ELIPSA U 10 zadataka naui sve o elipsi

ELIPSA U 10 zadataka nauči sve o elipsi

1. Zadatak • Ako je žarište (fokus) F(– 4, 0) , te zbroj male i velike poluosi je 8. Odredi jednadžbu te elipse i nacrtaj je.

Rješenje 1. : • 9 x 2+25 y 2=225

2. zadatak: • Odredi jednadžbu elipse ako ona prolazi točkama: A(3 , 2 ) i B ( – 4, 3/2). I nacrtaj je.

Rješenje 2: • x 2+4 y 2=25

3. zadatak • Na elipsi 9 x 2+25 y 2=225 nađi onu točku čija je apscisa (x koordinata) jednaka žarištu na negativnom dijelu x osi.

Rješenje 3. • Prvo izračunaj x koordinatu žarišta e 2=a 2 -b 2 • Razmisli kako smo dobili drugu koordinatu točke na kružnici ako je x = – 4 • Rješenje je : T (– 4 , ± 9/5)

4. Zadatak • U elipsu x 2+4 y 2=4 upiši kvadrat i izračunaj mu površinu.

Rješenje 4 • Prisjeti se da bi kvadrat bio upisan elipsi moraju vrhovi kvadrata biti na elipsi (skica) • Dijagonale kvadrata moraju ići ishodištem • Dijagonale su y =± x Rješenje su točke: ( )( ) pa je površina P = 16/5

5. Zadatak: • Nađi površinu trokuta kojem su vrhovi u fokusima (žarištima ) a treći vrh u tjemenu elipse: x 2+4 y 2=36.

Rješenje 5 • Uz malo skice lako se riješi da je površina 9√ 3

6. Zadatak • Odredi duljinu tetive koja nastaje presjekom pravca x – 2 y+6=0 i elipse x 2+2 y 2=36.

Rješenje 6. • Točke presjeka su ( – 6, 0) i ( 2 , 4 ) • Dužina je 4 √ 5

7. Zadatak • Nađi jednadžbe tangente i normale u točki D(3, y<0) elipse 9 x 2+25 y 2=225.

Rješenje 7. • D(3, – 12 /5) • Tangenta se dobiva uvrštavanjem D u 9 xx 1+25 yy 1=225 i 9 x-20 y-75=0 je tangenta • kt = 9/20 pa je kn=-20/9 i normala je 100 x-45 y+192=0

8. Zadatak • Nađi tangente elipse 9 x 2+25 y 2=225 kojima je odsječak na y osi l = 5.

Rješenje 8 • Uvjetom dodira: a 2 k 2+b 2=l 2 dobiva se k=± 4/5 • Tangente su: ± 4 x+5 y-25=0

9. Zadatak Nađi m u jednadžbi elipse mx 2+16 y 2=192 ako je tangenta x+4 y-16=0.

Rješenje 9. • Uvjetom dodira a 2 k 2+b 2=l 2 dobiva se m=3

10. Zadatak( magistralni zadatak) • Nađi jednadžbe stranica kvadrata koje su opisane elipsi x 2+2 y 2=6. A onda površinu tog kvadrata.

Rješenje 10. • Zadatak se počnimo obrnuto: da kvadratu upišemo elipsu ( da dodiruje sve stranice), elipsu smjestimo u koordinatni sustav • Uvjetom dodira a 2 k 2+b 2=l 2 i zaključkom da su stranice kvadrata pod kutovima prema osima 450 onda je k = ± 1 • l =± 3 i stranice su y = ±x+3 i y = ±x– 3 • P = 18 kv. jed.