Interpolao e Ajuste de Curvas TM236 Clculo Numrico

Interpolação e Ajuste de Curvas TM-236 Cálculo Numérico Prof. Luciano K. Araki 2009/2 TM-236 Cálculo Numérico

Motivação Ø Dados: em geral, fornecidos em um conjunto discreto de valores. Por exemplo: propriedades físicas tabeladas ou resultados experimentais. Ø Muitas vezes, é necessário utilizar valores intermediários aos fornecidos. TM-236 Cálculo Numérico 2

Motivação Fonte: Incropera et al. , “Fundamentos Transferência de Calor e de Massa”, 6 ed. , LTC Editora, 2008. TM-236 Cálculo Numérico 3

Motivação Ø Qual curva é a mais adequada? TM-236 Cálculo Numérico 4

Motivação Ø Aproximação: os dados exibem um grau significativo de erro ou “ruído”. A curva ajustada representa a tendência geral dos dados. Ø Interpolação: os dados são muito precisos e, assim, o ajuste de curvas deve passar diretamente por cada um dos pontos. TM-236 Cálculo Numérico 5

Motivação Ø Fundamentação matemática: Ø Interpolação → expansões em séries de Taylor e diferenças finitas divididas. Ø Aproximação → estatística básica (conceitos de média aritmética, desvio padrão, distribuição normal, intervalos de confiança). TM-236 Cálculo Numérico 6

Técnicas de aproximação Ø Mínimos Quadrados Discretos. Ø Polinômios Ortogonais e Aproximação por Mínimos Quadrados. Ø Polinômios de Chebyshev e Economia na Série de Potências. Ø Aproximação por Função Racional. Ø Aproximação por Polinômios Trigonométricos. Ø Transformadas Rápidas de Fourier (FFT). TM-236 Cálculo Numérico 7

Mínimos Quadrados Discretos Ø Normalmente, empregada para prever valores intermediários para dados experimentais. Ø Apresenta uma tendência geral dos dados. Ø Minimização a discrepância entre os dados e os pontos da curva obtida, através da minimização da soma dos quadrados resíduos entre valores medidos e valores calculados. TM-236 Cálculo Numérico 8

Mínimos Quadrados Discretos Ø Hipóteses estatísticas: • Cada x tem um valor fixo; ele não é aleatório e é conhecido sem erros. • Os valores de y são variáveis aleatórias independentes e têm todos a mesma variância. • Os valores de y para um dado x devem estar normalmente distribuídos. TM-236 Cálculo Numérico 9

Mínimos Quadrados Discretos Ø Modelo linear: Ø Determinação dos coeficientes: TM-236 Cálculo Numérico 10

Mínimos Quadrados Discretos Ø Coeficientes: Ø Quantificação do erro na regressão linear: • Erro padrão da estimativa: TM-236 Cálculo Numérico 11

Mínimos Quadrados Discretos • Coeficiente de determinação: • Coeficiente de correlação: TM-236 Cálculo Numérico 12

Mínimos Quadrados Discretos Ø Exemplo 01: Ajuste uma reta aos valores de x e y para os dados apresentados na tabela a seguir: TM-236 Cálculo Numérico 13

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 14

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 15

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 16

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 17

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: • Desvio padrão: • Erro padrão da estimativa: TM-236 Cálculo Numérico 18

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: • Coeficiente de determinação: • Coeficiente de correlação: Ø Conclusão: 86, 8% da incerteza original é explicada pelo modelo linear. TM-236 Cálculo Numérico 19

Mínimos Quadrados Discretos Ø Linearização de relações não-lineares: • Modelo exponencial; • Modelo potência simples; • Modelo da taxa de crescimento da saturação. Ø Emprego de manipulações matemáticas simples transformando-os em modelos lineares. TM-236 Cálculo Numérico 20

Mínimos Quadrados Discretos Ø Uma função do tipo exponencial: Ø Pode ser linearizada empregando-se: TM-236 Cálculo Numérico 21

Mínimos Quadrados Discretos Ø Uma função do tipo potência: Ø Pode ser linearizada empregando-se: TM-236 Cálculo Numérico 22

Mínimos Quadrados Discretos Ø Uma função do tipo taxa de crescimento da saturação: Ø Pode ser linearizada empregando-se: TM-236 Cálculo Numérico 23

Mínimos Quadrados Discretos Ø Gráficos: TM-236 Cálculo Numérico 24

Mínimos Quadrados Discretos Ø Exemplo 02: Ajustar os dados da seguinte tabela empregando-se uma função do tipo potência. TM-236 Cálculo Numérico 25

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 26

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: Ø Logo: TM-236 Cálculo Numérico 27

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 28

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 29

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: • Desvio padrão: • Erro padrão da estimativa: TM-236 Cálculo Numérico 30

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: • Coeficiente de determinação: • Coeficiente de correlação: Ø Conclusão: 99, 9967% da incerteza original é explicada pela função do tipo potência. TM-236 Cálculo Numérico 31

Mínimos Quadrados Discretos Ø Regressão polinomial: o procedimento de mínimos quadrados para ajustes lineares pode ser estendido para polinômios de grau mais elevado. Ø Supondo-se um polinômio de segundo grau ou quadrático: TM-236 Cálculo Numérico 32

Mínimos Quadrados Discretos Ø Soma dos quadrados resíduos: Ø Determinação dos coeficientes: TM-236 Cálculo Numérico 33

Mínimos Quadrados Discretos Ø Sistema de equações normais: TM-236 Cálculo Numérico 34

Mínimos Quadrados Discretos Ø Polinômio de grau m: Ø Erro padrão: TM-236 Cálculo Numérico 35

Mínimos Quadrados Discretos Ø Exemplo 03: Ajustar um polinômio de segundo grau aos dados apresentados na tabela a seguir. TM-236 Cálculo Numérico 36

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 37

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 38

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 39

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 40

Mínimos Quadrados Discretos Ø Solução: • Erro padrão da estimativa: • Coeficiente de determinação: • Conclusão: 99, 851% da incerteza original foi explicada pelo modelo quadrático. TM-236 Cálculo Numérico 41

Interpolação Polinomial Ø Consiste em determinar um único polinômio de grau n que passa pelos n+1 pontos fornecidos. Ø Embora exista um único polinômio de grau n que passa por n+1 pontos, há diversas fórmulas matemáticas para expressá-lo. Ø Formas adequadas para implementação computacional: Newton e Lagrange. TM-236 Cálculo Numérico 42

Interpolação Polinomial Ø Diferenças Divididas de Newton: Ø Interpolação linear: TM-236 Cálculo Numérico 43

Interpolação Polinomial Ø Exemplo 04: Faça uma estimativa do logaritmo natural de 2, utilizando uma interpolação linear. Faça o cálculo utilizando dois intervalos: • o primeiro, empregando ln(1)=0 e ln(6)=1, 791759; • e o segundo, utilizando ln(1) = 0 e ln(4)=1, 386294. • Valor real: ln(2)=0, 6931472 TM-236 Cálculo Numérico 44

Interpolação Polinomial Ø Solução: Ø (a) TM-236 Cálculo Numérico 45

Interpolação Polinomial Ø Solução: Ø (b) TM-236 Cálculo Numérico 46

Interpolação Polinomial Ø Solução Erros relativos: (a) 48, 3% (b) 33, 3% TM-236 Cálculo Numérico 47

Interpolação Polinomial Ø Diferenças Divididas de Newton: Ø Interpolação Quadrática: • que pode ser reescrita como: TM-236 Cálculo Numérico 48

Interpolação Polinomial Ø Interpolação Quadrática: • sendo: TM-236 Cálculo Numérico 49

Interpolação Polinomial Ø Interpolação Quadrática: • Determinação dos coeficientes: TM-236 Cálculo Numérico 50

Interpolação Polinomial Ø Exemplo 05: Ajuste um polinômio quadrático aos três pontos seguintes: Ø Utilize o polinômio obtido para calcular ln(2), cujo valor verdadeiro é 0, 6931472. TM-236 Cálculo Numérico 51

Interpolação Polinomial Ø Solução: TM-236 Cálculo Numérico 52

Interpolação Polinomial Ø Solução: • Logo, o polinômio interpolador é: • E o valor aproximado de ln(2) é: TM-236 Cálculo Numérico 53

Interpolação Polinomial Ø Solução: Erros relativos (lineares): (a) 48, 3% (b) 33, 3% (c) Erro relativo (quadrática): (d) 18, 4% TM-236 Cálculo Numérico 54

Interpolação Polinomial Ø Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton: • Deseja-se ajustar um polinômio de grau n a n+1 pontos fornecidos, obtendo-se: • Coeficientes: TM-236 Cálculo Numérico 55

Interpolação Polinomial Ø Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton: • Os colchetes representam a valores de funções calculados através de diferenças divididas. • Primeira diferença dividida: TM-236 Cálculo Numérico 56

Interpolação Polinomial Ø Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton: • Segunda diferença dividida: • N-ésima diferença dividida: TM-236 Cálculo Numérico 57

Interpolação Polinomial TM-236 Cálculo Numérico 58

Interpolação Polinomial Ø Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton: • Não é necessário que os dados sejam igualmente espaçados ou que os valores das abscissas estejam necessariamente em ordem crescente. TM-236 Cálculo Numérico 59

Interpolação Polinomial Ø Exemplo 06: Faça uma estimativa de ln(2) empregando um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau utilizando os seguintes pontos: TM-236 Cálculo Numérico 60

Interpolação Polinomial Ø Solução: • O polinômio de terceiro grau a ser obtido possui a forma: • As primeiras diferenças divididas para o problema são: TM-236 Cálculo Numérico 61

Interpolação Polinomial Ø Solução: • As segundas diferenças divididas para o problema são: TM-236 Cálculo Numérico 62

Interpolação Polinomial Ø Solução • A terceira diferença dividida é: • Polinômio interpolador de Newton: TM-236 Cálculo Numérico 63

Interpolação Polinomial Ø Solução: • Valor aproximado para ln(2)=0, 6287686 Erros relativos (lineares): (a) 48, 3% (b) 33, 3% (c) Erro relativo (quadrática): (d) 18, 4% (e) Erro relativo (cúbica): (f) 9, 3% TM-236 Cálculo Numérico 64

Interpolação Polinomial Ø Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton • Erro de truncamento da série de Taylor: • onde ξ é algum ponto do intervalo fornecido. Para um polinômio interpolador de grau n, analogamente, o erro é dado por TM-236 Cálculo Numérico 65

Interpolação Polinomial Ø Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton • Utilizando diferenças divididas e um ponto adicional: TM-236 Cálculo Numérico 66

Interpolação Polinomial Ø Exemplo 07: Estimar o erro para o polinômio interpolador de segundo grau do Exemplo 05. Utilize o ponto adicional f(5)=1. 609438 para obter os resultados. Ø Solução: • Do Exemplo 05, tem-se que: TM-236 Cálculo Numérico 67

Interpolação Polinomial Ø Solução: • E o erro verdadeiro é igual a • A estimativa do erro pode ser feita através de: TM-236 Cálculo Numérico 68

Interpolação Polinomial Ø Solução • Substituindo valores: • E, no caso de x=2, tem-se: • Que possui a mesma ordem de grandeza do erro verdadeiro. TM-236 Cálculo Numérico 69

Interpolação Polinomial Ø Polinômios Interpoladores de Lagrange: • Reformulação do polinômio de Newton, que evita o cálculo de diferenças divididas. • Representação: TM-236 Cálculo Numérico 70

Interpolação Polinomial Ø Polinômio Interpolador de Lagrange: • Versão linear: • Versão quadrática: TM-236 Cálculo Numérico 71

Interpolação Polinomial Ø Exemplo: Empregar o polinômio interpolador de Lagrange de primeiro e de segundo graus para calcular ln(2) com base nos seguintes dados: TM-236 Cálculo Numérico 72

Interpolação Polinomial Ø Solução: • Polinômio de primeiro grau: TM-236 Cálculo Numérico 73

Interpolação Polinomial Ø Solução: • Polinômio de segundo grau: TM-236 Cálculo Numérico 74

Interpolação Polinomial Ø Estimativa do erro para o polinômio interpolador de Lagrange: Ø Se um ponto adicional estiver disponível, notase que é possível fazer uma estimativa do erro do polinômio de Lagrange. Isso, contudo, raramente é feito, uma vez que as diferenças divididas não são calculadas como parte do algoritmo de Lagrange. TM-236 Cálculo Numérico 75

Interpolação Polinomial Ø Casos em que o grau do polinômio é desconhecido: preferível utilizar o método de Newton (vantagens na percepção do comportamento das fórmulas para diferentes ordens). Ø Casos em que o grau do polinômio é conhecido a priori: preferível empregar o método de Lagrange (um pouco mais fácil de programar). TM-236 Cálculo Numérico 76