KRUNICA krunica je skup toaka RAVININE jednako udaljenih

KRUŽNICA • kružnica je skup točaka RAVININE jednako udaljenih od jedne čvrste točke te ravnine K={T; d(T, S)=r, S je čvrsta točka, r>0} r je polumjer, radijus(lat. prečka kotača=špajla ) d je promjer, dijametar(grč. diametros=dijagonala kruga ) • geometrijski lik omeđen kružnicom zove se krug (praslav. krog mjesto kružnog oblika, vrh gore)

KRUŽNICA k(S, r)

KRUŽNICA •

KRUŽNICA= Zatvorena krivulja iz obitelji čunjosječnica • Presjek stošca (čunja) ravninom koja je paralelna bazom stošca BATERIJA!! • Presjek valjka ravninom koja je paralelna s bazom valjka

KRUŽNICA • Mogući položaji dvije kružnice: sijeku se dodiruju se izvana dodiruju se iznutra jedna unutar druge nemaju zajedničkih točaka • Koncentrične kružnice ≡ zajedničko središte

KRUŽNICA • sekanta – pravac koji siječe kružnicu • Tangenta – pravac koji dodiruje kružnicu u 1 točki (okomit na radijus koji spaja diralište sa središtem) -konstrukcija u točki kružnice -konstrukcija iz točke koja ne leži na kružnici -konstrukcija zajedničkih tangenti kružnica koje se dodiruju izvana

KRUŽNICA kod geometrijskih tijela • Valjak, stožac, kugla, torus

KRUŽNICA • Sunce ili bilo koje nebesko tijelo opisuje kružnicu svaki dan/noć

KRUŽNICA u ARHITEKTURI Doba cara Hadrijana 2. pol. 1. st i 1. pol. 2. st.

KRUŽNICA u ARHITEKTURI

KRUŽNICA u ARHITEKTURI arh. Jørn Utzon gradnja 1959 -1973

ELIPSA figura je koja nastaje kad se iz rečenične cjeline izostavljaju pojedine riječi • Elipsa je skup točaka ravnine kojima je zbroj udaljenosti od dvije čvrste točke ravnine stalan F 1, F 2 žarišta, fokusi A, B, C, D tjemena a velika poluos b mala poluos e linearni ekscentricitet sjecište osi = središte e 2=a 2 -b 2 ε=e/a numerički ekscentricitet r 1, r 2 radij-vektori točke E={T; d(T, F 1)+d(T, F 2)=2 a, 2 a>d(F 1, F 2)}

ELIPSA grč. έλλειψις, élleipsis = izostavljanje elipsa= nedostatak, podbačeno

ELIPSA • Konstrukcija iz definicije (Vrtlarska konstrukcija) • Kružnica suprotišta (suprotište je točka 2 a udaljena od jednog žarišta sva suprotišta jednog žarišta su na kružnici , dvije su kružnice suprotišta ) • Glavna kružnica(velika tjemena kružnica)

ELIPSA • Konstrukcija pomoću kružnica Zakrivljenosti HIPEROSKULACIJSKE KRUŽNICE

ELIPSA Dva su promjera elipse konjugirana, ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu nastali kao afina slika Međusobno okomitih promjera kružnice → Par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjera elipse. CILJ: dobiti malu i veliku os elipse

ELIPSA • Rytzova konstrukcija

ELIPSA= Zatvorena krivulja iz obitelji čunjosječnica • Presjek stošca (čunja) ravninom koja siječe os stošca pod kutom manjim od 90° BATERIJA! • Presjek valjka ravninom koja siječe os pod kutom manjim od 90°

ELIPSA Ekscentricitet elipse je u granicama od 0 do 1 • Krajnje pojednostavljeno ekscentricitet bi bilo odstupanje od centra (Elipsu, kao geometrijski lik, karakteriziraju dva žarišta. ) • Ekscentricitet se koristi za opisivanje putanji nebeskih tijela. Njihove putanje, iako različite, ipak bi se mogle svrstati na tri osnovne: eliptične, parabolične i hiperbolične. Veličina koja daje osnovnu karakteristiku za ove tri geometrijske figure je ekscentricitet. Ekscentricitet se izražava u bezdimenzionalnim jedinicama (numerički ekscentricitet Mjesečeve orbite oko Zemlje je 0, 055). • Kružnica je slučaj kada je ekscentricitet jednak nuli tj. fokus je poklopljen sa središtem

ELIPSA afina slika kružnice PERSPEKTIVNA AFINOST

ELIPSA perspektivno kolinearna slika kružnice koja ne dodiruje izbježni pravac PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA

ELIPSA • Kepplerovi zakoni 1. Sunce u jednom fokusu svim planetima!

ELIPSA KOD GEOMETRIJSKIH TIJELA • Ekvatorijalni radijus 21 km dulji od polarnog http: //www. geografija. hr/clanci/792/visi-odnajviseg-vrha-na-zemlji (prof. Kulaš)

ELIPSA u ARHITEKTURI u nekoliko faza tijekom 1. stoljeća Trg je izgradio Gian Lorenzo Bernini između 1657 i 1667 Michelangelo 1536– 1546

• Hiperbola je skup točaka ravnine kojima je razlika udaljenosti od dvije čvrste točke ravnine stalna HIPERBOLA F 1, F 2 žarišta, fokusi A, B vrhovi a realna poluos b imaginarna poluos e linearni ekscentricitet e 2=a 2+b 2 ε=e/a numerički ekscentricitet r 1, r 2 radij-vektori točke Asimptote Karakteristični pravokutnik H={T; |d(T, F 1)-d(T, F 2)|=2 a, 2 a<d(F 1, F 2)}

HIPERBOLA = krivulja iz obitelji čunjosječnica • Presjek stošca (čunja)ravninom koja je paralelna sa osi BATERIJA!

HIPERBOLA Konstrukcija iz definicije hiperbola= suvišak, prebačeno

HIPERBOLA • Kružnica suprotišta (suprotište je točka 2 a udaljena od 1 fokusa) • Glavna kružnica • Odresci sekante i diralište tangente • Ekscentricitet 1 na više

HIPERBOLA perspektivno kolinearna slika kružnice koju siječe izbježni pravac PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA

HIPERBOLA Lako je uočiti kružnice, elipse i hiperbolu kod valova na vodi!!

HIPERBOLA • Vrh štapa ili trokuta sunčanog sata za dana opiše hiperbolu

HIPERBOLA u arhitekturi

PARABOLA • parabola je skup točaka ravnine kojima je udaljenost od jedne čvrste točke ravnine i jednog čvrstog pravca stalna • o=os, pravac d= direktrisa ili ravnalica, točka F= fokus ili žarište P={T; d(T, F)=d(T, d)}

PARABOLA p=poluparametar= udaljenost između ravnalice i žarište Ako zamijenimo x i y imamo uspravnu parabolu Parabola u kršćanstvu jest poredba / usporedba, ali doslovno znači » zastranjivanje « u pripovijedanju (grč. pará, uz, pokraj + bolé, bacanje, hitac)

PARABOLA =krivulja iz obitelji čunjosječnica • Presjek stošca (čunja)ravninom koja je pod nekim kutem siječe os (jednu izvodnicu stošca) BATERIJA!

PARABOLA perspektivno kolinearna slika kružnice koja dodiruje izbježni pravac PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA

PARABOLA • Konstrukcija iz definicije • Konstrukcija jednog grafa kvadratne funkcije • Ekscentricitet je 1

PARABOLA • Lopta snimljena stroboskopom opisuje savršenu parabolu zbog otpora zraka

PARABOLA u arhitekturi

KONIKE ILI ČUNJOSJEČNICE • http: //ahyco. ffri. hr/Seminari 2008/konike/ko nike. html • http: //www. mathos. hr/~jbrkic/b. pdf • http: //infiarch. ba/User. Files/File/Arch_poslij e_1850/01_Arh_na_prelazu_u_20 st. pdf • http: //www. grad. hr/sgorjanc/Links/natkriva nje. htm