Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 2 Faculdade de

Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 2 Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2012/2013 1

Risco e sua diversificação 2

Introdução • Quando alguém empresta um capital, tem como objectivo receber mais tarde esse capital que emprestou acrescido dos juros • Mas existe sempre uma probabilidade de não receber nem uma coisa nem outra (no todo ou em parte). 3

Introdução • Na análise de um investimento, porque é baseada em previsões quanto ao desempenho futuro do negócio – preços dos inputs, preços e quantidades dos outputs, depreciação do capital, falhas e descobertas tecnológicas • A medida calculada a priori na avaliação pode, a posteriori, vir a concretizar-se de forma menos favorável. 4

Introdução • No sentido de compreendermos o risco, controlá-lo e utilizá-lo na tomada de decisão, vamos neste capítulo apresentar a modelização estatística do risco. 5

Exemplo: seguro de vida • Se a seguradora soubesse a priori quantos anos faltavam para o segurado morrer e a taxa de juro, calculava facilmente o prémio do seguro que lhe permitiria capitalizar a indemnização e ter algum lucro • Mas na data de assinatura do contrato essas grandezas não são conhecidas 6

Exemplo: seguro de vida • Ex. 2. 1 - Num seguro de vida em que é paga a indemnização na data da morte. • A seguradora capitaliza os prémios pagos pelo segurado de forma a ter reservas para pagar a indemnização. • A seguradora tem uma margem de 10% • Qual o prémio anual por cada 1000€ de indemnização? 7

Exemplo: seguro de vida • Se a duração fosse N e a taxa de juro r tínhamos 8

Exemplo: seguro de vida • Se N=40 e r = 2% resultava: • Mais os 10%, seriam 17. 86€/ano/1000€ = 1. 786%/ano 9

Exemplo: seguro de vida • Mas sem conhecermos N nem r o melhor que pode ser feito é a construção de alguns cenários • Dividimos cada variável em cenários Como exemplo, fazemos os cenários M. Mau, Médio, Bom, M. Bom M. Mau, Médio- , Médio+, Bom, M. Bom 10

Exemplo: seguro de vida • Cada cenário é uma combinação de valores possíveis para as variáveis relevantes • No caso de variáveis contínuas, esse valor é o representante de um intervalo, e. g. , o valor do meio. 11

Exemplo: seguro de vida F 5: =$C$1*$E 6/((1 -(1+$E 6)^-F$5)*(1+$E 6)^(F$5+1))*(1+$C$2) Área F 6: K 10 com formatação condicionada (se <17. 86) 12

Introdução • Os cenários conseguem dar uma ideia dos potenciais perdas e ganhos mas não nos ajudam quantitativamente na decisão • Vamos necessitar de alguns conceitos estatísticos que permitam agregar a informação. 13

Conceitos estatísticos básicos 14

Conceitos estatísticos básicos • A Estatística descreve, organiza e relaciona objectos e fenómenos demasiado difíceis de apreender com as ferramentas conceptuais da matemática clássica (i. e. , funções reais de variáveis reais). 15

Conceitos estatísticos básicos • A estatística reduz a dimensão do fenómeno considerando • Poucas variáveis (as mais relevantes) e • Conhecimento parcial dessas variáveis 16

Conceitos estatísticos básicos • Por exemplo, quando se constrói um avião, é necessário colocar bancos adequados para acomodar Pessoas com Necessidades Especiais (PNE). • Com é impossível saber as necessidades nos voos futuros, • Vamos medir, na população, a percentagem de PNE, • Vamos supor que 3% são PNE. 17

Conceitos estatísticos básicos • Partindo desta pormenorizada informação pouco – Calculada com os passageiros do passado • podemos calcular, com a ajuda da estatística, estimativas para as necessidades das viagens futuras – Supomos a estabilidade das características da população 18

Conceitos estatísticos básicos Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras (com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares 19

Noção de variável estatística 20

Noção de variável estatística • Depois de construirmos um modelo que nos permite quantificar o impacto da nossa decisão em função das variáveis relevantes (e. g. , taxa de juro, taxa de crescimento as vendas) • O risco resulta de não conhecermos os valores concretos que as variáveis vão assumir no futuro. 21

Noção de variável estatística • Por exemplo, na construção de um automóvel não sei a altura nem o peso do futuro condutor. – Será um valor “sorteado” da população • Substituir a falta de informação assumindo que será um valor retirado aleatoriamente da população da qual conheço estatísticas – e. g. , o valor médio e a dispersão 22

Noção de variável estatística • Numa extracção aleatória os indivíduos são obtidos sem ter em atenção nenhuma das suas características – e. g. , a extracção de uma bola no Euromilhões não tem em atenção o número. 23

Probabilidade • A cada um dos valores possíveis (i. e. , cada cenário) é atribuído uma probabilidade e. g. , atirando uma moeda ao ar, a probabilidade de sair cara é 50%. 24

Interpretações de probabilidade • Probabilidade de se concretizar o valor x • Clássica: é a proporção de vezes em que observo o valor x se repetir a experiência de forma independente e muitas vezes • Bayesiana: é uma conjectura construída por peritos sobre o fenómeno ainda desconhecido se concretizar com o valor x • Em termos práticos, a perspectiva bayesiana é mais flexível mas não tem tanto suporte teórico 25

Probabilidade • A probabilidade não garante qual o valor que se vai obter no concreto e. g. , sabe-se que a probabilidade de numa viagem haver 6 PNE é de 15. 8% • mas contém um certo grau de informação que me ajuda a avaliar a importância relativa dos cenários construídos 26

Probabilidade • Ex. 2. 4. Foram identificados 8 cenários possíveis quanto ao comportamento do preço do Brent em dólares daqui a 10 anos e inquirida a opinião de 100 peritos, numa escala de 0 a 10, sobre a viabilidade relativa de ocorrência de cada cenário. 27

Probabilidade • Com base na soma dos pontos atribuídos por todas as pessoas, determine a probabilidade assumida para que cada um dos cenários possa vir a acontecer. 28

B 5: =B 4/$J 4 J 4: =Soma(B 4: I 4) 29

2ª Aula 30

• Concluindo, • 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das implicações financeiras da minha decisão onde me falta a informação sobre o cenário concreto que se vai realizar 31

Tenho um modelo com os valores para as variáveis conhecidos 32

• 2 - o melhor que posso fazer para ultrapassar a minha ignorância é substituir o valor desconhecido por uma variável aleatória de que eu tenho informação quanto à probabilidade de cada cenário se vir a concretizar. 33

Substituo o valor desconhecido por uma variável aleatória 34

• Uso uma variável aleatória como modelo do risco • Esta substituição (do cenário futuro desconhecido pela variável aleatória) implica que tenha como resultado não um valor mas também uma variável aleatória (como se fosse toda uma população de resultados). 35

Exemplo • Ex. 2. 5. Conhecida a probabilidade de o individuo durar determinados anos • retome o Ex. 2. 1 e calcule a probabilidade da seguradora ter uma margem das vendas abaixo dos 10% pretendidos 36

Caracterização da v. e. • População dividida em cenários – Intervalos • Pego nos indivíduos todos da população e calculo a proporção que cai dentro de cada classe • e. g. , divido a longevidade de uma pessoa nos intervalos [0, 30]; ]30, 60]; ]60, 90] e ]90, 120] 37

Caracterização da v. e. • Não podendo medir toda a população, utilizo uma amostra no cálculo da probabilidade 38

Exemplo • a probabilidade de cada cenário é determinada com informação passada e pela opinião de um painel de peritos 39

40

Exemplo • R. Como tenho informação quanto à probabilidade de cada um dos cenários poder ocorrer, olhando para o resultado de cada cenário (apresentado no Ex. 2. 1) somo a probabilidade dos cenários em que o prémio deveria ser maior que o adoptado (1. 786%/ano) • A probabilidade da margem das vendas ficar abaixo dos 10% pretendidos é 57. 78%. 41

Tabelas de sobrevivência • As seguradoras têm tabelas que dão a probabilidade de uma pessoa estar viva decorridos x anos. • Quantificado em partes por 100000 • Por exemplo, o INE estima que a probabilidade de um individuo nascido em 2007 estar vivo em 2040 é 98439/100000 42

Tabela de sobrevivência 43

Exercício • Ex. 2. 6. Uma empresa contrata um financiamento de 10 M€ com 3 anos de diferimento e amortizado nos restantes 7 anos, pagamentos trimestrais postecipados. • TAE é a EURIBOR mais 2. 5 p. p. • Usando um quadro de probabilidades conhecido, determine P(prest>750 k€) 500 mil€ 44

D 6: =(A 6+B 6)/2; E 6: =D 6+E$1; F 6: =(1+E 6)^(1/4)-1 G 6: =B$3*F 6/(1 -(1+F 6)^-E$2); E 3=Soma(C 12: C 18) 45

Exercício • Ex. 2. 7. Uma família adquire um imóvel a crédito • 150 k€ a 40 anos • Prestação mensal iguais em termos reais • Antecipada 46

Exercício • Vamos fazer a análise a preços constantes e calcular a prestação anual paga no meio do ano da renda cujo valor actual é 150 k€: – que evita saber a taxa de inflação 47

Exercício • Podíamos fazer mensal mas a ideia é visualizar o efeito do pagamento ser a meio do período. 48

Dados 49

J 5: =$B$1*$D 5/(1 -(1+$D 5)^-$B$2)/(1+$D 5)^0, 5/E$4 O 5: =IF(J 5>$P$2; E 5; 0) P 3: =SUM(O 5: S 9) 50

Valor médio • Na tomada de decisão é conveniente agregar todos os cenários em apenas algumas medidas. • Em termos económicos, o valor médio é a medida que contém mais informação • é a “componente sem risco” do fenómeno que estamos a analisar. 51

Valor médio • Havendo n cenários caracterizado cada um por xn, com determinada probabilidade de ocorrência, pn, o valor médio será – Porque as probabilidades somam 1 52

Valor médio • O valor médio já nos permite um critério quantitativo que nos ajuda a decidir numa situação com risco. • Mas é muito limitado porque não tem em atenção o risco (a variabilidade) 53

• Ex. 2. 8. Um empresa fornece refeições a aviões. • Que confecciona durante a noite para responder às solicitações do dia seguinte que são incertas. • Por cada refeição que fornecer recebe 15€ (com um custo de produção de 5€) e tem uma penalização de 15€ por cada refeição que seja pedida e não possa ser fornecida. • As refeições que sobram são destruídas no fim do dia. 54

• i) Determine, em média, a rentabilidade do fornecimento em função do número de refeições confeccionadas. • ii) Determine o número de refeições que maximiza a rentabilidade média. 55

• A empresa constrói cenários em que a variável desconhecida é o número de refeições encomendadas • Calcula, para cada dia e com base na sua experiência, a probabilidade de cada um dos cenários se verificar. • Com essas probabilidades, a empresa determina o resultado médio do dia em função do número de refeições confeccionadas (que é a variável de decisão). 56

E 6: =MÍNIMO(C 6; $D$1) F 6: =C 6 -E 6 G 6: =E 6*E$4 -D$1*D$2+F 6*F$4 H 6: =D 6*G 6 H 15: =SOMA(H 6: H 14) 57

• Alterando o valor da variável de decisão, D 1, determino qual o número de refeições que maximiza o resultado médio, H 15 58

Optimização • O Excel tem a ferramenta Solver que permite maximizar ou minimizar o resultado de um modelo. No Excel 2007: • Office Button+ Excel Options + Add-ins category +no Manage clickar em Go…, • +Solver Add In • Depois, aparece no Analysis 59

3ª Aula 60

Desvio padrão • Ao agregarmos os cenários no valor médio ficamos sem uma medida de risco • o desvio padrão, , é uma boa medida do risco de assumirmos o valor médio dos cenários possíveis como o valor do cenário que vai acontecer (e que é desconhecido) 61

Desvio padrão • Algebricamente é a raiz quadrada da • Média dos desvios ao quadrado 62

Desvio padrão • O desvio padrão é uma expressão derivável e que tem interpretação geométrica. – Se, e. g. , uma população se agrega no valor médio 25€/dia e desvio padrão 5€/dia, é equivalente a ter metade dos indivíduos em 20€/dia e outra metade em 30€/dia. 63

Desvio padrão • Ex. 2. 9 - Uma empresa pretende internacionalizar-se e traçou vários cenários possíveis • Determine o valor médio e o desvio padrão do resultado financeiro que resulta da internacionalização. 64

D 2: =$B 2*C 2 E 2: =(C 2 -$D$10)^2 F 10: =SUM(D 2: D 9) D 10: =SUM(D 2: D 9) F 2: =$B 2*E 2 F 11: =F 10^0, 5 65

• Ex. 2. 10. Supondo que nos baralhos de 52 cartas uma figura vale 10 pontos. • Determine o valor médio e o desvio padrão dos pontos de uma carta retirada aleatoriamente. • Nesta população teórica eu posso calcular os valores da população 66

• • • 4 cartas valem 1 ponto, 4 cartas valem 2 pontos …. 4 cartas valem 9 pontos 16 cartas valem 10 pontos 67

• O desvio padrão será 68

• Ex. 2. 11. Relativamente ao Ex. 2. 8, determine o desvio padrão dos resultados. • Determine o número de refeições que maximiza o valor médio do resultado menos o seu desvio padrão. 69

I 6: =(G 6 -$H$15)^2 J 6: =I 6*D 6 J 15: =SOMA(J 6: J 14) J 16: =J 15^0, 5 70

Função de distribuição • Quando a variável é contínua podemos partir o domínio em intervalos, cenários, e apontar uma probabilidade de o acontecimento vir a pertencer a cada um dos cenários. • Em cada cenário adoptamos como valor representativo o meio do intervalo 71

Função de distribuição • É aceitável pensar que os cenários vizinhos devem ter associadas probabilidade semelhantes. • A Estatística propõe o uso de uma função F(x) que quantifica a probabilidade de ser observado um valor menor que ou igual a dado valor x. 72

Função de distribuição • A função de distribuição é caracterizada por alguns parâmetros • No ex. 2. 1 usei a Distribuição de Poisson que se caracteriza por 1 parâmetro Valor médio = Desvio Padrão 73

Distribuição Normal • É caracterizada por dois parâmetros – O valor médio – O desvio padrão (ou a variância) • Variância = desvio padrão ao quadrado • Resulta como “distribuição limite” da soma de acontecimentos estatisticamente pouco dependentes 74

Distribuição Normal • A probabilidade de acontecer o cenário ] – ; + ] é de 68. 3% 2/3; ] – 2 ; +2 ] é de 95. 5% 19/20 ] – 3 ; +3 ] é de 99. 7% 997/1000. 75

Distribuição Normal Ex. o QI -coeficiente de inteligência é uma variável aleatória com distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15 A probabilidade de encontrar aleatoriamente um indivíduo com QI > 145 é 0. 13% (i. e. , uma em cada 740 pessoas) =1 -DIST. NORM(145; 100; 15; VERDADEIRO) Inglês: NORMDIST 76

Distribuição Normal A Distribuição Normal concentra a maior probabilidade nos cenários em torno do valor médio 77

Exercício • Ex. 2. 12. Comprei obrigações a 25 anos à taxa de juro nominal fixa de 3%/ano, sem possibilidade de mobilização antecipada. • A taxa de inflação média prevê-se seguir distribuição N(0. 02, 0. 01)/ano • Determine o valor real a receber no fim do prazo de aplicar 10000€ e a probabilidade de esse valor ser menor que a quantia aplicada. 78

Exercício • 1) Vou dividir o domínio da taxa de inflação em cenários e calcular o valor capitalizado para cada cenário • 2) Calculo o valor médio e o desvio padrão do V. F. em termos reais e a probabilidade de vir a ser recebido uma quantia menor que a aplicada. 79

Exercício 80

A 7: =G 1 -4, 25*G 2 B 7: =A 7+$G$2/2 A 8: =B 7 D 7: =(A 7+B 7)/2 C 7: =DIST. NORM(B 7; G$1; G$2; true)-DIST. NORM(A 7; G$1; G$2; true) E 7: =(1+C$1)/(1+D 7)-1 F 7: =C$2*(1+E 7)^C$3 G 7: =F 7*C 7 H 7: =(F 7 -G$25) I 7: =H 7^2*C 7 C 24: =SOMA(C 7: C 23) G 25: =SOMA(G 7: G 22)/C 24 I 24: =SOMA(I 7: I 22)/C 24 I 25: =I 24^0, 5 I 26: =DIST. NORM(C 2; G 25; I 25; true) 81

4ª Aula 82

Distribuição Uniforme • Na F. D. Uniforme os valores no domínio são todos igualmente prováveis. • Pode se caracterizada pelos extremos – valores mínimo e máximo • Pelo valor médio e amplitude • Pelo valor médio e desvio padrão 83

Distribuição Uniforme • Sendo dados = valor médio = desvio padrão O Valor mínimo = - 1. 732 O Valor máximo = + 1. 732 84

Distribuição Uniforme • Sendo dados Mx = valor máximo Mn = valor mínimo Valor médio = (Mn + Mx)/2 Desv. padrão = 0. 2887(Mx - Mn) 85

Distribuição Uniforme • A probabilidade de um cenário é a sua proporção no domínio possível. • Ex. , com a distribuição uniforme U(Min, Mx) = U(5; 10) A probabilidade do cenário [5; 6] é 1/5 86

Escolha da F. Distribuição • A função distribuição não é conhecida sendo uma proposta da Teoria. • No entanto, em termos de decisão económica, a função distribuição não é um factor crítico (ver ex. 2. 13). • e. g. , considerar uma função distribuição normal é idêntico a considerar uma função de distribuição uniforme. 87

Distribuição não simétrica • No entanto, quando o fenómeno é caracterizado por uma função muito assimétrica, – Existe uma probabilidade mais elevada de alguns acontecimentos catastróficos – Mede-se com – m é zero nas F. D. simétricas • não posso utilizar uma função simétrica 88

Distribuição não simétrica • Exemplo de uma distribuição assimétrica é o caudal de um rio • É normal ter –m/ >5 – 80% dos dias um caudal ao valor médio – 1 dia em cada 100 anos haver um caudal 30 vezes superior ao caudal médio 89

Distribuição não simétrica • Os caudais muito elevados (e. g. , que ocorrem com a probabilidade de 1 dia em 100 anos) têm muito poder destrutivo • Os seguros contra danos de cheias têm que quantificar com rigor a probabilidade destes acontecimentos extremos – As barragens e pontes têm que ser feitos de forma a resistir a estes caudais extremos. 90

Distribuição não simétrica • O caudal médio do rio Douro no Porto é 714 m 3/s • A ponte de Entre-os-Rios caiu com o caudal no Porto de ~13500 m 3/s – A maior cheia conhecida no Porto ocorreu em 23 de Dezembro de 1909 (e 6 Dez. de 1739) com >20000 m 3/s – A barragem de Lever-Crestuma está dimensionada para 26000 m 3/s http: //www. wikienergia. pt/~edp/index. php? title=Central_de_Crestuma_-_Lever 91

Ribeira, 1962/01/03 10: 00, ~17000 m 3/s, 1909 foi > em 68 cm 92

Operações algébricas com uma variável aleatória 93

Operações algébricas simples • Se somarmos uma constante a uma variável aleatória – O valor médio vem aumentado – O desvio padrão mantêm-se 94

Operações algébricas simples Ex. A altura das pessoas é N(1. 75, 0. 15) Supondo-as em cima de uma cadeira com 0. 5 m, a altura total será N(2. 25, 0. 15) 95

Operações algébricas simples 96

Operações algébricas simples 97

Operações algébricas simples • Se multiplicarmos uma constante por uma variável aleatória – O valor médio vem multiplicado – O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto da constante 98

Operações algébricas simples 99

Operações algébricas simples 100

Operações algébricas simples • Ex. 2. 14. Um marceneiro tem 1000€/mês de despesas fixas e tem de margem das vendas, em média, 15€ por cada móvel que produz. Supondo que projecta produzir este mês 100 móveis, qual será a sua remuneração em termos médios? • R. Atendendo às propriedades, teremos 100 – 1000 = 100 15 – 1000 = 500€ 101

Ex. 2. 15 • Um empresário está a avaliar o aluguer de um barco de pesca pelo qual paga 3 mil€/dia. • Demora um dia de viagem para cada lado e pesca, durante 5 dias, 2500 kg/dia • O preço de venda segue distribuição N(2, 1)€/kg • Quanto será o lucro? • Qual a probabilidade de ter prejuízo? 102

Ex. 2. 15 • O lucro será 5 2500 N(2; 1) – 3000 7 =12500 N(2; 1) – 21000 = N(25000; 12500) – 21000 = N(4000; 12500) • Em média 4 mil€ com desvio padrão de 12. 5 mil€ • A probabilidade de ter prejuízo será 37. 45%, =NORMDIST(0; 4000; 12500; TRUE). 103

Exercício • Compro os legumes a 0. 50€/kg, pago 75€ pelo transporte e o preço de venda é desconhecido tendo distribuição N(0. 60; 0. 15)€/kg. • i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000 kg de legumes. • ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo. 104

Exercício i) Lucro = V. (Pvenda – Pcompra) – Ctransporte = 1000[N(0. 60, 0. 15) – 0. 50] – 75 Lucro = N(600, 0. 15 x 1000) – 575 = N(25, 150) ii) No Excel teríamos A 1: =Dist. Norm(0; 25; 150; Verdadeiro) 43. 38% 105

Exercício • Ex. 2. 16. O empresário A fez uma descoberta que lhe permite desenvolver um negócio cujo q de Tobin é N(1. 5, 0. 25) e onde é necessário investir 1 M€. • Sendo que o empresário A vendeu ao empresário B metade do negócio por 625 k€, • qual será o q de Tobin de A e de B? 106

Exercício • R. A investe 375 k€ que terá • B investe 625 k€ que terá 107

Acções - obrigações • O Ex. 2. 16 ilustra porque é vantajoso o empreendedor emitir acções da sua empresa. • Uma acção é uma parte do capital próprio da empresa tendo, em termos contabilísticos, um certo valor nominal, normalmente 1€. 108

5ª Aula 109

Acções - obrigações • Por exemplo, uma empresa com um capital social de 10 M€ divide-se em 10 M de acções com valor nominal de 1€ cada. • A acção dá direitos de voto na condução dos destinos da empresa e é remunerada com uma parte dos lucros, o dividendo, que é incerto. 110

Acções - obrigações • As acções têm maior risco que as obrigações porque, em caso de insolvência, os activos da empresa pagam primeiro as obrigações e apenas o que sobrar (i. e. , nada) é que é dividido pelas acções. • Além disso, no contrato de emissão o resultado das obrigações é conhecido (o cupão e o valor de remissão) enquanto que o lucro da empresa é variável. 111

Acções - obrigações • Interessa ao empresário dispersar o capital da empresa porque, normalmente, a empresa emite as acções, numa operação denominada por OPV (mercado primário), a um preço superior ao valor contabilístico. • As acções são depois transaccionadas entre investidores (mercado secundário) sendo o seu preço, denominado por cotação, determinado pela expectativa que os agentes económicos têm da evolução futura do negócio (i. e. , dos dividendos e da cotação). 112

Operações algébricas não simples • Se quisermos calcular um prémio de um seguro de vida em que a duração do individuo é uma variável aleatória, as operações algébrica não simples: 113

Operações algébricas não simples • Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x), obtemos um valor aproximado da distribuição usando os dois pontos notáveis x 1 = - e x 2 = + • Calculamos y 1 = g( - ) e y 2 = g( + ) • Valor médio = (y 1 + y 2)/2 • Desv. padrão = |y 2 - y 1|/2 114

Operações algébricas não simples • Nas distribuições simétrica é indiferente usar • Valor médio = (g( - ) + g( + ))/2 g( ) • Nas distribuições assimétricas é melhor usar • Valor médio = (g( - ) + g( + ))/2 115

Exercício • Ex. 2. 17. O prémio de um seguro de vida com r = 2%/ano, L ~ N(50, 10) • i) Determine qual devem ser as reservas Y/1000€ de forma a ter Y = (P) + (P). • ii) Se a seguradora propõe um prémio antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual será o seu lucro? 116

Exercício • P(40) = 16. 23€/ano; P(60) = 8. 60€/ano. • a seguradora precisará reservas com média (16. 23+8. 60)/2 = 12. 42€/ano e desvio padrão (16. 23 -8. 60)/2 = 3. 82€/ano aconselhando a prudência a que as reservas sejam 12. 42+3. 82 = 16. 23€/ano. 117

Exercício • P(40) = 16. 23€/ano; P(60) = 8. 60€/ano. • Lucro(40) = 15– 16. 23 = – 1. 23€/ano; • Lucro (60) = 15– 8. 60 = 6. 40€/ano. • Para uma longevidade genérica, o lucro do seguro terá • valor médio = (– 1. 23 + 6. 40)/2 = 2. 59€/ano • desvio padrão = (6. 40+1. 23)/2 = 3. 82€/ano. 118

Operações algébricas não simples • Divisão em cenários. Já utilizamos esta abordagem (ex. 2. 8 + ex. 2. 11). • Divide-se o domínio da variável em cenários sendo conveniente utilizar a folha de cálculo. • Ao considerarmos intervalos mais pequenos, estamos a diminuir o “erro de cálculo”. 119

Operações algébricas não simples 120

Operações algébricas não simples • C 7: =NORMDIST(B 7; C$2; C$3; TRUE)NORMDIST(A 7; C$2; C$3; TRUE) • D 7: =(A 7+B 7)/2+0, 5 • E 7: =F$1 -H$1*F$2/(1 -(1+F$2)^-D 7)/(1+F$2)^(D 7+1) • F 7: =C 7*E 7 • G 7: =E 7 -F$40 • H 7: =G 7^2*C 7 • C 39: =SUM(C 7: C 38) • F 40: =SUM(F 7: F 38)/$C 39 • H 39: =SUM(H 7: H 38)/$C 39 • H 40: =H 39^0, 5 121

Método de Monte Carlo • Método de Monte Carlo. • 1) Sorteamos vários valores para a variável de acordo com a sua função distribuição. • 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determinase uma população de resultados possíveis. • Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, fazse um histograma, etc. , dos resultados. Tools + Data Analyses + Random Number Generation ** 122

Método de Monte Carlo **Excel 2007 Instalamos o Data Analyses Office Button + Excel Options + Add Ins + Excel Add Ins Go… Depois, aparece em Data o Data Analysis 123

Método de Monte Carlo 124

Método de Monte Carlo 2. 69 125

Método de Monte Carlo • O Método de Monte Carlo é de simples implementação • É muito flexível e poderoso • Permite determinar o “erro de cálculo” 126

Comparação dos métodos • O método expedito, por usar apenas dois pontos notáveis, será o de menor grau de confiança • A divisão em cenários está dependente do detalhe dos cenários • O método de monte carlo está dependente do número de elementos extraídos 127

Comparação dos métodos • No caso do Ex. 2. 17 128

Diversificação do risco 129

Diversificação do risco • O modelo estatístico ajuda a decidir num problema com risco • Podemos diminuir o risco actividades – diversificando juntando • Em termos estatísticos, são operações de soma de variáveis aleatórias. 130

Diversificação do risco • Em termos económicos trata-se de construir uma carteira de activos • “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto” • Uma concretização negativa de um activo será estatisticamente compensada por uma concretização positiva de outro activo 131

Diversificação do risco • Por exemplo, na praia podemos vender gelados e gabardines. • Quando faz calor, a venda de gabardines dá prejuízo e a de gelados dá lucro • Quando chove, a venda de gabardines dá lucro e a de gelados dá prejuízo • Vender de ambos diminui o risco 132

Diversificação do risco Faz Calor Chove +200 -100 Gabardines -100 +200 Total do negócio +100 Gelados +100 133

Duas variáveis • Divisão das variáveis em cenários – Probabilidades cruzadas • Já utilizamos no ex. 2. 5 • O método é semelhante à situação em que temos uma variável estatística, mas agora serão cenários que envolvem a concretização de vários contingências. 134

Exercício • Ex. 2. 18. Um pescador precisa decidir se vai pescar ou não. • Não sabe a quantidade que vai pescar nem o preço a que vai vender. • A intuição permite-lhe construir cenários e atribuir-lhes probabilidades. • De, em simultâneo, se verificar uma quantidade pescada (em kg) e um preço (em €/kg). 135

Exercício Pesca preço [1; 2]€/k ]2; 3]€/k ]3; 4]€/k [0; 100]kg 0% 4% 10% [100; 250]kg 1% 35% 15% ]250; 400]kg 5% 10% ]400; 500]kg 9% 1% 0% 136

Exercício • O pescador pode agora calcular a receita (em termos médios e desvio padrão) multiplicando a quantidade (do meio do intervalo) pelo preço (do meio do intervalo) e decidir ir pescar se, e. g. , a receita média menos o desvio padrão for maior que os custos fixos 137

Exercício 138

Exercício • • • B 8: =$A 2*B$1 F 2: =B 8*B 2 H 6: =SUM(F 2: H 5) F 8: =(B 8 -$H$6)^2*B 2 H 12: =SUM(F 8: H 11) H 13: =H 12^0, 5 139

Decisão • Depende agora dos custos fixos necessários para poder pescar. Se fossem, por exemplo, 500€ ficaria • Lucro médio = 61, 50€ • Des. Pa. lucro = 270, 76€ • Se a função objectivo fosse LM-DP = 61. 50 -270. 76, não ia pescar por ser <0. 140

6ª Aula 141

Exercício • Ex. 2. 19. Uma empresa com 1000 trabalhadores pretende contratar um seguro de trabalho que dura 5 anos • O seguro, em caso de morte, paga 60 meses de salário à viúva. • Quanto deve ser o prémio mensal, antecipado? 142

Exercício • R. Temos 3 variáveis desconhecidas, • a taxa de juro, a longevidade e o salário • Vamos supor que a seguradora assumiu 45 cenários, calculou as probabilidades de cada um e construiu um modelo no Excel. • Assume-se que a probabilidade de nos 5 anos o trabalhador morrer é 0, 140% 143

Exercício 144

Exercício 145

Exercício • • • K 3: =I 3*$O$2*H 3/(1 -(1+H 3)^-G 3)/(1+H 3) L 3: =K 3*J 3 M 3: =(K 3 -$L$52)^2*J 3 L 51: =SOMA(L 3: L 49) M 50: =SOMA(M 3: M 49) M 51: =M 50^0, 5 146

Exercício • As reservas médias são de 4. 91€ pelo que a seguradora tem lucro médio positivo com um prémio baixo, 6€/mês • Mas, este negócio tem um risco tão elevado (d. p. =166. 85€/mês) para a seguradora que é inviável. • Apenas será possível se a seguradora conseguir diversificar este seguro. – Segurar os 1000 trabalhadores? 147

Associação entre variáveis - FD • No caso de termos duas variáveis aleatórias, além da F. Distribuição e dos parâmetros (valor médio e desvio padrão) que caracterizam cada uma das variáveis, • haverá um parâmetro para quantificar o grau de associação estatística entre as variáveis. 148

Associação entre variáveis - FD • Por exemplo, nas calças são importantes a largura da cintura e a altura de perna do cliente que, na hora de fabrico, são desconhecidas. • Mas, num cliente aleatório, em média, quanto maior for a sua cintura, maior será a sua altura de perna. • As calças de número maior são mais compridas 149

Associação entre variáveis -FD • Covariância: é um parâmetro que condensa a associação entre duas variáveis estatísticas. 150

Associação entre variáveis • t 1 A covariância pode ser negativa, zero ou positiva. • É crescente com os desvios padrão das variáveis • A variância é um caso particular da covariância 151

Associação entre variáveis • Coeficiente de correlação linear de Pearson, (x, y) • Retira à covariância o efeito dos desvios padrão 152

Associação entre variáveis • Coeficiente de correlação linear está no intervalo [– 1; 1] • Se for zero, as variáveis não estão associadas (linearmente). • Se for – 1 ou 1, estão perfeitamente associados em sentido contrário ou no mesmo sentido, respectivamente. 153

Associação entre variáveis • Propriedades da covariância e do coeficiente de correlação linear i) A covariância (e o coeficiente de correlação linear) entre duas constantes ou entre uma variável e uma constante é zero (a, b) = 0; (a, X) = 0 154

Associação entre variáveis ii) Somando uma constante a uma das variáveis, a covariância e o coeficiente de correlação linear mantêm-se: (a+X, Y) = (X, Y); (a+X, Y) = (X, Y) 155

Associação entre variáveis iii) Multiplicando uma das variáveis por uma constante, a covariância vem multiplicada e o coeficiente de correlação linear mantém-se (a menos do sinal e de ser zero): (a. X, Y) = a. (X, Y); (a. X, Y) = sig(a). (X, Y) 156

Associação entre variáveis iv) A covariância e o coeficiente de correlação são comutativos: (X, Y) = (Y, X); (X, Y) = (Y, X) 157

Exercício X~N(10; 5), Y~N(-1; 3), (X; Y) = 0. 7 Determine a) (3 X; 2 Y) e (3 X; 2 Y) b) (-X; 2 Y) e (-X; 2 Y) c) (5 -5 X; -2 -Y) e (5 -5 X; -2 -Y) 158

Exercício (X; Y) = 0. 7*5*3 = 10. 5 a) (3 X; 2 Y)=3*2*10. 5 = 63, (3 X; 2 Y)=0. 7 b) (-X; 2 Y)= -1*2*10. 5 = -21, (-X; 2 Y)=-0. 7 c) (5 -5 X; -2 -Y) = -5*-1*10. 5 = 52. 5, (5 -5 X; -2 -Y) = -1*-1*0. 7=0. 7 159

Soma de variáveis estatísticas diversificação do risco 160

Soma de variáveis estatísticas • Até agora apenas somamos constantes com variáveis • É muito relevante no contexto da M. F. porque modeliza o comportamento estatístico das carteiras de activos partindo-se das propriedades individuais dos activos que a constituem. 161

Soma de variáveis estatísticas • Distribuição da soma de duas V. A. • Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a soma também terá distribuição normal. • Se não tiverem, a soma será mais próxima da distribuição normal que as distribuições das parcelas. • A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode assumir-se que tem distribuição normal. 162

Soma de variáveis estatísticas • Média da soma. • Sendo que existem duas variáveis, X e Y, • a soma Z = X + Y terá como valor médio a soma dos valores médios de cada variável estatística. 163

Soma de variáveis estatísticas • Variância e desvio padrão da soma. • Sendo que existem duas variáveis, X e Y, • a soma Z = X + Y terá como variância a soma das variâncias de cada variável mais duas vezes a covariância. 164

Nota sobre o planeamento do tempo lectivo • Faltou-me esta matéria que obrigou a usar a aula 7. • Para o ano será necessário reduzir um pouco a exposição para caber tudo nas 6 aulas 165

Exercício • t 2 Ex. 2. 22. Um intermediário de legumes, quando encomenda desconhece o preço de aquisição e de venda dos legumes PC ~ N(0. 50€/kg, 0. 10€/kg). • PV ~ N(0. 60€/kg, 0. 15€/kg). • Tem que pagar 75€ pelo transporte. • A correlação linear entre o preço de compra e de venda é de 0. 5 • i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar 1000 kg de legumes. • ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo. 166

Exercício • Trata-se de operações algébricas com variáveis aleatórias. • Lucro = 1000(PV – PC) – 75. PV – PC = N(0. 60, 0. 15) – N(0. 50, 0. 10) = N(0. 10, (0. 152+2 (– 0. 5) 0. 15 0. 10+0. 102)) = N(0. 10, 0. 1323) Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1) 167

Exercício • 1000 N(0. 10, 0. 132) = N(100, 132. 3) – 75 = N(25, 132. 3) No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132. 3; TRUE) Tem 42. 5% de probabilidade de ter prejuízo 168

Exercício • Ex. 2. 23. Duas acções, com rentabilidades X ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/ano e com correlação linear de 0. 25. • Determine a rentabilidade de uma carteira com a proporção 0. 5 de X e 0. 5 de Y. 169

Exercício • Z = 0. 5 X+0. 5 Y • (Z) = (0. 5 X)+ (0. 5 Y) = 0. 5 (X)+ 0. 5 (Y) = 0. 5 x 5%+ 0. 5 x 10% = 7. 5%/ano 170

Exercício • Z = 0. 5 X + 0. 5 Y • 2(Z) = 2(0. 5 X) + 2 (0. 5 X, 0. 5 Y) + 2(0. 5 Y) = (0. 5 x 5%)2 + 2 x 0. 25 x 0. 5 x(0. 5 x 5%)x(0. 5 x 7%) + (0. 5 x 7%)2 =0, 0022875 (Z) = 4. 78% 171

Extensão à soma de N variáveis • • Se eu somar três variáveis, posso fazer X+(Y+Z) E retiro que 2(X+Y+Z) = = 2(X)+ 2(Y)+ 2(Z) + 2 (X, Y)+2 (X, Z) +2 (Y, Z) Facilmente estendo para N 172

Extensão à soma de N variáveis • Ex. 2. 24. Uma empresa pretende lançar o seu produto em novos mercados. • Moscovo tem custo Cm N(3, 0. 5) e resultado actualizado das vendas Vm N(7, 1) • São Petersburgo tem custo Csp N(2, 0. 6) e resultado actualizado das vendas Vsp N(6, 2). • O lucro resulta de subtrair os custos ao resultado actualizado das vendas, 173

Extensão à soma de N variáveis • Os coeficiente de correlação linear são Cm Csp Vm Vsp Cm 1 0 0. 5 0 Csp 0 1 0 0. 5 Vm 0. 5 0 1 0. 7 Vsp 0 0. 5 0. 7 1 174

Extensão à soma de N variáveis • i) Determine o lucro da representação de Moscovo e de São Petersburgo (separadas). • ii) Determine o lucro de abertura das duas representações (em conjunto). 175

Extensão à soma de N variáveis • i) Lucro da representação (separadas). Lm = Vm – Cm = N(7; 1) – N(3; 0. 5) = N(4, (12 +2 1 0. 5 (-0. 5) + 0. 52)) = N(4, 0. 866) Lsp = Vsp–Csp = N(6; 2) – N(2; 0. 6) = N(4, (22 +2 2 0. 6 (-0. 5) + 0. 62)) = N(4, 1. 778) 176

Extensão à soma de N variáveis • i) Lucro das representações juntas. Lm = Vm – Cm + Vsp–Csp = N(7; 1) – N(3; 0. 5) + N(6; 2) – N(2; 0. 6) = N(8, (12 + 0. 52 + 22 + 0. 62 + 2 1 0. 5 -0. 5+ 2 2 0. 6 -0. 5 + 2 1 2 0. 6 0. 7)) = N(8, 2. 59) Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero. 177

Exercício • Ex. 2. 25. Um seguro de trabalho cobra um prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a constituir como reservas F(4. 91; 166. 65)€/ano. • i) Supondo que os acidentes não estão correlacionados, determine o lucro por trabalhador de segurar 1, 100 trabalhadores e 1000 trabalhadores. 178

Exercício • L 1 = P-R = 6 - F(4. 91; 166. 65) = F(1. 09; 166. 65)€/ano • L 100 /100 = (L 1 + … + L 1)/100 = = N(109; (100*166. 652))/100 = N(1. 09; 16, 67) €/ano • L 1000 /100 = (L 1 + … + L 1)/1000 = = N(1090; (1000*166. 652))/1000 = N(1. 09; 5, 27) €/ano 179

Exercício • ii) Supondo que quando há um acidente é provável que morra mais que um trabalhador. Assim, recalcule o lucro por trabalhador com a correlação entre as fatalidades assumida como 0. 1 180

Exercício 181

Exercício • Quanto menos correlacionados estiverem os acontecimentos e maior número de acontecimentos misturarmos, • maior será a diminuição do risco e • mais a função distribuição resultante se aproxima da função distribuição normal. 182

Exercício • Ex. 2. 26. O “Seguro de Invalidez”, ex. 2. 21, obriga a F(7. 27, 351. 65)€/mês de reservas por cada 500€/mês de indemnização. O prémio será o valor médio das reservas mais o desvio padrão. • Supondo que a invalidez dos trabalhadores não está correlacionada, determine o prémio em função do tamanho da carteira de seguros. 183

Exercício n = 100 P = 42. 44€/mês; n = 1000 P = 18. 39€/mês; n = 10000 P = 10. 79€/mês. 184

Diversificação do risco e avaliação de projectos • A diversificação do risco pode tornar aceitáveis investimentos que avaliados de forma independente não seriam rentáveis (e. g. , terem um VAL negativo). • Isso acontece quando o investimento tem uma correlação negativa com outros investimentos o que permite diminuir o risco do conjunto dos investimentos. 185

Diversificação do risco e avaliação de projectos • Ex. 2. 27. Uma investidora tem a possibilidade de adquirir uma participação 1. C. de golfe com q =N(1. 2; 0. 2) 2. Emp. agrícola com q = N(0. 9; 0. 45). Dá prejuízo • A correlação entre os negócios é de – 0. 9 • Qual a proporção do investimento que minimiza a probabilidade de ter prejuízo. 186

Exercício • D 2: =DIST. NORM(1; B 2; C 2; VERDADEIRO) • E 3: =1 -E 2 • C 5: =(E 2*C 2)^2+2*C 2*E 2*C 3*E 3*C 4+(C 3*E 3)^2 • B 6: =E 2*B 2+E 3*B 3 C 6: =C 5^0, 5 187

Diversificação do risco e avaliação de projectos • Fiz um modelo no Excel e utilizei o solver para minimizar o risco. • Contra a lógica da análise individual, aplicando 27% do investimento na empresa não rentável e com risco elevado o meu risco de ter prejuízo diminui de 18. 87% para 3. 22%. • Reparar nas duas restrições do solver. 188

Alavancagem • Em termos patrimoniais, uma empresa pode ser dividida num • conjunto de destinos financeiros (os activos da empresa que têm determinada rentabilidade e podem ser recuperados) e • um conjugo de origens financeiras (os passivos da empresa que têm que ser remunerados e devolvidos). 189

Alavancagem • Em termos contabilísticos, o valor de cada unidade de participação (i. e. , cada acção ou cota) será a soma dos activos menos a soma dos passivos alheios (o capital alheio) a dividir pelo número de acções ou cotas que representam a empresa. 190

Alavancagem 191

Alavancagem • A diversificação do risco trata da gestão do risco na parte do activo (e. g. , das aplicações financeiras) • A alavancagem trata da gestão do risco na parte do passivo (i. e. , das origens dos recursos financeiros). – A proporção entre capitais próprios e alheios. 192

Alavancagem • Os capitais próprios têm voto na condução da empresa enquanto que os capitais alheios não. • Em tese, as obrigações não têm risco porque, na liquidação, são pagas antes dos capitais próprios • Se a proporção de capitais próprios for pequena, as obrigações vêm o risco aumentado, exigindo o “mercado” uma taxa de juro maior. 193

Exercício • Um projecto de investimento a 10 anos necessita de 10 M€ de financiamento num projecto com uma rentabilidade R ~ N(15%, 15%)/ano. • Para uma relação de alavancagem de 4 para 1 (i. e. , detém 2. 5 M€ de acções e emite 7. 5 M€ de obrigações a uma taxa de juro fixa de 10%/ano) • Determine o efeito da alavancagem na rentabilidade e risco dos capitais próprios. 194

Exercício A rentabilidade média e o risco dos capitais próprios aumentam. 195