FAPAN Faculdade do Pantanal Curso Administrao de Empresa

• FAPAN: Faculdade do Pantanal • Curso : Administração de Empresa 1º semestre • Ano Letivo: 2011 / 1 • Profº: Esp. Gledson Nilton Emiliano • e-mail: gledsoneada@hotmail. com

MATEMÁTICA INTRODUTÓRIA • A Matemática, olhada corretamente, possui não apenas verdade, mas surpresa beleza – uma beleza fria e austera, como a de uma escultura. . . sublimamente pura e capaz de perfeição severa, tal como somente a arte de maior qualidade pode apresentar. (Bertrand Russel) “ Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”. (LOBACHEVSKY)

CONJUNTOS NUMÉRICOS • A Matemática se originou de convívios sociais, das trocas, das contagens, do comércio, tendo em vista o caráter prático, utilitário e empírico. • As primeiras noções relativas ao conceito de número, nos remetem aos primórdios da raça humana. • Encontros arqueológicos em cavernas levam nos a estimar contagens a mais de 300. 000 anos.

Os números • Os números devem ter surgidos da necessidade do ser humano fiscalizar os próprios bens, para sua própria sobrevivência, em registros de seu interesse : • Marcações e desenhos em cavernas, riscos em ossos ou madeiras que representariam animais abatidos e outros.

Vivemos em um mundo matematizado. • Como faríamos as operações e registros financeiros? • Como comparar medidas? • Como fazer localizações? • Como seria nosso dinheiro? • Sem os números, qualquer registro numérico teria de ser feito através de uma linguagem escrita, acarretando maiores dificuldades.

Conjuntos numéricos • Os conjuntos numéricos surgiram para suprir as necessidades humanas quando efetuamos: • Contagens • Registros • Cálculos • Localizações

Números Naturais (N): Qual é o número do seu sapato? Qual é o número da sua casa? Qual é o número do seu celular? Qual é o CEP da sua cidade? Quantas pessoas tem nesta sala? Qual é a senha do seu cartão de crédito? ? ? ? É um conjunto de números criado/construído possivelmente para o homem efetuar comparações entre o número de elementos de diferentes conjuntos. • • •

Representação dos Naturais • O conjunto dos números naturais é representado por: l. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . } • Representação em uma reta numérica: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . . IN

Subconjuntos importantes dos naturais: • l. N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . } (* asterisco significa a exclusão do zero). • l. Np = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . , 2 n, . . . } com n Є l. N , representa o conjunto dos números pares. • l. Ni = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . , 2 n+1, . . } com n Є l. N, representa o conjunto dos números ímpares. • P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . } conjunto dos números primos.

Números Inteiros (Z) • Criado principalmente para as relações financeiras. • O conjunto dos números inteiros é representado por: Z = {. . . , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }, números negativos, nulo e positivos. • Representação em uma reta numérica: . . . 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6. . .

Subconjuntos de Z: • Z* = {. . . , -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, . . . } Z – {0} • Z+ = IN = {0, +1, +2, +3, +4, . . . } inteiros não negativos • Z- = {. . . , -4, -3, -2, -1, 0} inteiros não positivos.

Módulo ou valor absoluto • Módulo ou valor absoluto de um número inteiro: é a distância da origem ao ponto que representa o número. Assim representamos o módulo de 2 por: • | 2 | = 2 e módulo de 2 por |2|=2. • Números opostos possuem o mesmo módulo: • | 10| = |+10|

. . 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6. . .

Conjunto dos números Racionais (Q): • A representação desse conjunto é feito através de uma propriedade comum à todos seus elementos. • Q = { x | x = a/b, com a Є Z, b Є Z e b≠ 0} • Q é representado por todo número que pode ser escrito através de um quociente entre dois inteiros, com denominador diferente de zero, mais conhecido por nós como fração.

Determinação da fração geratriz de um número decimal: (transformar para forma fracionária) • a) 0, 75=. . . . • b) 1, 25=. . . . • c) 3, 143=. . . . • d) 0, 222. . . =. . . • e) 0, 414141. . =. . . . • f) 0, 17878. . . =. . . . .

O conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos racionais • Existe uma relação de inclusão: Q Z IN

PORCENTAGEM • Porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100. • É representada pelo símbolo “%”que é lido “por cento”. • Forma de taxa percentual: 35% • Forma de fração centesimal: 35/100 • Forma decimal (taxa unitária) : 0, 35

EXEMPLOS • • • 23% = 45% = 3% = 100% = 200% = 0, 3%

• Exemplos: • 01 Calcular 15% de 120. • 02 Um artigo com preço R$ 120, 00 tem seu valor reajustado para R$ 150, 00. Qual foi o percentual de aumento? • 03 Um artigo de preço R$ 150, 00 teve uma redução em seu preço passado a valer R$ 120, 00. Qual o percentual relativo a essa redução? • 04 Uma dívida no valor de R$ 250, 00 tem desconto de 4% se paga com antecipação de pelo menos 15 dia. Sendo paga 20 dias antes do vencimento, terá, valor, em reais de: • R$ 246, 00 b) R$ 244, 00 c) R$ 240, 00 d) R$ 236, 00

Problemas envolvendo porcentagem: • 01 Por quanto devo multiplicar um valor C para atualizá lo após: “chamamos este número (f) de fator de atualização (correção) • um aumento de 35% • um aumento de 20% • um desconto de 3%

• 02 O governo brasileiro, em abril de 2006, aprovou o aumento do valor do salário mínimo, que passava de R$ 300, 00 para 350, 00. Qual foi o percentual de aumento? • 03 Em uma sala em que 75% dos alunos são rapazes, estudam apenas sete moças. Quantos alunos tem a classe?

• 04 A produção de uma indústria de roupas passou , em um ano, de 60 mil para 78 mil peças. • a) Qual foi o aumento percentual de produção? • b) Se esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a previsão da produção? • 05 – Em uma loja o preço de uma calça foi reajustado de R$ 90, 00 para R$ 112, 50. Determine a taxa percentual de aumento do produto.

• 06 – Em uma loja o preço de uma camisa foi aumentado em 20%. Percebendo que as vendas sofreram uma grande queda, o gerente resolveu fazer uma promoção de 20%. O preço final da camisa (após a promoção) é menor, maior ou igual ao preço original (antes do aumento)? E qual será o preço da camisa na promoção? • 07 –(ANTT) Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. Como a vendo do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto sobre o novo preço de modo a fazê lo voltar ao valor anterior do aumento. Nesse caso o comerciante deve anunciar um desconto de aproximadamente: • a) 19% b)23% c)25% d) 28% e)30%

• 08 O preço de uma certa mercadoria tem reajuste em um bimestre de 38%. Se no primeiro mês o aumento foi de 20%, qual foi o aumento no 2º mês? • a) 15% b) 16% c) 17% d) 18% • • • 09 – Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% gerando uma taxa de rendimento de 56%. Qual a taxa de rendimento desse investimento descontada a inflação? • a)26% b)22% c)20% d) 18%

• 10 O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3, 50, mas, ao comprá la na fábrica , o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10% desse preço. Quando a mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu preço final é acrescido de 20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de acréscimo sobre o preço, da fábrica, que pagará o consumidor.

Conjunto dos números Irracionais (I): • Há números decimais que não admitem a sua representação na forma fracionária de dois inteiros; • são os decimais infinitos não-periódicos. Esses números são chamados números irracionais.

Conjunto dos números Reais (l. R) • Da reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais ( I ) obtemos o conjunto dos números reais. Então temos : • l. R = Q U I = { x/ x Є Q ou x Є I}

O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados

INTERVALOS REAIS • Certos subconjuntos de l. R, determinados por desigualdades, têm grande importância na Matemática: são os intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, tem se: • Intervalo aberto: a b IR

• Intervalo fechado: a b IR [a; b] = {x Є IR| a ≤ x ≤ b} • Intervalo semi- fechado: a b IR [a; b[ = {x Є IR| a ≤ x < b}

EQUAÇÕES : Equilíbrio, igualdades, incógnitas. • Equação de 1º grau: é toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a Є IR* e b Є IR. • 2 x + 4 = 8 • 2 x = 8 – 4 • 2 x = 4 • x = 4/2 • x = 2

Equação com frações •

Equação do 2º grau: •

• Δ > 0 → a equação possui duas raízes reais (x’ ≠ x”). • Δ = 0 → a equação possui apenas uma raiz real ( x’= x”). • Δ < 0 → a equação não possui raízes reais, (x’ e x”).

• • • 01 - Resolva as seguintes equações: a) x² +2 x – 3 = 0 b) (x + 1)² = 2(x + 1) c) 5 x² + 4 x + 1 = 0 d) 8 x² – x = 0

02 Resolva e responda os seguintes problemas: • a) Para produzir uma determinada peça, uma empresa tem um custo fixo de R$ 5, 00, independente do número de peça produzidas, e um custo de R$ 2, 00 para cada unidade produzida. Qual o número de unidades produzidas se o custo total da produção dessas peças foi de R$ 55, 00?

• Mário foi de táxi de sua casa até a escola onde estuda. Ao entrar no carro observou que o taxímetro marcava R$ 3, 20. Chegando à escola Mário pagou R$ 21, 20. Sabendo que a distância entre sua casa e a escola é de 12 Km, qual o valor do quilômetro rodado?

• c) A quantia de R$ 200, 00 será repartida entre dois sócios (S 1 e S 2 ). Sabendo que o sócio S 1 deve receber R$ 40, 00 a mais que o outro, quanto deve receber cada um ?

Equações exponenciais: Equações com incógnita nos expoentes. •

Como resolver uma equação exponencial: • A técnica mais simples para resolver uma equação exponencial é reduzir os dois membros, através de transformações, para uma mesma base. • Desta forma potencias com a mesma base nos indicará expoente com mesmo valor. • Observe nos exemplos:

FUNÇÕES: RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS • Presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. • Muitas situações práticas na área de administração de empresa podem ser representadas por funções matemáticas.

• Nas análises iniciais das funções, ressaltamos conceitos como : – Representações por fórmulas, tabelas e gráficos; – Coeficientes numéricos; – Crescimento e decrescimento, – Estudo do sinal de uma função; – Pontos notáveis, interceptos ; – Valores numéricos;

Mas quando estaremos diante de uma relação que é função? • Dado dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento x Є A a um único elemento y Є B. • todos os elementos x Є A têm correspondente y Є B; • a cada elemento de x Є A corresponde um único elemento y Є B.

Relações representadas por diagramas

A B 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 2 5 10 20 2 1 0 2 3 4 9 0 +2

A B 3 2 1 0 0 +2 +1 +3

Existem três modos de descrever uma função. •

• 0 segundo método para descrever uma função é graficamente :

• O terceiro método para descrever uma função é pelo fornecimento de uma tabela com os valores da função, como mostrado na Tabela. Uma função descrita deste modo é dita estar numericamente definida. x -3 -2, 5 -2 -1, 5 -1 -0, 5 0 f(x) 8 4 1 1 2 2 1 x 0, 5 1 2 2, 5 3 3, 5 4 f(x) 1 4 13 19 26 34 43

A tabela ao lado apresenta Preço médio do quilo do contra filé em São Paulo no ano de 2003 para cada mês do ano. Temos uma relação matemática entre as grandezas “tempo” e “preço”. Mês (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 preço (R$) 6, 75 6, 88 6, 95 7, 01 7, 08 7, 14 7, 28 7, 36 7, 45

Representação gráfica: preço (R$) 7. 6 7. 4 7. 2 7 preço (R$) 6. 8 6. 6 6. 4 6. 2 0 2 4 6 8 10 12 14

Apresentação das equações e coeficientes: preço (R$) 7. 7 R 2 = 0. 9968 7. 5 7. 3 7. 1 preço (R$) 6. 9 Linear(preço (R$)) 6. 7 6. 5 6. 3 6. 1 0 2 4 6 8 10 12 14

Vendas de CD A tabela apresenta uma escala de tempo a partir do lançamento do produto CD assim como o respectivo valor de suas vendas (em milhares) t (meses) 0 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 v(vendas em milhares) 0, 5 1 2 8 28 84 168 223 248 250

Representação gráfica: v(vendas em milhares) 300 250 200 150 100 50 0 0 5 10 15 20 25

A linha de tendência linear não se adapta bem aos pontos da nuvem de dispersão v(vendas em milhares) 350 300 250 200 150 100 50 0 0 50 5 10 15 20 25

Linha de tendência: “polinomial de 6º grau”. R 2 = 0. 9981

Domínio, contradomínio e conjunto imagem. • Dada uma função f de A em B, onde f representa a relação entre as variáveis do conjunto A e as do conjunto B: • Domínio (A) Contradomínio (B)

Domínio em um contexto: • o domínio é constituído de todos os valores reais de x para os quais tenha significado o cálculo da imagem. • Em uma função custo C(x)= 400 + 3 x, os valores de x não podem ser negativos (não podemos ter quantidades negativas). Além disso, caso o produto seja indivisível, por exemplo, quando x é a quantidade de carros, o domínio é formado por números inteiros não negativos (IN).

• 01 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A B que transforma x ЄA em 2 x Є B. • 02 Uma firma de corretagem mobiliária cobra uma comissão de 6% nas compras de ouro na fai xa de R$50, 00 a R$300, 00. Para compras excedendo R$ 300, a firma cobra 2% do total da com pra mais R$12, 00. Denote por “x” o valor do ouro comprado (em reais) e por f(x) a comissão cobrada em função de x. • a) Descreva f (x) • b) Encontre f(100) e f (500).

• Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40, 00 de visita mais R$ 20, 00 por hora de mão de obra. Então o preço y, que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho (mão de obra). • 03 – Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800, 00 mais uma comissão de 5% sobre as vendas do mês. Em geral, cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equivalente a R$500, 00. • a) Qual será o salário mensal em função do número x de horas trabalhadas por mês? • b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês o que é preferível : um aumento de 20% no salário fixo ou um aumento de 20% ( de 5% para 6%) na taxa de comissão?

INTERCEPTOS • São os pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos. • Intersecção com o eixo x têm coordenadas (x’, 0) x-interceptos ou raízes da função. • Intersecção com o eixo y têm coordenadas (0, y’) e são chamados de y-interceptos. • • Exemplo: Vamos obter os pontos de intersecção do gráfico das seguintes funções: a) f(x) = 30 + 40 x b) g(x) = x 2 + 2 x c) h(x) = (x 2 – 1)(x – 2)

Função Crescente e Decrescente • f é crescente em [a, b] então se : • “aumenta o valor de x”, dentro do intervalo, “as imagens correspondentes também aumentam”.

• f é decrescente num intervalo [a, b] então aumenta o valor de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes vão diminuindo.

Função constante • Caso a função tenha a mesma imagem em todos os pontos do intervalo [a, b], dizemos que a função é constante naquele intervalo.

Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente.

VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO: •

Graficamente

Máximo e mínimo absoluto • Seja f(x) uma função contínua em [a, b]. Os pontos de máximo e mínimo absoluto de f(x) ocorrem em um ponto de máximo relativo e mínimo relativo, ou em uma das extremidades do intervalo [a, b], como podemos ver no seguinte gráfico:

Exercícios: Máx. absoluto Mínimo absoluto

• 02 – Uma calculadora é vendida por R$ 200, 00 a unidade. • a) Sendo x a quantidade vendida, qual será a fórmula matemática que representa a receita de vendas? • b) Determine o domínio e o conjunto imagem desta função. • 02 – Uma livraria vende uma revista por R$ 5, 00 a unidade. Seja x a quantidade vendida. • a) Obtenha a função receita R(x) e calcule os valores de R(40), R(50) e R(100). • b) Qual a quantidade que vede ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700, 00?