Vlastnosti trojuholnka Matematika 2 stupe Z 3 3

Vlastnosti trojuholníka Matematika 2. stupeň ZŠ 3. 3. 2021

Definícia • Trojuholník je časť roviny ohraničená troma navzájom rôznobežnými priamkami 3. 3. 2021

Základné prvky trojuholníka • Vrcholy A, B, C • Strany a, b, c b • Uhly , , A 3. 3. 2021 c C a B Rozdelenie trojuholníkov

Vrcholy • A, B, C body • priesečníky strán • neležia na jednej priamke 3. 3. 2021

Strany • a, b, c úsečky • časti priamok medzi priesečníkmi • strana leží oproti vrcholu s rovnakým názvom • súčet dĺžok dvoch kratších strán trojuholníka musí byť väčší ako najdlhšia strana (trojuholníková nerovnosť) 3. 3. 2021

Uhly • , , – časti roviny ohraničené dvoma polpriamkami so spoločným vrcholom (susednými stranami) • Súčet veľkostí vnútorných uhlov trojuholníka je 180° • Najväčší uhol leží oproti najdlhšej strane; najmenší oproti najkratšej 3. 3. 2021

Rozdelenie trojuholníkov • Podľa veľkosti uhlov ØOstrouhlý ØPravouhlý ØTupouhlý • Podľa dĺžok strán ØVšeobecný (rôznostranný) ØRovnoramenný ØRovnostranný 3. 3. 2021 Výšky trojuholníka

Trojuholník ostrouhlý • Má všetky tri uhly ostré (< 90°) • Priesečník výšok leží vo vnútri trojuholníka 3. 3. 2021

Trojuholník pravouhlý • Názvy strán: najdlhšia strana – prepona, kratšie strany – odvesny • Jeden vnútorný uhol je pravý (= 90°), ostatné sú ostré (< 90°) • Priesečník výšok je totožný s hlavným prepona vrcholom trojuholníka odvesna 3. 3. 2021

Trojuholník tupouhlý • Jeden vnútorný uhol je tupý (> 90°) • ostatné sú ostré (< 90°) 3. 3. 2021

Trojuholník všeobecný (rôznostranný) B a b c • Každá strana má inú dĺžku a c • Môže byť ostrouhlý, pravouhlý, aj tupouhlý C 3. 3. 2021 b A

Trojuholník rovnoramenný • Má dve strany rovnako dlhé (zhodné) hlavný vrchol – nazývajú sa ramená • Tretia strana sa nazýva základňa • Vrchol oprotirameno základni sa nazýva rameno hlavný vrchol • Môže byť ostrouhlý, pravouhlý, aj tupouhlý • Uhly pri základni sú zhodné a vždy ostré základňa 3. 3. 2021

Trojuholník rovnostranný Najšpeciálnejší typ trojuholníka a =b = c A • Všetky strany má zhodné c = = • Všetky uhly má zhodné B • ich veľkosť je 60° a b 180° : 3 = 60 ° C Môže byť len ostrouhlý 3. 3. 2021

Výšky trojuholníka C • Výška je kolmica z vrcholu na protiľahlú stranu • Bod O – ortocentrum (priesečník všetkých výšok trojuholníka) O b a va vb vc A c Ak chceš podrobnejšie: 3. 3. 2021 B • v pravouhlom • v tupouhlom • v rovnoramennom • v rovnostrannom Ťažnice trojuholníka

Výšky v pravouhlom trojuholníku • V pravouhlom trojuholníku je výška na odvesnu totožná s druhou odvesnou B c a vc vb C b va • Ortocentrum je totožné s hlavným 3. 3. 2021 vrcholom A

Výšky v tupouhlom trojuholníku B vb a vc C b A va Ortocentrum leží mimo trojuholníka Strany – ramená tupého uhla si musíme predĺžiť 3. 3. 2021 c O

Výšky v rovnoramennom trojuholníku C a= b – ramená c – základňa va = vb vc b vb Výšky na ramená rovnoramenného trojuholníka sú zhodné A 3. 3. 2021 a vc va c B

Výšky v rovnostrannom trojuholníku C a=b=c va = vb = vc Všetky výšky v rovnostrannom trojuholníku sú zhodné A 3. 3. 2021 a b va vc c vb B

Ťažnice trojuholníka • Ťažnica je spojnica vrcholu a stredu protiľahlej strany C • Ťažisko rozdeľuje ťažnicu v pomere 2: 1 • Dlhšia časť smeruje k vrcholu • Kratšia časť smeruje k stredu strany b tc Bod T – ťažisko (priesečník všetkých ťažníc trojuholníka) a B 1 tb ta Ťažisko leží vždy vo vnútri trojuholníka A 1 T A 3. 3. 2021 c C 1 B • v rovnoramennom Ak chceš podrobnejšie: • v rovnostrannom Stredné priečky

Ťažnice v rovnoramennom trojuholníku C a=b – ramená c – základňa ta = tb tc B 1 ta A A 1 a b • Ťažnice na ramená rovnoramenného trojuholníka sú zhodné 3. 3. 2021 tc • Ťažnica na základňu je totožná s výškou na základňu tb C 1 c B

Ťažnice v rovnostrannom trojuholníku C . . . a sú totožné s jeho výškami ta ≡ va= tb ≡ vb= tc ≡ vc Všetky ťažnice v rovnostrannom trojuholníku sú zhodné. . . b A 3. 3. 2021 a B 1 A 1 ta T c C 1 tc tb Ťažisko je totožné s ortocentrom B

Stredné priečky trojuholníka • Stredná priečka je spojnica stredov strán trojuholníka Dĺžka strednej priečky sa rovná polovici dĺžky príslušnej strany b B 1 A c Stredná priečka je rovnobežná s príslušnou stranou a A 1 C 1 Stredné priečky rozdelia trojuholník na 4 zhodné trojuholníky 3. 3. 2021 C B

Kružnica trojuholníku opísaná Or – stred kružnice opísanej leží na priesečníku osí strán oc ob C r – polomer kružnice opísanej a oa b r A c Or B Kružnica opísaná prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka 3. 3. 2021 • v pravouhlom Ak chceš • v rovnostrannom podrobnejšie: • v tupouhlom Kružnica vpísaná

Kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku leží v strede prepony ob B oc a c C Kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku je talesova kružnica 3. 3. 2021 b A oa

Kružnica opísaná rovnostrannému trojuholníku C Or – stred kružnice opísanej je totožný s ťažiskom a ortocentrom r – polomer kružnice opísanej sa rovná dvom tretinám dĺžky ťažnice b B 1 3. 3. 2021 a Or oa A A 1 oc C 1 ob c B

Kružnica opísaná tupouhlému trojuholníku V tupouhlom trojuholníku leží stred kružnice opísanej mimo trojuholníka oa ob oc Or A b c B 3. 3. 2021 a C

Kružnica trojuholníku vpísaná O - stred kružnice vpísanej leží na priesečníku osí vnútorných uhlov C o o b O A c o - polomer kružnice a vpísanej B Kružnica vpísaná sa dotýka strán trojuholníka zvnútra 3. 3. 2021

Kružnica vpísaná rovnostrannému trojuholníku C O – stred kružnice vpísanej je totožný s ťažiskom a ortocentrom – polomer kružnice vpísanej sa rovná jednej tretine dĺžky ťažnice b o a o A 3. 3. 2021 O o c B