Fundamentos de Mecnica 4300151 Primeiro semestre de 2020

Fundamentos de Mecânica 4300151 – Primeiro semestre de 2020 6 a Aula. Velocidade e aceleração Parte 1. Revisão das aulas anteriores Nilberto Medina e Vito Vanin medina@if. usp. br 23/3/2020

AVISOS Monitoria online segunda a quinta-feira das 12 às 13 horas e das 18 às 19 horas. Conceitos de Matemática online na quintas feira das 10 às 12 horas exta feira a partir das 21 às 23 horas Aulas online a partir da 5ª via Zoom. Os links podem mudar. Encontre o link certo no moodle, no tópico do dia ou da semana Grande parte dos slides foram fornecidos pela profa. Marcilei Guazzelli do Centro Universitário da FEI 2

Objetivos Definir velocidade instantânea - decomposição em sucessão de movimentos uniformes - algebricamente - tabela de derivadas Definir aceleração 3

Cinemática Unidimensional É comum uma partícula se mover sobre uma linha reta. Exemplos: pedra em queda livre, um trem acelerando nos trilhos, disco de hóquei, um elétron se movendo num tubo de raios x, um carro freando, um pacote sobre uma esteira rolante. Um corpo é um ponto material se, da posição de um único ponto, você pode determinar onde estão todos os pontos desse corpo – resolver uma única equação de movimento trajetórias de todos os pontos. (formal: corpo rígido em rotação uniforme) Os movimentos de um corpo podem ser descritos: o com palavras o por gestos o por meio de esboços o em gráficos o por equações matemáticas Halliday, Resnick e Krane, seção 2 -4 Posição em função do tempo Velocidade, taxa de variação da posição aceleração, taxa de variação da velocidade 4

Exemplo Imagine que esse gráfico descreva o movimento de uma pessoa. marque uma origem em um ponto da sua mesa, escolha uma linha reta para mover a mão e gesticule da forma correspondente ao gráfico. 2 1. 5 1 x(m) Agora, tente visualizar esse movimento: 2. 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0. 5 -1 -1. 5 t(s) 5

Posição, deslocamento, velocidade média Velocidade média: deslocamento dividido pelo intervalo de tempo de duração do deslocamento. A velocidade média tem o mesmo sinal do deslocamento. Posição x em função do tempo t para um tatu em movimento. Os esboços ilustram as posições do tatu em três instantes diferentes. Note que o movimento do tatu é retilíneo, enquanto que a linha que representa o movimento no gráfico é curva. 6

Cálculo da velocidade média Velocidade média (vmed): distância percorrida dividida pelo intervalo de tempo de duração desse percurso (Dt). 7

Questão – faça já, você tem 1 min! Considere o gráfico abaixo, que dá a posição de uma partícula em função do tempo. Associe A, B, C, D e E aos diagramas ao lado, que representam o movimento da partícula nesses pontos. Depois, represente em cada um desses diagramas o vetor aceleração da partícula naquele instante. Diagramas de movimento da partícula, correspondentes aos instantes t. A, t. B, t. C, t. D e t. E do gráfico, mas fora de ordem! O ponto marca a posição no eixo e a seta indica a velocidade. O instante t. A já está marcado t ___ x (m) C D B t A E t ___ t (s) t ___ A Velocidade instantânea 0 0 0 x x x 8

Solução da questão O gráfico abaixo mostra o gráfico da posição de uma partícula em função do tempo. Associe os instantes A, B, C, D e E ao diagrama que descreve o movimento da partícula. Após isso, desenhe em cada um desses instantes o vetor aceleração da partícula. Diagrama de movimento da partícula x (m) C D B t C E t (s) t B A Moral da estória: Os sinais algébricos da posição, velocidade e aceleração não precisam ser iguais – e não é comum que sejam iguais! aceleração 0 0 t A 0 t D 0 t E 0 x v = 0 x a=0 x Velocidade instantânea 9

Velocidade média velocidade instantânea v Velocidade média no intervalo de 1 a 3 s (P 1 e P 2 na figura) Velocidade média entre outros pontos P 1 e P 2, com o intervalo de tempo cada vez menor, tendendo a um valor instantâneo Valor da velocidade instantânea, no instante de tempo t 1 s, que é a inclinação da reta tangente. 10

Próxima parte: v(t) é a inclinação da reta que aproxima o gráfico de x(t) nas vizinhanças de t Vamos verificar que o gráfico da posição em função do tempo, x(t), de um movimento qualquer, pode ser aproximado por uma sequência de retas; quanto maior o número de retas, melhor fica a aproximação. Em outras palavras, é possível decompor qualquer movimento em uma série de movimentos uniformes consecutivos, dentro de uma precisão especificada. Nós vamos nos limitar a entender e calcular a velocidade a partir da posição, que, do ponto de vista matemático, é apenas um exemplo de derivada. mas que permite resolver muitos problemas de mecânica. 11

Próxima parte: a velocidade é a derivada da posição no tempo Vamos formalizar o conceito de derivada, que se escreve assim antecipando o que vocês vão ver em cálculo ao longo do semestre.