša kot idealni plin, zato uporabimo Van der Waalsovo enačbo: a ∼ interakcija med molekulami, b ∼ velikost molekule Nova spremenljivka: (Enačba 3. stopnje za x. ) p=20 · 1. 013 · 105 Pa = 2 026 000 Pa T=323 K a. CO 2=0. 3643 Jm 3/mol 2 b. CO 2=4. 269 · 10 -5 m 3/mol R=8. 314 J/mol K Kot začetni približek vzamemo prostornino po enačbi idealnega plina: 0. 0013254, 0. 0012274, 0. 0012266 MATEMATIKA 1 Prostornina je 1. 23 litra. 181
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Pomen vrednosti funkcije in odvodov: Kaj pomenijo višji odvodi? MATEMATIKA 1 182
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Funkciji f(x), ki je vsaj n-krat odvedljiva pri 0 lahko priredimo Taylorjev polinom Pričakujemo, da bo ostanek Rn(x)= f(x) Tn(x) velikostnega reda xn+1. Taylorjeva formula MATEMATIKA 1 183
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Eksponentna funkcija MATEMATIKA 1 184
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Sinus Kosinus MATEMATIKA 1 185
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Pogosto lahko ‘uganemo’ Taylorjevo formulo dane funkcije: MATEMATIKA 1 186
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Območje veljavnosti Taylorjeve vrste neke funkcije f(x) je vedno simetričen interval oblike (-R, R). Število R imenujemo konvergenčni polmer vrste za f(x). MATEMATIKA 1 187
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Taylorjevo vrsto določamo: • po definiciji (za osnovne funkcije); • z uporabo računskih pravil (za sestavljene funkcije). Konvergenčni polmer konvergence vsote dveh vrst je enak manjšemu izmed polmerov konvergence sumandov. Podobno velja za razlike in produkte vrst. MATEMATIKA 1 188
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Algebrajske funkcije binomska vrsta MATEMATIKA 1 189
ODVOD UPORABA TAYLORJEVE FORMULE PRIBLIŽNE FORMULE boljši približek: MATEMATIKA 1 190
ODVOD UPORABA TAYLORJEVE FORMULE Za katere x sta pravilni dve decimalki približka? Za |x|≤ 18 o je približek sin x=x pravilen na dve decimalki. Za |x|≤ 50 o je približek pravilen na dve decimalki. Za |x|≤ 34 o je približek pravilen na dve decimalki. MATEMATIKA 1 191
ODVOD TAYLORJEVA FORMULA Taylorjeva formula je najboljši polinomski približek za f(x) blizu x=0. Podoben približek blizu kakšne druge točke a dobimo takole: vpeljemo novo spremenljivko t=x-a in novo funkcijo g(t)=f(a+t)=f(x). Taylorjeva vrsta za f(x) okoli točke a. MATEMATIKA 1 192
ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE Koncentracijo c merimo v odvisnosti od temperature T. Prevojna točka ustreza temperaturi, pri kateri pride do reakcije. Kako bi iz izmerjenih vrednosti funkcije (xi , yi ) določili točke prevoja? Prevoji so točke, v katerih drugi odvod spremeni predznak, zato potrebujemo neko oceno za odvod. Če poznamo obliko funkcije, jo določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov in dobljeno funkcijo odvajamo analitično. odsekoma linearna MATEMATIKA 1 T 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 5. 5 6 6. 5 7 7. 5 8 8. 5 9 9. 5 10 10. 5 11 c 0. 145 0. 150 0. 160 0. 175 0. 190 0. 210 0. 232 0. 276 0. 342 0. 502 1. 217 2. 405 2. 990 3. 400 3. 664 3. 856 3. 990 4. 110 4. 200 4. 270 4. 330 c T V splošnem poiščemo polinom, ki gre skozi nekaj zaporednih točk in ga potem odvajamo. Vrednosti odvoda lahko izračunamo neposredno iz podatkov. odsekoma kvadratična 193
ODVOD NUMERIČNO ODVAJANJE Formule se poenostavijo, če so točke na enakomernih razdaljah (npr. h). za dve zaporedni točki za tri zaporedne točke za pet zaporednih točk Numerično odvajanje je zelo občutljivo na napake v podatkih. T 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 5. 5 6 6. 5 7 7. 5 8 8. 5 9 9. 5 10 10. 5 11 MATEMATIKA 1 y 0. 145 0. 150 0. 160 0. 175 0. 190 0. 210 0. 232 0. 276 0. 342 0. 502 1. 217 2. 405 2. 990 3. 400 3. 664 3. 856 3. 990 4. 110 4. 200 4. 270 4. 330 0. 015 0. 030 0. 035 0. 042 0. 066 0. 110 0. 226 0. 875 1. 903 1. 773 0. 995 0. 674 0. 456 0. 326 0. 244 0. 210 0. 160 0. 130 0. 015 0. 020 0. 012 0. 031 0. 068 0. 160 0. 765 1. 677 0. 898 -0. 908 -1. 099 -0. 539 -0. 348 -0. 212 -0. 116 -0. 084 -0. 080 194
- Slides: 194