Grundlagen der Elektrotechnik Prof Dr Ing J Uwe

Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr. -Ing. J. -Uwe Varchmin 4 Gleichstromkreise Moeller et. al. : Grundlagen der Elektrotechnik, 18. Auflage, Teubner Verlag 1996, Seite 22 -114 Paul, R. : Elektrotechnik 2, Springer Verlag, 3. Auflage 1993 Pregla, R. : Grundlagen der Elektrotechnik, Teil 1 Hüthig Verlag 1980 Unbehauen, R. : Grundlagen der Elektrotechnik 1 Springer Verlag, 5. Auflage 1999 Wolff, I. : Grundlagen der Elektrotechnik, Verlagshaus Nellissen-Wolff 1997, Seite 353 -414 emg GET

4. Gleichstromnetzwerke Elemente in Gleichstromkreisen sind aktive und passive Zweipole. Aktive Zweipole sind Spannungsquellen und Stromquellen. - Passive Zweipole sind ohmsche Widerstände. IQ - I R + + UQ emg Es gilt das GET Ohmsche Gesetz: U = R • I UR

Georg Simon Ohm *16. März 1789, Erlangen † 6. Juli 1854, München R= l A Ohm entdeckte 1826 den Zusammenhang zwischen den Materialeigenschaften eines elektrischen Leiters und dem Stromfluß durch diesen Leiter in Abhängigkeit von der elektrischen Spannung. Das Ohmsche Gesetz lautet: U = R • I emg GET

Das Zählpfeilsystem für die Spannung U und den Strom I ergibt sich aus den Zusammenhängen zwischen der elektrischen Feldstärke E und der elektrischen Stromdichte S im elektrischen Strömungsfeld eines Leiters. E S I emg GET + E=r. S UQ

Das Verbraucher-Zählpfeilsystem für die Spannung U und den Strom I Quelle Verbraucher IR UQ UR + RL - emg GET positiver Umlaufsinn der Masche

4. 1 Spannungs- und Stromquellen Ideale und Reale Quellen: Ohne zunächst auf die technischen Realisierungen von Spannungs- und Stromquellen einzugehen, wollen wir die Eigenschaften idealer Quellen definieren und die Eigenschaften realer Quellen damit beschreiben. Diese Modelle ermöglichen uns die Beschreibung und Berechnung realer Schaltungen. emg GET

Die Ersatzschaltung für einen Transistor als Beispiel für ein Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle: C B E npn-Transistor B UBE emg GET E IB RBB‘ UB‘E B‘ C B • IB GCE UCE E

Merksatz Eine ideale elektrische Spannungsquelle hat eine eingeprägte, d. h. konstante und insbesondere von der Größe des Stromes, der durch die Quelle fließt, unabhängige Quellenspannung zwischen ihren Klemmen. Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist gleich null! emg GET

ideale Quelle UQ + - A Last IR RL B Ideale Spannungsquelle mit Lastdiagramm: UR Widerstandsgerade RL = U Q / I U UQ = f(I) = const ! UQ emg GET Strom I für gegebene Last R I

Reale Spannungsquellen: Galvanische Elemente, Batterien, Akkumulatoren, Thermoelemente, elektronische Spannungsquellen Das reale Verhalten dieser Quellen wird durch: die Leerlaufspannung U 0 den Kurzschlußstrom Ik den Innenwiderstand Ri beschrieben. Eine reale Spannungsquelle wird durch eine Ersatzschaltung aus einer idealen Spannungsquelle mit Innenwiderstand nachgebildet. emg GET

Messung im Leerlauf A reale Quelle UQ + Ri UAB B emg GET V Ohne Belastung wird zwischen den Klemmen AB die Leerlaufspannung U 0 UAB = U 0 = UQ gemessen.

Messung im Kurzschluß A reale Quelle UQ + - Ri A UAB Ik B Im Kurzschluß wird emg GET zwischen den Klemmen AB der Kurzschlußstrom Ik Ik = UQ / Ri gemessen, dabei ist UAB = 0.

Aus den beiden Messungen ergeben sich die Eigenschaften der realen Quelle: Aus der Leerlaufmessung ergibt sich die innere Quellenspannung: UQ = U 0 Aus der Kurzschlußmessung und der Leerlaufspannung berechnet sich der Innenwiderstand: emg GET Ri = UQ / Ik

- MONO 1, 5 V + Beispiel: Messung an einer 1, 5 V Monozelle emg GET

- MONO 1, 5 V + Leerlaufspannung einer 1, 5 V Monozelle emg GET 1, 50 V

- MONO 1, 5 V + Kurzschlußstrom einer 1, 5 V Monozelle emg GET 3, 00 A

Ergebnis: A - MONO 1, 5 V + reale Quelle = UQ + Ri UAB B UQ = 1, 5 V Ik = 3, 0 A emg GET Ri = UQ / Ik = 0, 5 Ohm

Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR): A reale Quelle UQ + Last IR Ri RL UAB B Erforderliche Berechnungsgrundlagen: emg Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Sätze GET

Ohmsches Gesetz: U = R I 1. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich null. 2. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich null. emg GET I 1 I 4 I 2 I 3 UR 1 I R 1 UQ R 2 UR 2

Gustav Robert Kirchhoff * 12. März 1824, Königsberg † 17. Oktober 1887, Berlin Kirchhoff um 1885 emg GET Deutscher Physiker, Professor in Breslau, Heidelberg und Berlin. Gemeinsam mit Robert Bunsen entwickelte er die Spektralanalyse, die zur Entdeckung der Elemente Cäsium und Rubidium führte. Er stellte die nach ihm benannten Regeln der Stromverzweigung auf.

Experiment zum 1. Kirchhoffsches Gesetz UQ = 10 V emg GET + - Iges R 1= 10 R 2= 5 IR 1 IR 2

Iges R 2= 5 R 1= 10 + IR 1 UQ = 10 V IR 2 - +1, 00 A emg GET A V IR 1 = +1, 00 A

Iges UQ = 10 V + - R 2= 5 IR 1 R 1= 10 IR 2 + - +2, 00 A emg GET A V IR 2 = +2, 00 A

Iges UQ = 10 V + - R 2= 5 IR 1 R 1= 10 Iges + - -3, 00 A emg GET A IR 2 V Iges = -3, 00 A

UQ = 10 V + Iges R 1= 10 IR 2 - IR 1 = +1, 00 A IR 2 = +2, 00 A Iges = -3, 00 A emg GET R 2= 5 IR 1 1. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich null. IR 1 + IR 2 - Iges = 0 oder Iges = IR 1 + IR 2

UQ = 10 V + Iges R 1= 10 R 2= 5 IR 1 IR 2 - 1. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich null. emg GET Anders gesagt: In einem Stromknoten ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme

Aus dem 1. Kirchhoffschen Gesetz läßt sich die Stromteilerregel ableiten: UQ = 10 V IR 1 = Iges emg GET + Iges R 1= 10 R 2= 5 IR 1 IR 2 - R 2 R 1 + R 2 IR 2 = Iges Rges = R 1 R 2 R 1 + R 2

2. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich null. UR 1 UQ + - A I R 1 R 2 Masche UR 2 positiver Umlaufsinn B emg GET UR 1 + UR 2 - UQ = 0 UQ = UR 1 + UR 2

Experiment zum 2. Kirchhoffsches Gesetz UR 1 I 10 W - emg GET R 2 5 W UQ + R 1 UR 2

UR 1 10 W + - R 1 R 2 UR 2 I + - +1, 00 A emg GET 5 W UQ = 15 V A V I= I= UQ R 1 + R 2 15 V 10 + 5

UR 1 I 10 W + R 1 R 2 5 W UQ = 15 V UR 2 - +15, 0 V emg GET A V UQ = 15, 0 V

UR 1 I 10 W + R 1 R 2 5 W UQ = 15 V UR 2 - +10, 0 V emg GET A V UR 1 = 10, 0 V UR 1 = I R 1

UR 1 I 10 W + R 1 R 2 5 W UQ = 15 V UR 2 - +5, 00 V emg GET A V UR 2 = 5, 00 V UR 2 = I R 2

UR 1 I 10 W + R 1 R 2 5 W UQ = 15 V UR 2 Berechnung der Summe aller Spannungen im gewählten Umlaufsinn: UR 1 + UR 2 -UQ = 0 10 V + 5 V -15 V = 0 emg GET

2. Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich null. UR 1 UQ + - A I R 1 R 2 Masche UR 2 positiver Umlaufsinn B emg GET UR 1 + UR 2 - UQ = 0 UQ = UR 1 + UR 2

Aus dem 2. Kirchhoffschen Gesetz läßt sich die Spannungsteilerregel ableiten: R 1 UQ + - UR 1 I UR 1 = UQ R 1 + R 2 A R 2 UR 2 = UQ emg GET R 1 B R 2 R 1 + R 2

Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR): A reale Quelle UQ + Last IR Ri RL UAB B Der Strom IR berechnet sich aus dem Ohmschen Gesetz: UQ emg R Ri + R L GET I =

Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR): A reale Quelle UQ + Last IR Ri RL UAB B Die Spannung UAB berechnet sich aus der Spannungsteilerregel: RL emg AB Q Ri + R L GET U =U

Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR) UAB Leerlauf U 0=UQ DUAB 1 V Widerstandsgerade UQ = f(I) = const ! DI Arbeitspunkt Ri = DUAB / DI Ri = 0, 5 W emg GET RL = DUAB / DI DI DUAB = f(IR) Kurzschluß I = Ik Strom I für gegebene Last R 1 A 2 A I

Belastungsdiagramm einer realen Spannungsquelle: UAB = f(IR) mit nichtlinearem Innenwiderstand U UQ 1 V Leerlauf Widerstandsgerade UQ = f(I) = const ! UAB = f(IR) RL = UAB / I Arbeitspunkt Kurzschluß emg GET Strom I für gegebene Last R 1 A 2 A I = Ik I

Merksatz Eine ideale elektrische Stromquelle liefert einen eingeprägten, d. h. konstanten und insbesondere von der Größe der Spannung, die an ihren Klemmen auftritt, unabhängigen Quellenstrom. emg GET Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist unendlich groß!

A ideale Quelle IQ + RL - B Ideale Stromquelle mit Lastdiagramm Last UR Leitwertgerade G L = IQ / U R I IQ = f(U) = const ! IQ emg GET Spannung UR für gegebene Last R U

Reale Stromquellen lassen sich nur unter Zuhilfenahme von Spannungsquellen realisieren! Das reale Verhalten dieser Quellen wird durch die Leerlaufspannung U 0 den Kurzschlußstrom Ik den Innenwiderstand Ri beschrieben. emg GET Eine reale Stromquelle wird durch eine Ersatzschaltung aus einer idealen Stromquelle mit Innenwiderstand nachgebildet.

Messung im Leerlauf: A reale Quelle IQ + Ri UAB B emg GET V Ohne Belastung wird zwischen den Klemmen AB die Leerlaufspannung U 0 UAB = U 0 = IQ • Ri gemessen.

Messung im Kurzschluß: A reale Quelle IQ + Ri A UAB - Ik B emg GET Im Kurzschluß wird zwischen den Klemmen AB der Kurzschlußstrom Ik Ik = IQ gemessen, dabei ist UAB = 0.

Aus den beiden Messungen ergeben sich die Eigenschaften der realen Quelle: Im Leerlauf wird die Leerlaufspannung U 0 gemessen. Im Kurzschluß wird der Kurzschlußstrom Ik gemessen. Aus der Kurzschlußmessung und der Leerlaufspannung berechnet sich der Innenwiderstand: emg GET Ri = U 0 / Ik

Aufgabe: Realisiert werden soll eine Stromquelle, die einen Strom IQ = 1 m. A durch Lastwiderstände von 0 bis 1 k treibt. Dabei soll sich der Strom um weniger als 1% ändern. ideale Quelle IQ + - emg GET A Last RL B UR

Wir können diese Aufgabe nur unter Zuhilfenahme einer realen Spannungsquelle lösen, deren Quellenspannung UQ und Innenwiderstand Ri wir unter Berücksichtigung der Forderungen für die Lastwiderstände berechnen müssen. A reale Quelle UQ + IR Ri RL UAB - emg GET Last B URL

1. Fall: Kurzschluß RL = 0 A reale Quelle UQ + Ri UAB - IQ B emg GET Gleichung 1: UQ = IQ • Ri

2. Fall: Lastwiderstand RL = 1 k A reale Quelle UQ + Last IQ Ri RL UAB B emg Gleichung 2: UQ = IQ • 0, 99 • (Ri + RL) GET

Da die Quellenspannung UQ konstant ist, können wir die beiden Gleichungen gleichsetzen: IQ • 0, 99 • (Ri + RL) = IQ • Ri Daraus folgt die Bestimmungsgleichung für den Innenwiderstand: Ri = 0, 99 • (Ri + RL) Ri = 99 • RL emg GET Mit RL = 1 k folgt für Ri = 99 k , oder in der praktischen Realisierung Ri = 100 k

Jetzt berechnen wir aus Gleichung 1 die Quellenspannung UQ: U Q = IQ • R i UQ = 1 m. A • 100 k UQ = 1 • 10 -3 A • 100 • 103 UQ = 100 V emg GET

Probe: reale Quelle 100 V + A Last IQ 100 k RL UAB B RL = 0: IQ = 100 V/100 k = 1 m. A RL = 1 k : IQ = 100 V/101 k = 0, 9909 m. A emg GET Bei einer Widerstandsänderung von 0. . . 1000 ändert sich der Strom IQ um weniger als 1%. Die Schaltung kann daher als eine Konstantstromquelle betrachtet werden. URL

Dimesionierte Schaltung: reale Spannungsquelle 100 V + Last A IQ 100 k RL UAB B Äquivalente Ersatzschaltung mit Stromquelle: emg GET reale Stromquelle A + IRi IL IQ = 1 m. A - Last RL UAB Ri=100 k B URL

Die Ersatzschaltung für einen Transistor als Beispiel für ein Netzwerk mit Spannungs- und Stromquelle: C B E npn-Transistor B UBE emg GET E IB RBB‘ UB‘E B‘ C B • IB GCE UCE E

Die Berechnung von elektrischen Netzwerken kann sich vereinfachen, wenn Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen - oder umgekehrt - umgewandelt werden. Bei der Umwandlung müssen die Eigenschaften der Quelle bezüglich des Klemmenverhaltens gleich bleiben. Das heißt: Leerlaufspannung, Kurzschlußstrom und Innenwiderstand dürfen sich nicht verändern! emg GET

Umwandlung einer Spannungsquelle in eine äquivalente Stromquelle: reale Spannungsquelle 100 V + 100 k Leerlaufspannung U 0= UQ = 100 V A Innenwiderstand Riu = 100 k. Ohm Kurzschlußstrom Ik = UQ / Ri. U =1 m. A - UAB B emg GET Blickrichtung in die Klemmen zur Bestimmung des Innenwiderstandes Die äquivalente Stromquelle muß Ideale Quelle zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: Ri = 0! Ri. I = Ri. U

Ersatzstromquelle A IQ = 1 m. A + - Ri. I Ri=100 k Die äquivalente Stromquelle muß zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: Ri. I = Ri. U = Ri UAB B Im Kurzschluß muß die Stromquelle den gleichen Kurzschlußstrom Ik liefern, dieser entspricht dem Quellenstrom IQ IQ = UQ / Ri. U emg GET Im Leerlauf liefert die Stromquelle die Leerlaufspannung U 0 = Ik • Ri , dies entspricht der Leerlaufspannung der o. g. Spannungsquelle.

Umwandlung einer Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle : reale Stromquelle IQ = 1 m. A + - Ri. I Ri=100 k emg GET Ideale Quelle Ri = unendlich! A Kurzschlußstrom Ik = IQ =1 m. A Innenwiderstand Ri. I = 100 k Leerlaufspannung U 0= IQ • Ri. I = 100 V UAB B Blickrichtung in die Klemmen zur Bestimmung des Innenwiderstandes Die äquivalente Spannungsquelle muß zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: Ri. U = Ri. I

reale Spannungsquelle 100 V + 100 k A Die äquivalente Spannungsquelle muß zwischen den Klemmen A und B den gleichen Innenwiderstand aufweisen: Ri. I = Ri. U = Ri - UAB B Im Leerlauf muß die Spannungsquelle die gleiche Leerlaufspannung U 0 liefern, diese entspricht der Quellenspannung UQ UQ = IQ • Ri. I emg GET Im Kurzschluß liefert die Spannungsquelle den Kurzschlußstrom Ik = U 0 / Ri. U , dies entspricht dem Quellenstrom IQ der o. g. Stromquelle.

Klemmenspannung UAB als Funktion des Laststromes IR Leerlauf: UAB = UQ reale Spannungsquelle UQ 1, 0 UAB UQ 0, 5 emg GET + Last A IR Ri RL UAB B Arbeitspunkt Ri = R L Kurzschluß: IR = Ik IR Ik 0, 5 1, 0

Klemmenspannung UAB als Funktion des Lastwiderstandes RL reale Spannungsquelle UQ + Last A IR Ri RL UAB B UAB emg GET UQ = RL / Ri 1 + RL/Ri URL

Klemmenspannung UAB als Funktion des Lastwiderstandes RL UAB UQ = RL / Ri Leerlauf: UAB = UQ bei RL = unendlich 1 + RL/Ri 1, 0 UAB UQ 0, 5 RL/Ri 0 0, 5 1 2 3 4 6 UAB/UQ 0 0, 333 0, 5 0, 667 0, 75 0, 857 0, 889 Kurzschluß: RL = 0 emg GET 8 RL Ri 1 2 4 6 8

Klemmenspannung UAB als Funktion des Laststromes IRL Leerlauf: UAB = U 0 1, 0 UAB U 0 0, 5 emg GET reale Stromquelle A + IRi IRL IQ - Last RL UAB B Arbeitspunkt Ri = R L Kurzschluß: IRL = IQ IRL IQ 0, 5 1, 0

Klemmenstrom IRL als Funktion des Lastwiderstandes RL reale Stromquelle A + IRi IRL IQ - Last RL UAB B An der Klemme A wird der Strom IQ geteilt in die Teilströme IRi und IRL. emg GET IRL IQ = 1 1+ RL Ri

Klemmenstrom IRL als Funktion des Lastwiderstandes RL Kurzschluß: RL = 0 1, 0 IRL IQ = RL 1 + Ri RL/Ri 0 0, 5 1 2 3 4 6 8 IRL/IQ 1 0, 667 0, 5 0, 333 0, 25 0, 2 0, 143 0, 111 Leerlauf: IRL = 0 bei RL = unendlich RL Ri 0, 5 emg GET 1 1 2 4 6 8

Zusammenschaltung von Spannungs- und Stromquellen Behandlung in einer großen Übung emg GET 67

Leistungsbilanz im Grundstromkreis Die elektrische Leistung, die eine Spannungsquelle abgibt berechnet sich aus dem Produkt der Quellenspannung und des Stromes, der aus der Quelle in den Verbraucher fließt. Die elektrische Leistung wird mit dem Formelzeichen P beschrieben und in der Einheit Watt (W) angegeben: emg 1 Watt = 1 Volt • 1 Ampere GET

Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle UQ + Last A IR Ri RL UAB B Aus der Spannungsquelle mit der Quellenspannung UQ fließt den Strom IR durch die Verbraucher Ri und RL. Die Quelle liefert die elektrische Leistung: emg GET P Q = U Q • IR PQ = Erzeugerleistung

Leistungsbilanz im Grundstromkreis An einem ohmschen Widerstand R, der von einem Strom I durchflossen wird, entsteht eine elektrische Spannung UR. I R UR Es gilt das Ohmsche Gesetz: UR = R • I emg GET In dem ohmschen Widerstand R wird die Verbraucherleistung PR in Wärme umgesetzt. PR = UR • I = I² • R = UR² /R

Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle Erzeugerleistung UQ + Last A IR Ri RL URL Nutzleistung UAB B In diesem Grundstromkreis liefert die Quelle UQ die Erzeugerleistung PQ. Verbraucherleistung PV entsteht in Widerständen Ri und RL. . emg Die Nutzleistung P wird zwischen den a GET Klemmen AB an den Widerstand RL abgegeben.

Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle Erzeugerleistung UQ + Last A IR Ri RL URL Nutzleistung UAB B Das Verhältnis von emg GET Nutzleistung Pa zu Erzeugerleistung PQ ist der Wikungsgrad h des Stromkreises: h = Pa / PQ

Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle UQ IR Ri + Last A RL UAB B ): 8 Leerlauf (RL = Kurzschluß (RL = 0): Klemmenspannung: emg GET Ausgangsstrom: UAB = U 0 =UQ IR = Ik = UQ/Rii UAB = UQ • RL/(Rii + RL) IR = UQ • 1/(Rii + RL)

Leistungsbilanz im Grundstromkreis reale Spannungsquelle UQ + Last A IR Ri RL UAB B URL Kurzschlußleistung: Pk = UQ • Ik = UQ²/Ri Erzeugerleistung = gesamte von der Quelle UQ an Ri und RL gelieferte Leistung PQ : P Q = U Q • IR = UQ² • 1/(Ri + RL) Ausgangsleistung = am Lastwiderstand RL emg abgegebene Leistung Pa : GET Pa = URL • IR = UQ² • RL /(Ri + RL)²

Wirkungsgrad des Grundstromkreises reale Spannungsquelle UQ + Last A IR Ri RL UAB B Wikungsgrad h = PL / PQ = PL / (Pi + PL) Pi = Ui • IR und PL = URL • IR Ui = UQ • Ri /(Ri + RL ) emg URL = UQ • RL /(Ri + RL ) IR = UQ /(Ri + RL ) GET h= RL / Ri 1 + ( RL / Ri )

Maximal an RL abgebbare Leistung PLmax reale Spannungsquelle UQ + Last A IR Ri RL UAB B PL = UQ² • RL /(Ri + RL)² Zur Berechnung des Maximums von PL in Abhängigkeit von RL, muß die Gleichung nach RL differenziert werden. Man erhält als Differentialquotienten: emg GET d. PL Ri - R L = U Q² d. RL (Ri + RL)³

Maximal an RL abgebbare Leistung PLmax Für das gesuchte Maximum muß der Differentialquotient null werden: Ri - R L 0 = U Q² (Ri + RL)³ Daraus folgt für RL die Bedingung: RL = Ri Wenn Ri und RL gleich groß sind, wird in beiden Widerständen die gleiche Leistung umgesetzt. Man nennt diesen Fall: Leistungsanpassung. Bei Leistungsanpassung wird im Lastwiderstand RL die maximale Leistung umgesetzt: emg GET PLmax = UQ² /4 Ri = UQ² /4 RL

Leistungsbilanz im Grundstromkreis Alle Gleichungen im Überblick mit der Normierung RL/Ri = x reale Spannungsquelle UQ + Last A IR Ri RL UAB B emg GET URL/UQ = x/(1+x) URL IR/Ik = 1/(1+x) PL/PQ = h = x/(1+x) PL/PLmax = 4 x/(1+x)² Kurvendarstellung Matlab

X URL/UQ 0 0 0, 25 0, 2 0, 333 0, 5 0, 75 0, 438 0, 5 1 0, 666 2 0, 75 3 0, 8 4 0, 833 5 0, 857 6 0, 875 7 0, 888 8 0, 9 emg 9 0, 909 10 GET IR/Ik 1 0, 8 0, 666 0, 571 0, 5 0, 333 0, 25 0, 2 0, 166 0, 143 0, 125 0, 111 0, 091 PL/PQ 0 0, 2 0, 333 0, 438 0, 5 0, 666 0, 75 0, 833 0, 857 0, 875 0, 888 0, 909 PL/PLmax 0 0, 64 0, 888 0, 979 1, 0 0, 888 0, 75 0, 64 0, 555 0, 489 0, 438 0, 395 0, 36 0, 331

Meßtechnik RL -> Kurzschluß Leerlauf Leistungsanpassung: h = 0, 5 1, 0 8 Energietechnik h -> 1, Ri -> 0 URL/UQ 0, 8 PL/PQ = h 0, 6 PL/PLmax 0, 4 0, 2 emg GET IR/IK 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RL/Ri 10

Energietechnik: zur Erzielung eines hohen Wirkungsgrades ( h -> 1) muß der Innenwiderstand des Energieerzeugers möglichst gering sein (Ri -> 0). reale Spannungsquelle UQ + - IR Ri UAB B emg GET Last A RL URL

Nachrichtentechnik: zur Erzielung einer möglichst hohen Leistungsverstärkung müssen Empfänger (Antenne) und Verbraucher (Signalverstärker) bei Leistungsanpassung arbeiten. h = 0, 5 ; RL = Ri reale Spannungsquelle UQ + IR Ri RL UAB B emg GET Last A URL UA Signalverstärker bei Leistungsanpassung Ri = R L

Meßtechnik: Durch die Messung darf die Meßgröße des Meßobjekt nicht beeinflußt werden. Daher muß z. B. ein Spannungsmeßgerät einen möglichst großen Innenwiderstand haben Ri -> . Die Messung erfolgt bei Leerlauf der Quelle! reale Spannungsquelle UQ + IR Ri UAB - B emg GET Usp V Um Last A RL URL

4. 2 Berechnung (Analyse) linearer Netzwerke + UQ + - IQ Die Netzwerkanalyse stellt Berechnungsverfahren bereit, mit denen sich Spannungen, Ströme und Widerstände in verzweigten elektrischen Netzwerken berechnen lassen. emg GET

Ein Netzwerk besteht aus: + UQ + - IQ Zweigen und Knoten Die Netzwerkelemente in den Zweigen sind: emg Widerstände, Spannungs- und Stromquellen (später auch Wechselstromelemente). GET

Berechnung (Analyse) linearer Netzwerke + UQ + - IQ Eine häufige Aufgabe der Netzwerkanalyse ist die Berechnung von Zweigspannungen und emg. Zweigströmen bei bekannten Größen der Quellen und Widerstände. GET

UQ + + - - IQ Die wichtigsten Berechnungsverfahren der Netzwerkanalyse sind: Die Anwendung der Kirchhoffschen Sätze Das Überlagerungsverfahren Die Berechnung von Ersatzzweipolen emg GET Das Maschenanalyseverfahren Das Knotenpotentialverfahren

Vorbereitung einer Schaltung zur Aufstellung der Analysegleichungen UQ emg GET + + - - IQ Ein Netzwerk wird vollständig durch m Maschengleichungen und k-1 Knotengleichungen beschrieben. Die Aufstellung des Gleichungssystems wird nach folgenden Schritten vorgenommen:

1 2 3 + UQ + - IQ 0 = Bezugsknoten 1. Numerierung der k Knoten von 0 bis k-1 (da Leitungen widerstandslose Verbindungen sind, stellen mehrere Abzweigungen an emg einer Leitung nur einen Knoten dar). GET

+ UQ + - IQ 2. Numerierung der Zweige von 1 bis z. Für jeden Zweigstrom und jede Zweigspannung wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen. emg GET Zweignummer = Bauteilindex

R 4 I 4 1 I 1 R 2 I 2 2 U 4 3 R 5 I 5 U 2 I 3 R 1 U 5 I 6 + R 3 U 3 + R 6 UQ 1 U 1 emg GET 0 = Bezugsknoten U 6 - IQ 6

3. Verknüpfung der Zweigspannungen und der Zweigströme über das Ohmsche Gesetz. Zweig 1: U 1 = -R 1 • I 1 +UQ 1 Zweig 2: U 2 = R 2 • I 2 Zweig 3: U 3 = R 3 • I 3 Zweig 4: U 4 = R 4 • I 4 Zweig 5: U 5 = R 5 • I 5 Zweig 6: U 6 = R 6 • I 6 Aufstellung der Knotengleichungen: Knoten 1: I 1 - I 2 - I 4 = 0 Knoten 2: I 2 - I 3 - I 5 = 0 emg GET Knoten 3: I 4 + I 5 + IQ 6 - I 6 = 0

4. Auswahl eines geeigneten Berechnungsverfahrens und Eintragen der dafür zusätzlich erforderlichen Größen (z. B. Maschenströme oder Knotenpotentiale). 5. Aufstellung und Lösung des Gleichungssystems. emg GET

Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 1. Anwendung der Kirchhoffschen Sätze Ein einfaches Beispiel: Zweig 3 I 1 1 I 3 R 1 Zweig 1 1. Numerierung der Knoten UQ + UR 1 Zweig 2 I 2 R 2 UR 2 Masche 1 emg GET UR 3 0 2. Numerierung der Zweige Zweigspannungen und Zweigströme eintragen Masche 2 3. Verknüpfung der Zweigspannungen und -ströme = Bezugsknoten UR 1 = R 1 • I 1 UR 2 = R 2 • I 2 UR 3 = R 3 • I 3 Numerierung der Maschen

Ein Netzwerk wird vollständig durch seine z Zweige beschrieben. Sind die Größen der Elemente in den Zweigen bekannt (Widerstände und Quellen), dann sind 2 • z Größen - nämlich die Zweigspannungen und die Zweigströme - unbekannt. Über das Ohmsche Gesetz lassen sich z Größen berechnen, es verbleiben z Unbekannte, wofür z voneinander unabhängige Gleichungen aufzustellen sind. Mit den Kirchhoffschen Regeln lassen sich m Maschengleichungen und emg k-1 Knotengleichungen aufstellen. GET

Zwischen den Maschen m, Knoten k und Zweigen z eines Netzwerkes gilt der Zusammenhang: m = z - (k -1) In einem Netzwerk mit k Knoten führt jede Knotengleichung auf mindestens einen Zweig, der vorher noch nicht berücksichtigt wurde. Im Schaltungsbeispiel haben wir: z = 3 Zweige und k = 2 Knoten. Wir erkennen zwei Maschen, die durch den oben beschriebenen Zusammenhang bestätigt werden: emg m = 2 = 3 -(2 -1) GET

Aufstellung der Maschengleichungen: Masche 1: UR 1 + UR 2 - UQ = 0 Masche 2: UR 3 - UR 2 = 0 Aufstellung der Knotengleichung: Knoten 1: I 1 - I 2 - I 3 = 0 Am Knoten 0 - dem Bezugsknoten - ergibt sich die gleiche Stromsumme, daher eben nur k-1 Knotengleichungen. Die Gleichungen enthalten 2 • z = 6 Unbekannte: UR 1 UR 2 UR 3 und I 1 I 2 I 3 emg GET

Die unbekannten Spannungen UR 1 , UR 2 , UR 3 werden durch die Widerstände und Ströme ersetzt, damit erhält man drei Gleichungen für die drei unbekannten Ströme: Masche 1: I 1 R 1 + I 2 R 2 - UQ = 0 Masche 2: I 3 R 3 - I 2 R 2 = 0 Knoten 1: I 1 - I 2 -I 3 = 0 Die Gleichungen werden in der Reihenfolge der Indizes sortiert, die bekannten Quellen auf die rechte Seite gebracht: Masche 1: I 1 R 1 + I 2 R 2 = UQ emg GET Masche 2: - I 2 R 2 + I 3 R 3 = 0 Knoten 1: I 1 - I 2 - I 3 =0

Dieses lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten läßt sich nun nach verschiedenen Verfahren lösen, z. B. als Matrizengleichung: R 1 R 2 0 0 -R 2 R 3 • 1 -1 -1 I 2 I 3 = UQ 0 0 Spaltenmatrix der Koeffizientenmatrix Spaltenmatrix der Zweigwiderstände unbekannten Ströme bekannten Quellen Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1 = 5 , R 2 = 10 , R 3 = 10 , UQ = 10 V emg GET Matlab

R 1 R 2 0 0 -R 2 R 3 • 1 -1 -1 I 1 = I 1 I 2 = I 3 UQ 0 0 D I 1 = UQ R 2 0 0 -R 2 R 3 0 -1 -1 Determinante [I 1] Determinante [K] R 1 R 2 0 D K = 0 -R 2 R 3 1 -1 -1 (Kramersche Regel) emg GET

Allgemeine Lösung einer dreireihigen Determinante: D= a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 D = a 11 D= emg GET D= a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 + Lösungsschema a 22 a 23 a 21 a 22 a 33 - a 12 a 31 a 33 + a 13 a 31 a 32 a 11 ( a 22 a 33 - a 23 a 32) - a 12 ( a 21 a 33 - a 23 a 31) + a 13 ( a 21 a 32 - a 22 a 31) a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 - a 13 a 22 a 31

Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1 = 5 , R 2 = 10 , R 3 = 10 , UQ = 10 V 5 10 0 Determinante [K] = 0 -10 1 -1 -1 DK= (5 • -10 • -1) + (10 • 1) + (0 • -1 ) - (5 • 10 • -1) - (10 • 0 • -1 ) - (0 • -10 • 1) DK= (50 2) + (100 2) + (0) - (-50 2) - (0) DK= 50 2 + 100 2 + 50 2 emg GET = 200 2

10 V 10 0 -10 10 Determinante [I 1] = 0 0 -1 -1 D I 1= (10 V • -10 • -1) + (10 • 0) + (0 • -1) (10 V • 10 • -1) - (10 • 0 -1) - (0 • -10 • 0) D I 1= (100 V ) + (0) -(-100 V ) - (0) D I 1= 200 V = 200 V²/A emg I 1 = GET D I 1 DK 200 V²/A 200 V² A² = = 2 200 (V/A) 200 V² A = 1 A

Lösung der Netzwerkanalyse: I 1 UQ + UR 1 I 3 R 3 I 2 UR 3 R 2 UR 2 - I 1 = 1 A emg GET 1 R 1 0 = Bezugsknoten I 2 = 0, 5 A I 3 = 0, 5 A Vorgaben: UQ = 10 V R 1 = 5 R 2 = 10 R 3 = 10 (I 2 und I 3 berechnet wie I 1) UR 1 = I 1 • R 1 = 5 V UR 2 = I 2 • R 2 = 5 V UR 3 = I 3 • R 3 = 5 V = UR 2

Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4. 2. 1 Das Überlagerungsverfahren Die Berechnung von Strömen und Spannungen in einem linearen Netzwerk mit mehreren Quellen (Spannungsund/oder Stromquellen) kann dadurch vereinfacht werden, daß die Wirkung jeder Quelle für sich berechnet wird. Die Einzelwirkungen werden dann zur Gesamtwirkung überlagert. 8 Quellen deren Wirkung gerade nicht untersucht werden, werden durch ihre Innenwiderstände ersetzt: Ideale Spannungsquelle Ri = 0, emg ideale Stromquelle Ri = GET

Beispiel: 1 I 1 UQ 1 I 3 + Gesucht sind: die Zweigspannung U 3 und der Zweigstrom I 3! I 2 + UQ 2 1. Numerierung der Knoten - R 3 UR 3 R 1 R 2 UR 1 Masche 1 2. Numerierung der Zweige Zweigströme und Zweigspannungen eintragen 0 Masche 2 = Bezugsknoten Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1 = 5 , R 2 = 10 , R 3 = 10 , UQ 1 = UQ 2 = 10 V emg GET 3. Verknüpfung der Zweigspannungen und -ströme UR 1 = R 1 • I 1 UR 2 = R 2 • I 2 UR 3 = R 3 • I 3 Numerierung der Maschen 4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens

4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens 1. Schritt: Den Strom I 31 als Wirkung von UQ 1 berechnen, dabei ist UQ 2 = 0 1 I 11 UQ 1 I 21 Die Quelle UQ 2 wurde durch ihren Innenwiderstand Ri = 0 ersetzt! I 31 + - R 3 UR 31 R 2 UR 21 UR 11 emg GET Masche 1 0 Masche 2 = Bezugsknoten

1 I 11 UQ 1 + I 21 Masche 1: UR 31 + UR 11 -UQ 1 = 0 I 31 - Masche 2: UR 31 + UR 21 = 0 R 3 UR 31 R 1 Knotengleichung: I 11 + I 21 - I 31 = 0 R 2 Mit UR 21 UR 11 = I 11 R 1 UR 21 = I 21 R 2 Masche 1 Masche 2 0 = Bezugsknoten UR 31 = I 31 R 3 man erhält das lineare Gleichungssystem: emg GET I 11 + I 21 - I 31 =0 I 11 R 1 + I 31 R 3 = UQ 1 I 21 R 2 + I 31 R 3 = 0

Das lineare Gleichungssystem: I 11 + I 21 - I 31 =0 I 11 R 1 + I 31 R 3 = UQ 1 I 21 R 2 + I 31 R 3 = 0 1 1 -1 R 1 0 R 3 • 0 R 2 R 3 0 I 11 I 21 = UQ 1 0 I 31 Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1 = 5 , R 2 = 10 , R 3 = 10 , UQ 1 = UQ 2 = 10 V emg GET Matlab

1 1 -1 R 1 0 R 3 • 0 R 2 R 3 I 31 = 0 I 11 I 21 = UQ 1 0 I 31 Determinante [I 31] Determinante [K] 1 1 -1 D K = R 1 0 R 3 0 R 2 R 3 emg GET 1 1 0 D I 31 = R 1 0 UQ 1 0 R 2 0

Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1 = 5 , R 2 = 10 , R 3 = 10 , UQ 1 = UQ 2 = 10 V I 31 = emg GET DK= 1 1 -1 5 0 10 10 = - 200 2 D I 31= 1 1 0 5 0 10 V 0 10 0 = -100 V²/A D I 31 100 V² A² = = 2 DK -200 (V/A) 200 V² A = 0, 5 A

4. Anwendung des Überlagerungsverfahrens 2. Schritt: Den Strom I 32 als Wirkung von UQ 2 berechnen, dabei ist UQ 1 = 0 1 I 12 I 22 I 32 + UQ 2 R 3 UR 32 R 1 R 2 UR 22 UR 12 emg GET Masche 1 0 Masche 2 = Bezugsknoten Die Quelle UQ 1 wurde durch ihren Innenwiderstand Ri = 0 ersetzt!

1 I 12 Knotengleichung: I 12 + I 22 - I 32 = 0 I 22 I 32 + UQ 2 Masche 1: UR 12 + UR 32 = 0 - Masche 2: UR 32 + UR 22 - UQ 2 = 0 R 3 UR 32 R 1 UR 12 R 2 Mit UR 12 = I 12 R 1 Masche 2 UR 22 = I 22 R 2 0 = Bezugsknoten UR 32 = I 32 R 3 erhält man das lineare Gleichungssystem: I 12 + I 22 - I 32 =0 emg I 12 R 1 + I 32 R 3 = 0 GET I 22 R 2 + I 32 R 3 = UQ 2 UR 22

Das lineare Gleichungssystem: I 12 + I 22 - I 32 =0 I 12 R 1 + I 32 R 3 = 0 I 22 R 2 + I 32 R 3 = UQ 2 1 1 -1 R 1 0 R 3 • 0 R 2 R 3 0 I 12 I 22 = 0 UQ 2 I 32 Gesuchte Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1 = 5 , R 2 = 10 , R 3 = 10 , UQ 1 = UQ 2 = 10 V emg GET Matlab

1 1 -1 R 1 0 R 3 • 0 R 2 R 3 I 32 = 0 I 12 I 22 = 0 UQ 2 I 32 Determinante [I 32] Determinante [K] 1 1 -1 D K = R 1 0 R 3 0 R 2 R 3 emg GET 1 1 0 D I 32 = R 1 0 0 0 R 2 UQ 2

Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1 = 5 , R 2 = 10 , R 3 = 10 , UQ 1 = UQ 2 = 10 V I 32 = emg GET DK= 1 1 -1 5 0 10 10 = - 200 2 D I 32= 1 1 0 5 0 0 0 10 10 V = -50 V²/A D I 32 50 V² A² = = 2 DK -200 (V/A) 200 V² A -50 V = 0, 25 A

Überlagerung der Einzelwirkungen zur Gesamtwirkung: 1 I 1 UQ 1 I 2 I 3 + + UQ 2 - R 3 UR 3 R 1 R 2 UR 1 Masche 1 0 Masche 2 = Bezugsknoten I 3 = I 31 + I 32 = 0, 5 A + 0, 25 A = 0, 75 A emg GET

Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4. 2. 2 Die Berechnung von Ersatzzweipolen Wenn von einer beliebigen Schaltung aus linearen, aktiven und passiven Zweipolen nur die elektrischen Größen eines Zweiges von Interesse sind, dann wird das Netzwerk - bis auf den zu untersuchenden Zweig in einen linearen aktiven Zweipol umgewandelt, an den nur der zu untersuchende Zweig angeschlossen ist. Möglich ist die Umwandlung des Netzwerkes in eine: Ersatzspannungsquelle emg GET Ersatzstromquelle

Beispiel: Gegeben ist das folgende Netzwerk R 1 UQ + A I 5 R 2 U 5 Gesucht sind: die Spannung U 5 und der Strom I 5 R 3 B Das Netzwerk bestehend aus: R 4 der Spannungsquelle UQ und den Widerständen R 1 bis R 4 kann in eine Spannungs- oder Stromersatzquelle umgerechnet werden. Der Widerstand R 5 bildet den Lastwiderstand der Ersatzquelle. emg GET

Reale Schaltung R 1 + UQ A R 3 I 5 B R 5 R 2 U 5 R 4 Ersatzspannungsquelle A UQers + emg GET Last I 5 Riers R 5 UAB B U 5

Reale Schaltung R 1 + UQ R 3 I 5 A B R 5 R 2 U 5 R 4 Ersatzstromquelle IQers emg GET Last A + I 5 Riers R 5 UAB B U 5

R 1 UQ + A I 5 R 2 U 5 R 3 B Allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung einer R 4 Ersatzquelle bezüglich der betrachteten Anschlüsse: 1. Leerlaufspannung mit einem geeigneten Verfahren berechnen. 2. Innenwiderstand zwischen den betrachteten Anschlüssen berechnen, dabei Quellen beachten. emg 3. Probe mit Kurzschlußstrom. GET

Berechnung einer Ersatzspannungsquelle: U 1 R 1 UQ + U 3 R 3 UQers A U 2 R 2 U 4 R 1 U 1 = U Q R 1 + R 2 R 3 U 3 = U Q R 3 + R 4 emg GET B UQers = UQ UQers ist die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B UQers = U 3 - U 1 Die Widerstände R 1, R 2 und R 3, R 4 bilden je einen Spannungsteiler, aus dem sich U 1 und U 3 berechnen lassen: R 3 + R 4 R 1 + R 2

R 1 UQ Innenwiderstand zwischen den Klemmen A und B: R 3 + A B R 2 R 4 R 1 A B R 2 R 4 R 3 Die ideale Quelle UQ wird durch Ri = 0 ersetzt! Der Innenwiderstand Riers ergibt sich aus der Reihenschaltung von R 1//R 2 + R 3//R 4: emg GET Riers = R 1 • R 2 R 1 + R 2 R 3 • R 4 R 3 + R 4

Lösung: Ersatzspannungsquelle UQers + Last A I 5 Riers R 5 UAB B UQers = UQ Riers = emg GET R 3 + R 4 R 1 • R 2 R 1 + R 2 UQers I 5 = Riers + R 5 R 1 + R 2 R 3 • R 4 R 3 + R 4 UQers Ik = R iers U 5 = I 5 • R 5 Matlab

Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Viertel-Brücke Umess = UQ U 1 R 1 ±ΔR U 3 UQ + Umess A U 2 R 2 B U 4 R 4 Umess = -U 1 + U 3 emg GET R 3 R 3 + R 4 R 1±ΔR R 1 ±ΔR + R 2 Schaltungstechnisch und rechnerisch einfach, wenn alle Widerstände gleich groß sind. R±ΔR R Umess = UQ R + R R ±ΔR + R R±ΔR 2 R ±ΔR Umess = UQ R 2 R Umess = UQ 2 R 2 ±ΔR R 2 R 2±ΔR 2 R 4 R 2 ±ΔR 2 R Umess = UQ - (±ΔR) 4 R ± 2ΔR

Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Viertel-Brücke Umess = UQ - (±ΔR) 4 R ± 2ΔR Näherung Umess = UQ - (±ΔR) 4 R · 1 1± Spannung in der Messdiagonale als Funktion der Verstimmung bei R 1 ΔR 2 R Korrekturfaktor Umess = UQ · Näherung · Korrekturfaktor emg GET

Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Halb-Brücke Umess = UQ U 1 R 1 +ΔR U 3 UQ + A Umess U 2 R 2 -ΔR U 4 R 3 + R 4 R 3 Schaltungstechnisch und rechnerisch einfach, wenn alle Widerstände gleich B groß sind. R R+ΔR Umess = UQ R + R R +ΔR + R -ΔR R 4 Umess = UQ R 2 R Umess = -U 1 + U 3 emg GET R 1 + R 2 Umess = UQ ΔR 2 R R+ΔR 2 R

Die Wheatstone‘sche Brückenschaltung: Messaufnehmer in Voll-Brücke Umess = UQ U 1 R 1 +ΔR U 3 UQ + A Umess U 2 R 2 -ΔR emg GET R 1 + R 2 R 3 -ΔR B Schaltungstechnisch und rechnerisch einfach, wenn alle Widerstände gleich groß sind. U 4 R 4 +ΔR Umess = -U 1 + U 3 R 3 + R 4 Umess= UQ R -ΔR R-ΔR+ R+ΔR Umess = UQ R-ΔR- R 2 R Umess = UQ ΔR R R+ΔR+R-ΔR - ΔR

Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4. 2. 3 Das Maschenanalyseverfahren Der Vorteil des Maschenanalyseverfahrens liegt darin, daß an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur m Gleichungen (für die Anzahl der Maschen) aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. emg GET

Gegeben ist das Netzwerk mit den Quellen und Widerständen: UQ 3 U 3 R 3 I 3 U 2 3 U 5 R 2 1 R 1 emg GET I 1 U 4 UQ 1 I 5 I 6 2 I 2 U 1 Gesucht sind: die Spannungen U 1 bis U 6 und die Ströme I 1 bis I 6. R 4 U 6 I 4 0 Bezugsknoten 1. Schritt: Knoten numerieren 2. Schritt: Zweige numerieren Zweigspannungen und Zweigströme eintragen R 6 Unter Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze sind: k-1 Knotengleichungen und m Maschengleichungen aufzustellen: k=4 z=6 m = z - (k-1) = 3

3. Schritt: Verknüpfung der Zweigspannungen und Zweig. UQ 3 ströme über das Ohmsche Gesetz: 3 U 3 R 3 I 3 U 2 U 5 R 2 1 U 1 R 1 emg GET I 1 U 4 UQ 1 I 5 I 6 2 I 2 R 4 Uz 1 = I 1 R 1 - UQ 1 U 6 I 4 0 Bezugsknoten Uz 3 = I 3 R 3 + UQ 3 R 6 U 1 = I 1 R 1 U 2 = I 2 R 2 U 3 = I 3 R 3 U 4 = I 4 R 4 U 5 = I 5 R 5 U 6 = I 6 R 6

4. Schritt: Einführung von Maschenströmen Betrachtung des Knotens 1: SI = 0 = I 1 - I 2 - I 3 UQ 3 R 3 3 M 2 I 3 R 5 R 2 1 emg GET I 1 M 1 UQ 1 I 5 I 6 2 M 3 I 2 R 1 Sind z. B. I 1 und I 3 bekannt (durch Messung), dann ist I 2 durch die Knotengleichung eindeutig bestimmt. R 4 I 4 0 Bezugsknoten R 6 Man kann I 1 und I 3 als unabhängig und I 2 als von I 1 und I 3 abhängig bezeichnen. Es erscheint daher sinnvoll, I 2 in den Gleichungen nicht mehr mitzuführen, sondern vornherein durch I 1 und I 3 darzustellen.

4. Schritt: Einführung von Maschenströmen Betrachtung des Knotens 0: SI = 0 = - I 1 - I 4 - I 6 UQ 3 R 3 3 M 2 I 3 R 5 R 2 1 emg GET I 1 M 1 UQ 1 I 5 I 6 2 M 3 I 2 R 1 Wird neben I 1 und I 3 auch I 6 als weiterer unabhängiger Strom gewählt, dann ist I 4 eindeutig bestimmt. R 4 I 4 0 Bezugsknoten R 6 Die als unabhängig bezeichneten Ströme I 1 , I 3 und I 6 fließen in den geschlossenen Stromschleifen der Maschen. Strom über Knoten I 1 I 3 I 6 0 1 2 0 1 3 2 1 0 3 2 0 IM 1 IM 2 IM 3

UQ 3 U 3 R 3 IM 2 U 2 4. Schritt: Einführung von Maschenströmen 3 IM 3 U 5 R 2 1 R 1 emg GET I 1 IM 1 UQ 1 I 5 I 6 2 I 2 U 1 Zusammenhang zwischen den Zweigströmen und den Maschenströmen: U 4 R 4 U 6 I 4 0 Bezugsknoten R 6 I 1 = IM 1 I 2 = IM 1 - IM 2 I 3 = IM 2 I 4 = -IM 1 - IM 3 I 5 = -IM 2 - IM 3 I 6 = IM 3

Aufstellung der Maschengleichungen: Zweigspannungen U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 Masche 1: U 1+ U 2 Masche 2: Masche 3: -U 2 +U 3 -U 4 Quellen UQ = UQ 1 -U 5 -U 4 -U 5 +U 6 = -UQ 3 =0 Spannungen durch Maschenströme ausdrücken: U 1 = I 1 R 1 = IM 1 R 1 U 2 = I 2 R 2 = IM 1 R 2 - IM 2 R 2 emg U 4 = I 4 R 4 = -IM 1 R 4 - IM 3 R 4 GET

Bestimmungsgleichung für die Maschenströme: Zweigspannungen U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 Quellen UQ Masche 1: IM 1(R 1 + R 2 + R 4) - IM 2 R 2 + IM 3 R 4 = UQ 1 Masche 2: -IM 1 R 2 + IM 2(R 2 + R 3 + R 5) +IM 3 R 5 = -UQ 3 Masche 3: IM 1 R 4 + IM 2 R 5 + IM 3(R 4 + R 5 + R 6) = 0 emg GET

(R 1 + R 2 + R 4) -R 2 +(R 2 + R 3 + R 5) R 4 +R 5 +R 4 UQ 1 +R 5 IM 2 = -UQ 3 +(R 4 + R 5 + R 6) Koeffizientenmatrix der Zweigwiderstände IM 1 IM 3 Spaltenmatrix der unbekannten Maschenströme 0 Spaltenmatrix der bekannten Quellen Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: emg GET

1. Die Widerstandsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv. 2. Jede Zeile der Widerstandsmatrix beschreibt eine Masche und ihre Kopplung zu den anderen Maschen. 3. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Widerstände in der Masche gebildet. 4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Widerstände, über die Maschen miteinander gekoppelt sind. Fließen die Maschenströme in gleicher Richtung durch den/die Kopplungswiderstände, dann ist das Vorzeichen des Matrixelementes positiv. 5. Die Quellenspannungen in der Spaltenmatrix der rechten Seite des Gleichungssystems sind mit einem negativen Vorzeichen einzusetzen, wenn der Zählpfeil der emg. Spannungsquelle in Richtung des Maschenstromes zeigt. GET

Lösungsalgorithmus für das Maschenanalyseverfahren: 1. Jeder Masche wird ein unabhängiger Maschenstrom zugeordnet. Die Richtung des Maschenstromes ist beliebig wählbar, die angenommene Zählrichtung gilt als positiv. Die Maschenwahl ist zweckmäßig so zu treffen, daß durch den besonders interessierenden Zweig nur ein Maschenstrom fließt. 2. Aufstellung der Beziehungen zwischen den Maschen- und Zweigströmen. 3. Aufstellung der Maschengleichungen. 4. Verknüpfung der Zweigspannungen und der Maschenströme. 5. Lösung des Gleichungssystems für die Maschenströme. 6. Berechnung der Zweigströme aus den Maschenströmen emg nach Punkt 2. Berechnung der Zweigspannungen nach Punkt 4. GET

Vorteile des Maschenanalyseverfahrens gegenüber der Netzwerkanalyse nur mit Kirchhoffschen Regeln: An Stelle von z Gleichungen für die z Zweige eines Netzwerkes werden nur m Gleichungen für die Anzahl der m Maschen aufgestellt und gelöst. So werden k-1 Gleichungen eingespart! Wichtig: Die Anzahl der Maschen muß richtig gewählt werden m = z -(k-1) emg GET

UQ 3 R 3 M 1 Falsche Maschenwahl! R 5 R 2 R 1 emg GET R 6 R 4 UQ 1 M 2

Bei der Wahl von zu wenigen Maschen m < z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das zwar lösbar ist, dessen Ergebnisse aber physikalisch falsch sind! Bei der Wahl von zu vielen Maschen m > z -(k - 1) erhält man ein Gleichungssystem, das u. U. nicht mehr linear ist und unbestimmt sein kann! emg GET

(R 1 + R 2 + R 4) -R 2 +(R 2 + R 3 + R 5) R 4 +R 5 +R 4 +R 5 IM 2 = -UQ 3 +(R 4 + R 5 + R 6) Koeffizientenmatrix der Zweigwiderstände UQ 1 IM 1 0 IM 3 Spaltenmatrix der unbekannten der bekannten Maschenströme Quellen Lösung mit folgenden Zahlenwerten: R 1, R 3, R 4, R 5, = 1 kΩ, R 2 = 10 kΩ, R 6 = 5 kΩ UQ 1 = 10 V, UQ 3 = 20 V UQ 3 R 3 emg GET Matlab R 5 R 2 R 1 UQ 1 R 6 R 4

Die verschiedenen Verfahren der Netzwerkanalyse: 4. 2. 4 Das Knotenpotentialverfahren Der Vorteil des Knotenpotentialverfahrens liegt darin, daß an Stelle von z Gleichungen (für die Anzahl der Zweige) nur k-1 Knotengleichungen aufgestellt und gelöst werden müssen. Dadurch wird der Rechenaufwand für die Lösung des linearen Gleichungssystems erheblich verringert. emg GET

R 4 R 5 R 2 R 3 R 1 In einer Schaltung läßt sich jedem Knotenpunkt ein Potential - das Knotenpotential zuordnen. R 6 IQ 6 UQ 1 0 emg GET = Bezugsknoten Dafür wird ein Knoten als Bezugsknoten ausgewählt, dem ein willkürlich festgelegtes Bezugspotential zugeordnet wird.

R 4 R 5 R 2 R 3 R 1 R 6 IQ 6 UQ 1 0 emg GET = Bezugsknoten: Bezugspotential In der Praxis wird das Bezugspotential 0 meistens zu 0 = 0 Volt gewählt. 0 = 0 Volt

Die Spannung zwischen einem beliebigen Knoten des Netzwerkes und dem Bezugsknoten ist die Differenz der Potentiale beider Knoten. Diese Potentialdifferenz wird als Knotenspannung bezeichnet. R 4 U 10 = 1 - 0 2 2 1 1 U 20 U 10 U 20 = 2 - 0 R 5 R 2 R 1 3 3 R 3 U 30 R 6 U 30 = 3 - 0 IQ 6 UQ 1 emg GET 0 = Bezugsknoten : Bezugspotential 0 = 0 Volt

Anwendung des Knotenpotentialverfahrens: R 4 2 2 1 1 R 5 R 2 R 3 R 1 emg GET 3 3 Gesucht sind: die Ströme I 1 bis I 6 und die Spannungen U 1 bis U 6 R 6 IQ 6 UQ 1 0 0 1. Schritt: Numerierung der Knoten von 0 bis k-1. Der Bezugsknoten, dem das Bezugspotential '0 Volt' zugeordnet wird, sollte die Knotennummer 0 erhalten.

R 4 I 4 1 I 2 2 R 5 R 2 I 1 R 3 U 1 UZ 1 2. Schritt: UQ 1 I 3 3 I 5 U 5 I 6 U 2 R 1 emg GET U 4 R 6 U 3 IQ 6 U 6 0 0 Numerierung der Zweige von 1 bis z. Für jede Zweigspannung und jeden Zweigstrom wird ein Bezugspfeil in die Schaltung eingetragen (Index = Zweignummer).

R 4 1 2 U 20 U 10 UQ 1 3 R 5 R 2 R 1 U 10 = 1 - 0 R 3 U 30 R 6 U 20 = 2 - 0 U 30 = 3 - 0 IQ 6 0 0 3. Schritt: Eintragen der Knotenspannungen. Von jedem Knoten wird ein Spannungspfeil zum Bezugsknoten eingetragen. Die Knotenspannungen erhalten im Gegensatz zu emg den Zweigspannungen einen Doppelindex GET (1. Index = Ausgangsknoten, 2. Index = Bezugsknoten).

4. Schritt: Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. U 1 = U 10 U 2 = U 10 - U 20 U 3 = U 20 U 4 = U 10 - U 30 U 5 = U 20 - U 30 U 6 = U 30 emg GET

5. Schritt: Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. Damit ist UQ 1 in eine Stromquelle umgewandelt worden I 1 = U 1 /R 1 - UQ 1 /R 1 = G 1 U 1 - IQ 1 = G 1 U 10 - IQ 1 I 2 = U 2 /R 2 = G 2 U 2 = G 2 (U 10 - U 20) I 3 = U 3 /R 3 = G 3 U 20 I 4 = U 4 /R 4 = G 4 U 4 = G 4 (U 10 - U 30) I 5 = U 5 /R 5 = G 5 U 5 = G 5 (U 20 - U 30) I 6 = G 6 U 6 + IQ 6 emg GET = G 6 U 30 + IQ 6

6. Schritt: Aufstellung der k-1 Knotengleichungen und Lösung des linearen Gleichungssystems. (G 1 + G 2 + G 4) -G 2 +(G 2 + G 3 + G 5) -G 4 -G 5 -G 4 IQ 1 -G 5 U 20 = 0 +(G 4 + G 5 + G 6) Koeffizientenmatrix der Zweigleitwerte U 10 U 30 Spaltenmatrix der bekannten Quellen -IQ 6 Spaltenmatrix der unbekannten Knotenspannungen Aus der Struktur der Koeffizientenmatrix lassen sich folgende allgemeingültige Eigenschaften bzw. Regeln für die Aufstellung dieser Matrix ablesen: emg GET

1. Die Leitwertmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen. Alle Elemente der Hauptdiagonalen sind positiv, alle anderen Elemente sind negativ. 2. Jede Zeile der Leitwertmatrix beschreibt die Schaltungsstruktur in der Umgebungs eines Knotens. 3. Jedes Hauptdiagonalelement wird aus der Summe der Leitwerte gebildet, die mit einem Pol am zugehörigen Knoten liegen. emg GET

4. Die weiteren Elemente einer Zeile enthalten diejenigen Leitwerte, die vom betrachteten Knoten zum jeweiligen Nachbarknoten führen. 5. Die Summe der Elemente einer Zeile ist Null, wenn kein Zweig vom betrachteten Knoten zum Bezugsknoten führt. Besteht ein Zweig zum Bezugsknoten, so ist sein Leitwert gleich dieser Summe. 6. Die Elemente der Spaltenmatrix auf der rechten Seite des Gleichungssystems werden von den Quellenströmen gebildet. Fließt in den betrachteten Knoten ein Strom hinein, so wird er positiv gezählt. Ein aus dem Knoten herausfließender Strom erhält ein negatives Vorzeichen. emg GET

Lösungsalgorithmus für das Knotenpotentialverfahren 1. Wählen eines Bezugsknotens, dem das Bezugspotential zugeordnet wird. 2. Festlegung der Knotenspannungen. 3. Zweigspannungen durch Knotenspannungen ausdrücken. 4. Zweigströme durch Knotenspannungen und Widerstände bzw. Leitwerte ausdrücken. 5. Aufstellung der k-1 Knotengleichungen und Lösung des Gleichungssystems für die Knotenspannungen. 6. Berechnung der Zweigsspannungen nach Punkt 3. Berechnung der Zweigströme nach Punkt 4. emg GET

4. 2. 5 Gesteuerte Quellen Gesteuerte Spannungs- und Stromquellen werden in aktiven Netzwerken eingesetzt, um Eingangskreise und Ausgangskreise für eine einfachere Berechnung zu trennen. Beispiel: Schaltungssymbol und Ersatzschaltung eines Transistors Basis B E RBB‘ IB emg GET C UBE Emitter UB‘E B IB Collector GCE UCE

Collector Basis RBB‘ IB UBE UB‘E B IB GCE UCE Emitter Dieses Beispiel eines stromverstärkenden Transistors entspricht einer stromgesteuerten Stromquelle. emg GET

Allgemeine Darstellung eines Vierpols I 1 U 1 I 2 Vierpol U 2 Es wird eine positive Zählpfeilrichtung für den Strom angenommen, die auf der Eingangs- und auf der Ausgangsseite in den Vierpol hinein zeigt. Dies muß nicht mit den real fließenden Strömen übereinstimmen! emg GET

Stromgesteuerte Stromquelle I 1 I 2 R 1 U 1 v I 1 G 2 v = Stromverstärkung emg GET U 2

Spannungsgesteuerte Spannungsquelle I 2 I 1 R 2 U 1 R 1 v U 1 v = Spannungsverstärkung emg GET U 2

Spannungsgesteuerte Stromquelle I 1 U 1 I 2 R 1 S U 1 G 2 S = Steilheit mit der Dimension [m. A/v] Beispiel: S = 10 m. A/V emg GET pro Volt Steuerspannung U 1 fließt in der Stromquelle ein Strom von 10 m. A U 2

Stromgesteuerte Spannungsquelle I 2 I 1 R 2 R 1 U 1 z I 1 U 2 z = Steuerfaktor mit der Dimension [V/m. A] emg GET Beispiel: z = 1 V/m. A pro m. A Steuerstrom I 1 entsteht in der Spannungsquelle eine Spannung von 1 V

Beispiel für eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle Der ideale Operationsverstärker Der Operationsverstärker mit Beschaltung als invertierender Verstärker emg GET

Der ideale Operationsverstärker +15 V + Ud Ua = v Ud Verstärkung v - Up emg GET Un -15 V 0 V (GND) Ua

Der ideale Operationsverstärker Differenzeingangswiderstand Rd +15 V + Ausgangswiderstand der Quelle Ria Ua = v Ud Ud Up emg GET Un -15 V 0 V (GND) Ua

Der Operationsverstärker mit Beschaltung als invertierender Verstärker I 2 I 1 I- R 1 R 2 Ud + Ua Ue emg GET Un Up 0 V (GND)