YNEYLEM ARATIRMASI ULATIRMA MODELLER Prof Dr Birol ELEVL

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI ULAŞTIRMA MODELLERİ Prof. Dr. Birol ELEVLİ

Ulaştırma Modeli DP’nın özel bir şeklidir. Bu modelde; Ø Ø Ø Malların kaynaklardan (fabrika, vs. . ) hedeflere (depo, dağıtım merkezi, vs. ) taşınmasıyla ilgilidir. Amaç, hedefin talebi ile kaynakların arz miktarını dengelemek ve yapılan taşımaların toplam maliyetini en küçüklemedir (Minimizasyon) Model taşıma yanında stok kontrol, işgücü programlama ve personel atama gibi alanlarda da kullanılabilir

Ulaştırma Modeli Genel Hali GÖNDEREN TALEP EDEN a 1 1 a 2 am c 11: x 11 2 n m cmn: xmn Cij: Taşıma maliyeti Xij: i kaynağından j hedefe giden miktar b 1 b 2 bn

Ulaştırma Problemi Modelleme Bir elektrik üretim firmasının dört şehrin elektriğini sağlayan üç elektrik santrali vardır. Ø Her santralin üretimi ve şehirlerin elektrik talebi Tablo da verilmiştir. Ø 1 million kwh elektriği bir santralden bir şehre yollama maliyeti elektriğin ulaşacağı mesafeye bağlıdır. Ø Nakliye problemi, arz ve talep olarak modellendiği için tüm veriler ulaştırma tablosu olarak gösterilir Ø

Ulaştırma Tablosu Santral Hedef (Maliyetler TL) Şehir 1 Şehir 2 Şehir 3 Şehir 4 Arz(Million kwh) Santral 1 8 6 10 9 35 Santral 2 Santral 3 Talep (Million kwh) 9 14 45 12 9 20 13 16 30 7 5 30 50 40 l Karar değişkeni xij ; i’de üretilip j’ye giden elektrik

Amaç toplam maliyeti minimize etmek Min Z = 8 X 11+6 X 12+10 X 13+9 X 14+9 X 21+12 X 22+13 X 23+7 X 24+14 X 31+9 X 32+16 X 33+5 X 34 Kısıtlar X 11+X 12+X 13+X 14 <= 35 X 21+X 22+X 23+X 24 <= 50 X 31+X 32+X 33+X 34 <= 40 arz kısıtları X 11+X 21+X 31 >= 45 X 12+X 22+X 32 >= 20 X 13+X 23+X 33 >= 30 X 14+X 24+X 34 >= 30 talep kısıtları Xij >= 0 (i= 1, 2, 3; j= 1, 2, 3, 4)

Ulaştırma Problemi Genel Hali m adet arz noktası vardır. Arz noktası i , en fazla si birim sağlar. Ø n adet talep noktası vardır. Talep noktası j ‘ye en az dj birim ürün yollanmalıdır. Ø Arz noktası i’de üretilen ürünün talep noktası j’ye gönderme maliyeti cij’dir. Ø

Ulaştırma Problemi Genel Hali l Buna göre genel model aşağıdaki gibidir

Dengelenmiş Ulaştırma Problemi l Eğer arz ile talep eşitlenmiş ise dengelenmiş ulaştırma problemi oluşur Eğer arz talepten fazla ise, dummy(aptal) talep noktası eklenerek problem dengelenir ve maliyet sıfırdır. l Eğer talep arz’dan fazla ise problemin mümkün çözümü yoktur, Karşılanmayan talep için ceza maliyeti oluşturularak toplam penaltı minimize edilir l

UP Çözümü l Diğer DP problemlerine göre m+n adet kısıt olmasına rağmen dengelenmiş ulaştırma problemini çözmek kolaydır. Bunun sebebi de bir karar değişkeni kısıtları sağlarsa, diğer değişkenlerde geriye kalan kısıtları otomatik olarak sağlar.

UP Başlangıç Çözüm Yöntemleri Başlangıç çözümü için üç ana metot vardır; 1. 2. 3. Kuzey-Batı Köşe metodu En Düşük Maliyet metodu VOGEL metodu

Kuzey-Batı Köşe Metodu Yöntem, tablonun X 11 değişkeninin olduğu kutuda başlar. 1. adım: Seçilen kutuya mümkün oldukça çok atama yap ve miktarı arz ve talepten çıkar 2. adım: Tekrar atama yapmamak için sıfır arz veya talebe ulaşan satır, yada sütunu iptal et. Hem satır hemd e sütun ikisi birden sıfır olmuşsa birini seç, diğerini de dikkate alma. 3. adım: İptal edilmeyen sadece bir satır veya sütun kaldığında dur. Aksi durumda, önceki işlemde sütun iptal edilmişse sağ kutuya, satır iptal edilmişse bir aşağıdaki kutuya gidip, 1. adıma dön.

Örnek: Kuzey-Batı Köşe Bir taşıma şirketi 3 silodan 4 işleme noktasına ürün taşımaktadır. İşlem Merkezi 1 2 3 SİLO 10 1 5 2 2 Talep 20 Arz 11 15 10 12 7 5 4 3 4 9 20 15 14 5 16 18 10 5 15 15 15 -5 -10=0 25 10 15 Toplam Maliyet = 5 x 10+10 x 2+5 x 7+15 x 9+5 x 20+10 x 18 = 520

Minimum Maliyet En ucuz rota üzerinde yoğunlaştığı için daha iyi bir başlangıç çözümü bulmaktadır. l Kuzey-Batı köşe yerine burada amaç en düşük birim maliyetli kutuya mümkün oldukça çok atama yapmaktır. l Arz ve talep miktarlarına göre atamamlanan satır veya sütun iptal edilir, l İptal edilmemiş satır veya sütunlarda tekrar en düşük maliyetli kutuya atama yapılır ve işlemler bu şekilde tekrarlanır. l

Örnek: En düşük maliyetler Bir taşıma şirketi 3 silodan 4 işleme noktasına ürün taşımaktadır. İşlem Merkezi 1 2 3 SİLO 10 1 2 2 14 20 25 10 16 5 5 15 9 15 3 11 0 7 4 Arz 20 15 12 Talep 4 18 5 15 15 10 15 Toplam Maliyet = 15 x 2+5 x 4+15 x 9+5 x 18+10 x 20 = 475 15

VOGEL Yöntemi En düşük maliyetler yönteminin iyileştirilmiş halidir 1. adım: Satırdaki ve sütundaki en küçük iki maliyetin farkını alarak ceza belirler, 2. adım: En büyük cezaya sahip satır yada sütunu bul. Bu satır veya sütundaki en düşük maliyetli kutuya mümkün oldukça çok atama yap. Sıfırlanan satır veya sütunu iptal et. (her ikisi sıfır ise sadece birini iptal et). Birden fazla satır ve sütun var ise 1. adıma git. 3. adım: a) iptal edilmemiş arz yada talebe sahip tam bir satır(sütun) kalmışsa dur. b) İptal edilmemiş pozitif arzlı(talepli) bir satır(sütun) kalmışsa en düşük maliyetler yöntemiyle satırdaki temel değişkeni belirle ve dur c) iptal edilmemiş satır ve sütunların tümü sıfır arz ve talebe sahipse, en düşük maliyetler yöntemiyle sıfır temel değişkenleri belirle ve dur

Örnek: En düşük maliyetler Bir taşıma şirketi 3 silodan 4 işleme noktasına ürün taşımaktadır. İşlem Merkezi 1 10 SİLO 1 2 3 Talep Sütun ceza 2 5 3 2 Arz 4 20 11 12 7 9 20 4 14 16 18 5 10 -4=6 15 15 15 7 -2=5 16 -9=7 18 -11=7 En büyük ceza 3. satırdadır. 5 birim talep atanır 15 Satır ceza 10 -2=8 25 9 -7=2 10 14 -4=10 17

Örnek: En düşük maliyetler Bir taşıma şirketi 3 silodan 4 işleme noktasına ürün taşımaktadır. İşlem Merkezi 1 2 10 SİLO 1 Talep Sütun ceza 2 Arz 4 20 11 15 2 3 3 5 5 - 12 7 9 20 4 14 16 18 15 15 15 7 -2=5 16 -9=7 18 -11=7 En büyük ceza 1. satırdadır. 15 birim talep atanır 15 Satır ceza 11 -2=9 25 9 -7=2 10 5 16 -14=2 18

Örnek: En düşük maliyetler Bir taşıma şirketi 3 silodan 4 işleme noktasına ürün taşımaktadır. İşlem Merkezi 1 2 10 SİLO 1 Talep Sütun ceza 2 Arz 4 20 11 15 12 2 3 3 7 9 20 16 18 15 4 5 5 - 14 15 15 15 - 16 -9=7 20 -18=2 En büyük ceza 2. satırdadır. 15 birim talep atanır 15 Satır ceza 5 - 25 20 -9=11 10 5 18 -16=2 19

Örnek: En düşük maliyetler Bir taşıma şirketi 3 silodan 4 işleme noktasına ürün taşımaktadır. İşlem Merkezi 1 SİLO Arz 4 2 20 11 7 9 20 15 12 2 Talep 3 10 1 3 2 15 5 5 4 14 15 16 15 10 18 5 15 25 10 10 5 15 Pozitif arzlı satır ve iptal edilmemiş bir sütun var. Minimum maliyet yaklaşımına göre önce 5 birim, sonrada 10 birim atama yapılır. Toplam Maliyet = 5 x 4+15 x 2+15 x 9+5 x 18+10 x 20 = 475 20

Optimizasyon için Ulaştırma Problemi İkizi l Buna göre genel model aşağıdaki gibidir

UP simpleks algoritması MODI (Modified distribution method) Başlangıç çözümü belirlendikten sonra optimum çözüm için aşağıdaki adımlar uygulanır Adım 1: Temel değişkenlr için, ui+vj = cij bağıntısını kullanarak ikiz değişkenler (ui ve vj )’nin değerini hesapla (ui arz için vj talep için ikiz değişken). Herhangi bir temel değişken için ui=0 alınır. Adım 2: (dij=cij - ui+vj ) bağıntısını kullanarak temel olmayan değişkenler için fırsat maliyetlerini hesapla Adım 3: Her fırsat maliyetinin işaretini optimumluk için kontrol et. l l Eğer tüm dij <= 0 ise mevcut çözüm optimum. Eğer en az bir dij > 0 ise , en büyük pozitif fırsat maliyetli kutuyu seç. Bu kutu bir sonraki çözüme dahil edilecektir.

UP simpleks algoritması Adım 4. Seçilen kutudan başlayarak sağa dönerek kapalı bir yörünge çiz. Sadece en uçtaki atama yapılmış kutulardan sağa dönüş yapılabilir. Adım 5. Başlangıç kutusuna (+) işarete atayarak sırayla atama yapılmış kutulara (-) ve (+) işareti ata. Adım 6. (-) atama yapılan kutulardan en küçük değerli atama değerini seçilen kutuya ata. Sonra bu değeri (+) atanan kutular ekle, (-) atanan kutulardan çıkar. Bu kutular köşe noktalarıdır. Bu şekilde atama yapılmayan kutuya atama yapılmış olur. Adım 7. 1. adıma geri dön

l Temel Değiş. X 11 X 12 X 23 X 24 X 34 (u, v) denk. u 1+v 1=10 u 1+v 2=2 u 2+v 2=7 u 2+v 3=9 u 2+v 4=20 u 3+v 4=18 Çözüm (u, v) u 1=0 ->v 1=10 u 1=0 ->v 2=2 ->u 2=5 ->v 3=4 u 2=5 ->v 4=15 ->u 3=3 Simpleks yöntem için ui+vj = cij denklemi kullanılır ve başlangıç için u 1=0 alınır Temel Olmayan X 13 X 14 X 21 X 32 X 33 ui+vj - cij u 1+v 3 – c 13=0+4 -20 =-16 u 1+v 4 – c 14=0+15 -11 = 4 u 2+v 1– c 21=5+10 -12 = 3 u 3+v 1 – c 31=3+10 -4 =9 u 3+v 2 – c 32=0+4 -14 =-9 u 3+v 3 – c 33=3+4 -16 =-9

İşlem Merkezi 1 2 3 10 SİLO 1 2 5 3 20 Arz u 15 0 25 5 10 3 11 10 -16 4 7 9 20 12 2 4 3 5 15 5 4 14 16 18 9 -9 -9 10 Talep 5 15 15 15 v 10 2 4 15

Başlangıç kutusuna (+) konup sonra (-) ve (+) olarak devam edilir l (-) değer alan kutulardaki en küçük değer başlangıç kutusuna atanır ve diğer kutularda işarete göre işlem yapılır l 1 1 2 10 - 2 3 + 2 + 5 12 3 4 20 -16 4 7 9 20 3 5 15 4 14 16 9 -9 -9 u 15 0 25 5 10 3 11 10 - Arz + 5 - 18 10 Talep 5 15 15 15 v 10 2 4 15

Başlangıç kutusuna (+) konup sonra (-) ve (+) olarak devam edilir l (-) değer alan kutulardaki en küçük değer (5)başlangıç kutusuna atanır ve diğer kutularda işarete göre işlem yapılır l 1 1 2 10 - + 5 -5 12 2 3 + 5 - 3 2 4 20 -16 4 7 9 20 3 15 4 14 16 9 -9 -9 u 15 0 25 5 10 3 11 10+ 5 55 Arz + 5+5 - 18 105 Talep 5 15 15 15 v 10 2 4 15 27

Başlangıç kutusuna (+) konup sonra (-) ve (+) olarak devam edilir l (-) değer alan kutulardaki en küçük değer (5)başlangıç kutusuna atanır ve diğer kutularda işarete göre işlem yapılır l 1 1 2 10 - 2 + 0 15 12 2 3 3 + 5 4 20 4 9 20 3 0 15 4 14 16 9 -9 -9 u 15 0 25 5 10 3 11 -16 7 - Arz + 10 - 18 5 Talep 5 15 15 15 v 10 2 4 15 28

1 1 2 3 Tale p v 2 10 0 12 4 3 4 2 20 11 7 9 20 15 14 15 16 5 5 15 15 10 5 Ar z 15 25 18 10 15 u Temel Değiş. X 12 X 23 X 24 X 31 X 34 Temel Olmayan X 11 X 13 X 14 X 21 X 22 X 33 (u, v) denk. u 1+v 2=2 u 2+v 3=9 u 2+v 4=20 u 3+v 1=4 u 3+v 4=18 Çözüm (u, v) u 1=0 ->v 2=2 u 2=5 ->v 3=4 u 2=5 ->v 4=15 v 1=1 ->u 3=3 v 4=15 ->u 3=3 ui+vj - cij u 1+v 1 – c 11=0+1 -9 =-9 u 1+v 3 – c 13=0+4 -20=-16 u 1+v 4 – c 14=0+15 -11 = 4 u 2+v 1– c 21=5+1 -12 = -6 u 2+v 2 – c 22=5+2 -7 =0 u 3+v 2 – c 32=3+2 -14 =-9 u 3+v 3 – c 33=3+4 -16 =-9 29

1 1 2 3 2 10 0 4 2 20 11 7 9 20 15 12 4 3 14 15 16 5 Ar z u 15 0 25 5 18 10 3 10 5 Tale p 5 15 15 15 v 1 2 4 15

1 2 10 1 -9 12 2 3 -6 - 3 2 15 10 + 20 -16 7 0+1 0 4 4 9 15 + 11 10 u 15 0 25 5 10 3 4 20 - 10 -10 14 16 18 -9 -9 5 5 Arz Talep 5 15 15 15 v 1 2 4 15 31

l 1 2 10 1 -13 12 2 3 -6 3 2 5 20 -16 7 + 10 4 4 9 15 + 11 u 15 0 10 20 0 14 16 18 -5 -5 5 5 Arz Talep 5 15 15 15 v 3 2 4 11 25 5 10 7 Pozitif değerli temel olmayan değişken kalmadığı için mevcut durum optimumdur 1 2 ye 5 birim 1 4 e 10 birim 2 2 ye 10 birim 2 3 e 15 birim 3 1 e 5 birim 3 4 e 5 birim l Optimum mal= 435 32

ATAMA MODELİ Ulaştırma modeline benzeyip, Doğrusal programlamanın özel bir halidir. İşçilerin uygun işe atanması ile alakalıdır Beceri düzeyi farklı olsa bile her işçi her işe atanabilmelidir. Herhangi bir işteki işçinin ustalık maliyeti ondan daha usta olan işçinin maliyetinden az olmalıdır. Atama modelinde işçiler kaynak, işlerde hedef olarak tanımlanır. Her kaynaktaki arz miktarı ile hedefteki talep bir (1) olmalıdır. Bu yüzden atama problemleri Macar Yöntemi denilen yöntem ile çözülürler

Macar Yöntemi - Örnek l Ahmet bey’in Ali, Hasan ve Sema adına üç çocuğu var. Çocuklara ek gelir için baba üç iş önermiştir: Çim biçme, evin garajın boyanması ve arabanın yıkanması. Ahmet rekabeti önlemek için her çocuğa gizlice hangi işten kaç para kazanmayı düşündüğünü sorar. Çocukların istediği ücret aşağıdadır: Çocuklar l Buna Ali Hasan Sema göre Ahmet Çim Kesme bey 15 9 10 işleri Garaj Boyama nasıl Araba Yıkama 10 15 12 dağıtmalıdır? 9 10 8

Macar Yöntemi ile Çözüm Adım 1: Orijinal maliyet matrisinde her satırın minimumunu bul ve tüm satır elemanlarından bunu çıkar, Adım 2: Adım 1’de elde edilen matrisin her sütununun minimumunu bul ve bunu sütundaki tüm elemanlardan çıkar Adım 3: Adım 2’deki matriste ortaya çıkan sıfır elemana ilgili optimum atamayı yap Tablolarda altı çizili sıfır değerleri optimum atamadır. Çocuk Çim Kesme Ali Hasan Sema Çocuk Ali Hasan Sema Süt Min Garaj Boyama Araba Yıkama 10 15 12 9 10 8 15 9 10 Çim Kesme Satır min p 1=9 p 2=9 p 3=8 Garaj Boyama Araba Yıkama 6 0 2 1 6 4 0 1 0 q 1=0 q 2=1 q 3=0 Garaj Boyama Araba Yıkama 6 0 2 0 6 4 0 1 0 q 1=0 q 2=1 q 3=0 Çim Kesme

TAŞIMA MODELİ Taşıma modelinde, nihai hedefe ulaşmadan önceki orta yada geçiş düğümlerindeki taşımanın gerçekte daha ucuz olacağı kabul edilmektedir. Bu modelde ulaştırma modeline ara aktarma noktaları eklenmiştir. Bu model normal ulaştırma modelinden bir adım daha ileridir. Burada Tampon kavramı kullanılarak taşıma modeli ulaştırma modeline dönüştürülür.

Örnek 5. 5 -1 sayfa 201 Şekilde görüldüğü üzere fabrikadan bayilere T 1 ve T 2 adlı iki merkez üzerinden ulaşılmaktadır. P 1 fabrikası 1000, P 2 fabrikası ise 1200 otomobil sevk etmektedir. Bağlantılarda yazanlar ise birim taşıma maliyetini göstermektedir. l Farklı düğümlerdeki arz ve talep miktarı şu şekilde hesaplanır: l T’deki arz= Orijinal arz +tampon miktar T’deki talep= Orijinal talep +tampon miktar Tampon miktarı B ile gösterilirse B= Toplam Arz=1000+1200=2200 l Buradan ulaştırma modeli oluşturulur l 1000 1200 3 4 P 1 T 1 7 2 P 1 8 5 T 2 6 4 9 D 1 800 5 D 2 900 3 D 3 500

T 1 l T 2 D 1 D 2 D 3 P 1 3 4 M M M 1000 P 2 2 5 M M M 1200 T 1 0 7 8 6 M B T 2 M 0 M 4 9 B D 1 M M 0 5 M B D 2 M M M 0 3 B B B 800+B 900+B 500 Burada amaç maliyeti minimize etmektir

Min Z= 3 X 13+ 4 X 14+ 2 X 23+ 5 X 24+ 7 X 34+ 8 X 35+ 6 X 36+ 4 X 46+ 9 X 47+ 5 X 56+ 3 X 67 Kısıtlar 5 8 X 13+ X 14= 1000 3 5 1 3 X 23+ X 24= 1200 6 4 6 X 35>= 800 7 2 4 X 36+ X 46 + X 56>=900 1200 5 3 4 9 2 X 47+ X 67 = 500 7 X 13+ X 23 – X 34 - X 35 -X 36 = 0 X 14+ X 24 +X 34 - X 46 – X 47 = 0 X 35 – X 56= 800 X 36+ X 46 + X 56 –X 67 = 900 l Xij >=0 800 900 500

Çalışma Soruları l l l Sayfa 172…. . örnek: 5. 2. 1 Sayfa 174…. örnek 5. 2. 2 Sayfa 193…Örnek 5. 4. 1 Sayfa 201…Örnek 5. 5. 1 Sayfa 177 7. problem Sayfa 203 4. problem