Analiza glavnih komponenti i faktorska analiza Dva korisna

Analiza glavnih komponenti i faktorska analiza

• Dva korisna linka – prvi za matričnu algebru drugi za faktorsku https: //www. youtube. com/playlist? list=PLZH QOb. OWTQDPD 3 Mizz. M 2 x. VFitg. F 8 h. E_ab https: //www. youtube. com/playlist? list=PLw. J Rxp 3 bl. Eva. OTZf. SKXysx. Rmi 6 g. XJf 5 g. P

Charles Edward Spearman 1863 -1945

Glavne komponente (Pearson 1903, Hotteling, 1930)

Analiza glavnih komponenata je postupak transformacije izvorne varijable u neke nove varijable tako da • broj komponenti bude jednak broju izvornih varijabli • prva ekstrahovana komponenta objašnjava maksimalno moguću varijansu, a svaka sledeća sukcesivno značajno manje • nove varijable budu međusobno nezavisne –tj. korelacija između novoformiranih varijabli (komponenti) bude jednaka je 0 • prosečna varijansa komponenti dobijenih iz matrice kovarijansi standardizovanih varijabli bude jednaka 1

PC ● ● ● Z je matrica sa varijablama, radi lakšeg zapisa formula uzećemo da su podaci standardizovani u standardnoj normalnoj formi, tako da krosprodukt ove matice same sa sobom daje matricu interkorelacija, označenu sa R Ajde sada da nađemo vektor x, sa koeficijentima linearne kombinacije tako da linearno kombinujemo kolonske vektore matrice podataka Z, dobijamo jedan vektor koji će biti maksimalno dugačak tj vrednosti u njemu će imati maksimalnu varijansu 8/

● Kombinajom kolonskih vektora iz Z dobijamo ● Ali želimo da K bude što duže, da mu njegova norma bude što veća (a to je suma kvadriranih vrednosti, tj varijansa)

Problem ovako definisanog problema je što su vrednosti u x veće, to je i krosprodukt vektora K veći, naprosto ova funkcija nije ograničena odozgo ●Zato dodajemo i uslov da je dužina vektora x jednaka 1 ●

Sada imamo funkciju koju extremiziramo i dodatni uslov koji mora biti zadovoljen te konstruišemo Langrangovu funkciju multiplikatora ● Parcijalni izvodi po nepoznatima Izjenačimo ih sa nulom i skratimo sa 2

● Što se svodi na karakterističnu jednačinu ● ● Dobijamo matricu karakterističjnih vektora X i dijagonalnu matricu sa karakterističnim vrednostima Λ Kako je matrica R simatrična to važi da je matrica karakterističnih vektorra X ortogonalna, tj da je: 12 /

● te samim tim i da je: 13 /

Iz same definicije svojstvenih vrijednosti znamo da je: •

Budući da je matrica R pozitivno definitna (tj. xt R x > 0) simetrična matrica sledeća tvrđenja:

Druge metode faktorizacije (ekstrakcije faktora) • Sve metode počivaju na istom ili sličnom modelu, ali se razlikuju po – ulaznoj matrici; – kriterijumu koji se maksimizuje – Osnovni model Faktorske analize je Izvođenje i relacije na linku 3 videa sukcesivno: https: //www. youtube. com/watch? v=Vl 7 mt. Amve. YQ&list=PLw. JRxp 3 bl. Eva. OTZf SKXysx. Rmi 6 g. XJf 5 g. P&index=7

Ulazne matrice • Kod komponenti - puna matrica korelacija sa jedinicama na dijagonali • Analizirati se mogu i različite matrice kovarijansi • U faktorsku analizu ulazi neka redukovana matrica u kojoj umesto jedinica na dijagonali neka procena komunaliteta. • ŠTA SVE MOGU BITI PROCENE KOMUNALITETA?

• Guttman je pokazao da je multiplo R na kvadrat dobijeno na osnovu n-1 preostalih varijabli donja granica komunaliteta. • Redukovana matrica i dalje zadržava graminska svojstva i pogodna je za analizu. • Izbor nekog drugog broja može poremetiti ta svojstva

• Analiza glavnih osa (Principal Axis Factoring) • Faktorizacija imaža (Image Factoring) • Metod Neponderisanih najmanji kvadrata (Unweighted Least-Squares). • Metod generalizovanih najmanjih kvadrata (Generalized Least-Squares Method) • Metod najveće verodostojnost(Maximum. Likelihood Method) • Alfa faktorska(Alpha Factoring).

• Analiza glavnih osi nije ništa drugo do analiza glavnih komponenata na redukovanoj matrici korelacija gdje su na dijagonali umesto jedinica multipli R kvadrati

P=R-U 2 1 r 21 r 31 r 41 1 -R 21 0 0 0 r 12 1 r 32 r 42 0 1 -R 22 0 0 r 13 r 23 1 r 43 0 0 0 r 14 r 24 r 34 1 -R 22 1 0 0 0 1 -R 22 1 -R 21 r 31 r 41 r 12 1 -R 22 r 32 r 42 r 13 r 23 1 -R 23 r 43 r 14 r 24 r 34 1 -R 24

+ E � Z 12 Z 13 Z 14 T 11 T 12 T 13 T 14 E 11 E 12 E 13 E 14 Z 23 Z 24 T 21 T 22 T 23 T 24 E 21 E 22 E 23 E 24 Z 33 Z 34 T 31 T 32 T 33 T 34 E 31 E 32 E 33 E 34 Z 43 Z 44 T 41 T 42 T 43 T 44 E 41 E 42 E 43 E 44 Z 53 Z 54 T 51 T 52 T 53 T 54 E 51 E 52 E 53 E 54 Z 63 Z 64 T 61 T 62 T 63 T 64 E 61 E 62 E 63 E 64 1 Z 22 1 Z 32 1 Z 42 1 Z 52 1 Z 62 1 Z – dobijeni rezultat T- rezultat predviđen na osnovu preostalih isto što i T odnosno pravi skor E - rezidual

G=(TTT)N-1 R 2 1 g 21 g 31 g 41 g 12 R 2 2 g 32 g 42 g 13 g 23 R 2 3 g 43 g 14 g 24 g 34 R 2 4 T 11 T 2 1 T 3 1 T 4 1 T 5 1 T 6 1 T 1 2 T 22 T 32 T 42 T 52 T 62 T 1 3 T 23 T 33 T 43 T 53 T 63 T 1 4 T 24 T 34 T 44 T 54 T 64 T 11 T 12 T 13 T 14 T 21 T 22 T 23 T 24 T 31 T 32 T 33 T 34 T 41 T 42 T 43 T 44 T 51 T 52 T 53 T 54 T 61 T 62 T 63 T 64

Faktorizacija imaž kovarijansi • Analogno kao kod matrice R • Traže se svojstvene vrednosti i vektori matrice G

Alfa faktorska(Alpha Factoring) • Maksimizuje se pouzdanost komponenti • Ulazna matrica je redukovana matrica korelacija sa procenom pouzdanosti na dijagonali. • Praktički i ovde se multiplo R kvadrat koristi kao ocena pouzdanosti • Budući da prema LKC obrascu svojstvena vrednost determiniše pouzdanost onda se svodi na PA problem

Nepondreisani najmanji kvadrati Unweighted Least-Squares ULS Unweighted Least-Squares Minimizuje sumu kvadrata odstupanja reprodukovane i empirijske matrice korelacija, razlika između inicijalnog i reprodukovaog komunaliteta.

Metod generalizovanih najmanjih kvadrata (Generalized Least-Squares Method) 1. 2. 3. Vrlo sličan prethodnom modelu. Minimizuje sumu kvadrata razlika reprodukovane i empirijske matrice korelacija ali podeljenu s unikvitetom Tako da varijable sa većim unikvitetom manje utiču na komponente nego varijable s većim komunalitetom!? ? ? Daje goodness-of-fit test pri čemu se Hikvadrat testom testira značajnost razlika empirijske i reprodukovane matrice korelacija

Generalizovani najmanji kvadrati GLS

Metod najveće verodostojnost(Maximum. Likelihood Method) Faktoriše se matrica korelacija koja je ponderisana tako što su korelacije podeljene sa unikvitetom Cilj je da se dobiju skorovi što sličniji originalnim MLE podrazumeva multinormalnu raspodelu Takođe generiše goodness-of-fit test HI kvadrat koji može poslužiti za određivanje broja faktora.

Linkovi za objašnjenje Maximum Likelihood • https: //www. youtube. com/watch? v=I_dh. PETvll 8&list=RD CMUC 3 t. FZR 3 e. L 1 b. DY 8 Cq. ZDOQh-w&index=2 • https: //www. youtube. com/watch? v=Z 582 V 53 dfr 8&list=R DCMUC 3 t. FZR 3 e. L 1 b. DY 8 Cq. ZDOQh-w&index=4 • https: //www. youtube. com/watch? v=jp. Hre. Xjtw 1 Q&list=RD CMUC 3 t. FZR 3 e. L 1 b. DY 8 Cq. ZDOQh-w&index=18 • https: //www. youtube. com/watch? v=Sfh. JPUw 1 b. Ck&t=45 s • https: //www. youtube. com/watch? v=CZByg. VGi. DP 4

Maksimalna verodostojnost (maximum likelihood)

Mere pogodnosti modela (goodiness of fit indices)

Analiza kanoničkih komponenti • Traži se takva linerna kombinacija koja će dati skorove koji će imati najveće kanoničke korelacije sa izvornim skorvima • Dokazano je da se takvi skorovi dobijaju analizom glavnih komponenata Harisove matrice

Različiti kriterijumi određivanja broja komponenti/faktora • • • određen nivo objašnjenja 80 -90% Inspekcija rezidualne matrice Interpretabilnost A priorna hipoteza Stabilnost

• veća vrednost svojstvene vrednosti (varijanse) od prosečne svojstvene vrednosti koja iznosi 1 • Bartletov kriterijum • Scree test (Cattel)

• Velicer-ov MAP kriterijum • Paralelni kriterijum (Horn) • Regresioni model (Lautenschlager, 1988; Longman et al. , 1989; Goffin & Helmes, 2000)

Značajne komponente • Lord Kajzer Kafrijev obrazac • rtt= n/(n-1)*(1 -λ-2) –kod Tenjovića ne stoji ovaj obrazac, već onaj sa λ-1 sledi • Pozdanost veću od 0 imaju one komponente čija je svojstvena vrednost (varijansa) veća od 1 tj. od prosečne svojstvene vrednosti matrice kovarijansi standardizovanih varijabli • Ovaj kriterijum se naziva još i Guttmann Kaiserov kriterijum

Svojstvena vrednost veća od 1 • Po defaultu u SPSS • Zato se najčešće koristi iako ima najlošije karakteristike • Adekvatan je samo u situacijama kada imamo – Veliki broj ispitanika – Mali broj varijabli – Pouzdano merenje – dakle nikad

Bartlett-ov test • Razvio test koji testira hipotezu da se dve komponente ne razlikuju statistički jedna od druge. • Ideja je da se sluičajne komponente međusobno statističi značajno ne razlikuju tako da ćemo zadržati samo onih k komponenti između kojih postoji statističi značajna razlika. • Preostalih n-k komponenti smatraćemo slučajnim komponentama.

• Bartletov test je osetljiv na veličinu uzorka tako da kod velikih uzoraka precenjuje broj značajnih komponenti • Nije implementiran u SPSS I druge statističke pakete • Uprkos ovome Zwick and Velicer (1982) su monte-carlo eksperimentom pokazali da ovaj test čak manje greši u oceni broja faktora kad je uzorak veći

Cattell-ov scree kriterijum • Po svojoj logici vrlo sličan Bartlett-ovom samo što se koristi vizuelno zaključivanje. • Idući od poslednje svojstvene vrednosti povuče se pravac kroz sukcesivne svojstvene vrednosti. • U jednom trenutku pravac je nemoguće nastaviti i zadržavamo komponente čije su ajgenvrednosti iznad pravca

Bartlett, 1950 (m – p – 1) (m – p + 2)/2 df

Katelov scree • Veoma često daje adekvatna rešenja • Glavni problem je subjektivnost (IRR od , 61 do 1 median. 88) – Ne može se lako odlučiti kakopovući liniju – Nije jasna pregibna tačka – Ima višepregiba – Zorić i Opačić su dali algebarsko rešenje za ovaj problem koje sa pokazalo jako dobrim ali ne rešava problem više pregibnih tačaka

Horn-ov paralel kriterijum • Treba zadržati one faktore čija se svojstvena vrednost statistički značajno razlikuje od svojstvene vrednosti istog rednog broja dobijene na matrici slučajnih brojeva istih dimenzija kao i matrica podataka koja se analizira.

Paralel analiza • Generiše se matrica slučajnih brojeva istih dimenzija kao i matrica podataka • Urade se glavne komponente i zapamte njihove svojstvene vrenosti. • Ovaj postupak se ponovi najmanje sto puta (poželjno 200 i više) • Napravi se distribucija svih svojstvenih vrednosti

Paralel analiza • Dakle dobije se distibucija vrednosti prve glavne komponente za matricu datih vrednosti nakon x ponavljanja, • Distribucija vrednosti druge glavne komponente za matricu datih dimenzija posle x ponavljanja i tako redom doposlednje • One imaju normalnu raspodelu i kreću se uglavnom u +-3 sigme

Paralel analiza • Dobije se prosečna vrenost i 95 (99) postotni interval poverenja za svaku od n svojstvenih vrednosti na osnovu ponovljenih analiza glavnih komponenti. • Zadržavaju se one komponente koje su veće od granične vrednosti intervala poverenja

Primer ’stvarne nasuprot slučajnim svojstvenim vrednostima

Paralel kriterijum grafički

Paralel analiza • Pokazalo se da je ovaj kriterijum veoma efikasan • Nema ga u SPSS ali postoji makro • Zahtevan je za računanje pogotovo kad su matrice jako velike

Velicer-ov test (I 976) • MAP (Minimum Average Partial) • Bazira se na prosečnoj veličini rezidualnih korelacija • Rezidualne korelacije se smanjuju posle svake exstrahovane komponente, ali u nekom trenutku dostignu lokalni minimum i počinju da rastu u suprotnom smeru

• Velicer smatra da u trenutku kada kvadrirane parcijalne korelacije (reziduali) dostignu minimum treba prestati sa daljom exstrakcijom faktora • Nije implementiran u SPSS, ali postoji makro za njegovu primenu

Od čega zavisi tačnost različitih kriterijuma • • Veličina uzorka Broj Varijabli Stvarni broj faktora Prosečna veličina zasićenja sa faktorima. Greška merenja Broj varijabli po faktoru Da li postoje varijable sa zasićenjima na više komponenti

Komparacija nekoliko kriterijuma za određivanje broja faktora

SLAGANJE FAKTORSKIH REŠENJA Paul Barett - Orthosim-program https: //www. pbarrett. net/software/orthosim. pdf? cls=file

Vektorska korelacija

Kongruencija

Euklidska distanca

Dvostruko reskaliran prosečna distanca • md-maksimalna moguća kvadrirana distanca (od -1 do 1 uvijek 4)

Mera sličnosti je

Prosečno kvadratno otstupanje (RMS)

Modaliteti Faktorske analize • Za identifikaciju klastera slučajeva ili outliera. . • (koristi se Q-mod faktorske analize) • Kod koga je ulaz transponovana matrica podataka iz koje se računaju kovarijanse (korelacije) među ispitanicima na nekom skupu varijabli

Modaliteti Faktorske analize – O-mod faktorske analize je starija forma vremenskih serija gde su podaci prikupljeni na jednom subjektu na više varijabli (redova) u više vremenskih tačaka (kolone) – Na osnovu ove analize se može zaključiti o istoriji pojedinca i zasebnim specifičnim periodima vremena koji su međusobno slični!

– T-mode faktorske analize je sličan O modu s tom razlikom što su u redovima entiteti a podaci su vezana za jednu meru u više vremenskih tačaka. Grupisanje tačaka je i u ovom slučaju po periodu vremena. – S-mod faktorske analize radi na transponovanim podacima iz T-moda i koristi se za utvrđivanje promena grupa ljudi kroz vrema u pogledu 1 varijable

• Prirodu faktora tumačimo • njihovim odnosom sa manifestnim varijablama » matricom faktorske strukture- faktorska opterećenja » matricom faktorskog obrasca-matrica sklopa

Rotacije koordinatnih osa https: //www. youtube. com/watch? v=Ta 8 c. Kqlt. Pf. U https: //www. youtube. com/watch? v=wg 9 b. I 8 -Qx 2 Q&t=340 s

Ortogonalne • Varimax (najčešća rotacija)– maksimizuje varijansu kvadriranih elemenata u kolonama, • Quartamax maksimizuje varijansu kvadriranih elemenata u redovima • Ortomax, kombinacija i jedne i druge. • Posle ortogonalnih rotacija komunalitet ostaje isti – menjaju se samo varijanse faktora

Kose • Oblimin - quartimax koji dozvoljava korelacije među faktorima. • Promax – radi rotacije u dva koraka prvo uradi ortogonalnu transformaciju a zatim maksimizuje varijansu dozvoljavajući korelacije.

Šta se dešava sa komunalitetom? • Dužina vektora neke varijable se ne menja pa tako ni njen kvadrat • Suma kvadrata zasićenja će biti veća nego što su komunaliteti pa iz nje treba izuzeti dvostruku kovarijansu među faktorima

• Kose rotacije se rade iz dva razloga – da bi se radile faktorske analize višeg reda – da bi se dozvolili prirodni odnosi između varijabli • Postoji beskonačan mogući broj ortogonalnih referentnih okvira – kosih ima još na beskonačnu

m p l i k a c i j a • Kod ortogonalnih rotacija paralelna i ortogonalna projekcija su identične

Kod kosih rotacija imamo dve vrste projekcija ortogonalne i paralelne

Matrice sa projekcijama • Ortogonalne projekcije su u – matrici strukture i predstavljaju korelacija varijabli i faktora • Paralelne projekcije su u matrici faktorskog obrasca (matrica sklopa ili eng. pattern matrix)

ZNAČENJE-MATRICA STRUKTURE Kod kosih rotacija matrica strukture retko daje jednostavnu strukturu jer se pojavljuju zasićenja na više faktora. Ona nam govori kako faktori grade varijable Kvadrati koeficijenata govore koliki je procenat varijanse date varijable objašnjen datim faktorima

ZNAČENJE-MATRICA FAKTORSKOG OBRASCA Služi za dobijanje skora na varijabli preko faktora Ona služi za tumačenje i davanje psihološkog značenja faktorima Može imati vrednosti veće od 1

Matrice u Fa • matrica sirovih rezultata-matrica sa ispitanicima u redovima i manifestnim varijablama u kolonama. • matrica faktorskih skorova-matrica sa ispitanicima u redovima i latentnim varijablama (faktorskim skorovima) u kolonama. • matrica korelacija – matrica kovarijansi standardizovanih skorova sa jedinicama na dijagonali! • reprodukovana matrica – matrica korelacija koja se može reprodukovati na osnovu zadržanih faktora. Ako imamo onoliko komponenti koliko i ulaznih varijabli ona je potpuno jednaka izvornoj matrici korelacija. • rezidualna matrica – matrica u kojoj su jedinice na dijagonali a razlike između reprodukovanih i izvornih korelacija van dijagonale

Matrice u Fa • redukovana matrica korelacija-matrica korelacija koja na dijagonali nema jedinice već neku procenu komunaliteta • matrica imaž kovarijansi-matrica kovarijansi predviđenih vrednosti (pravih skorova) svake varijable na osnovu preostalih varijabli iz skupa. Na dijagonali je kvadrat koeficijenta multiple korelacije. • matrica antiimaž kovarijansi - matrica kovarijansi rezidualnih vrednosti (skorova greške) svake varijable na osnovu preostalih varijabli iz skupa. Ona se može dobiti i kao razlika korespodentnih elemenata matrice korelacija i matrice imaž kovarijansi. Dakle na dijagonali ima 1 – multiplo R na kvadrat. • matrica ponderisanih kovarijansi kada se elementi matrice korelacija podele ili pomnože sa nekom vrednošću (najčešće unikvitetom) tako da se pojača uticaj nekih varijabli.

Matrice u Fa • matrica strukture matrica u kojoj se nalaze ortogonalne projekcije varijabli na faktore (korelacije). • matrica sklopa (matrica faktorskog obrasca) u kojoj se nalaze paralelne projekcije varijabli na faktore. Kod ortogonalnih rotacija identična je matrici strukture (ponderi). • matrica faktorskih koeficijenata u kojoj su regresioni koeficijenti za računanje faktorskih bodova

Nedostaci nekih FA studija (Fulgosi 326 do 333)

Neadekvatan izbor varijabli • Varijable moraju biti izabrane na osnovu teorijskog konstrukta tako da unapred znamo čega su indikator • Varijable ne smeju biti izabrane tako da favorizuju jedan teorijski pristup u odnosu na drugi-svakoj od trenutno prisutnih hipoteza treba dati priliku da se potvrdi

Neadekvatan izbor varijabli • Faktorska analiza na prehomogenom skupu varijabli daje trivijalne rezultate dok na • izrazito nehomogenom skupu varijabli daje neinterpretabilne faktore • Neki faktor je moguće interpretirati tek ako ima zasićenje sa najmanje 3 varijable! • Garbage in garbage out. Faktorska analiza nam ne može pomoći ako su indikatori loše odabrani

Nestabilnost koeficijenata korelacije • Korelacije dobijene na malim uzorcima su nestabilne pa i faktorske solucije koje iz njih proističu bivaju nestabilne. • Faktorska analiza ima smisla samo ako broj ispitanika višestruko (najmanje 3 do 5 puta) prevazilazi broj varijabli

Zanemarivanje zahteva faktorske • Koriste se varijable koje nisu normalno distribuirane ili nisu na najmanje intervalnom nivou merenja

Nejasan prikaz rezultata • Ne navodi se koji je kriterijum za odeđivanje broja faktora • koji metod ekstrakcije i rotacije • ni koja ulazna matrica korelacija je korištena

“otkrivanje” tople vode ili rupe na saksiji • Hipertrofija instrumenata koji mere vać dobro utvrđene faktora dajući im često nova imena • To je kao kada bi dužinu merili metalnim, pa drvenim, pa plastičnim metrom a merenu veličinu nazvali drugim imenom • Potrebno je u svaku FA studiju uvesti markere za već dobro utvrđene faktore

Otkrivanje slučajnih faktora • Faktorizacije slučajnih podataka zbog gršaka u preciznosti daju manji broj faktora nego varijabli, obično pola. • To znači da je moguće u praksi dobiti slučajne faktore • Neophodno je praviti krosvalidaciju podeliti uzorak slučajnim odabirom ispitanika i ponoviti analizu dva puta!

Nepostojanje teorijske integracije • Istraživači polaze u istraživanja sa ateorijskim indikatorima pod parolom što više to bolje i valjda ću nešto dobiti • To se naziva Short gun empiricism! • Posthock interpretacija faktora je uvek moguća

Koraci u FA studijama • • • Teorijska analiza (pregled literature) Definisanje domena Izbor ili konstrukcija pouzdanih indikatora pretpostavljenih novih faktora i markera poznatih faktora – Što je broj indikatora veći to je bolje ali se to odražava na broj ispitanika i valjanost odgovora ispitanika

Koraci u FA studijama • Odabir uzorka koji je reprezentativan za populaciju – Broj ispitanika mora biti najmanje 5 puta veći nego broj varijabli • • • Prikupljanje podataka Podela uzorka na dva slučajna subuzorka Odluka o najprimerenijoj metodi FA te o rotaciji faktora

Koraci u FA studijama • Primena faktorske analize na jednom poduzorku • Primena faktorske analize na drugom subuzorku • Definisanje faktora koji su kongruentni u obe analize

Koraci u FA studijama • Davanje psihološkog značenja faktorima (interpretacija) – pri tome najviše pomažu a priori definisani markeri faktora • Uklapanje podataka u neki postojeći teorijski koncept ili uobličavanje nove teorije

ZAKLJUČCI

• Ako su varijable dobro izabrana, a uzorak dovoljno velik sve metode će dati u interpretativnom smislu identičan rezultat • Za proveru stabilnosti faktorskih rešenja potrebno je uvek kombinovati barem dve analize!

Faktorska analiza se koristi • Da bi se veći broj manifestnih varijabli sveo na manji broj i tako dobio parsimoničnij model proučavane pojave. • Za kreiranje subsetova indikatora, tako što se u subsetove uključuju varijable sa najvećim zasićenjima faktorima

• Za kreiranje baterije nezavisnih prediktora što ortogonalne faktore čini idealnim prediktorima, a njihova prediktivna varijansa je aditivna. • Za utvrđivanje valjanosti konstrukta gde se proverava da li je neka nova varijabla (konstrukt) zasićena onim faktorima koje teorija pretpostavlja. To se radi tako da se uvek u analizu uključuju varijable čiju prirodu od ranije poznajemo kao markere poznatih faktora

• Postoje dve strategije – eksploratorna i konfirmatorna

Uslovi • • Varijable moraju biti merene na najmanje intervalnom nivou imati multinormalnu raspodelu Ne smeju biti linearno zavisne (ne smeju se uključivati varijable koje su zbir nekih preostalih ili bilo kakva njihova linearna kombinacija)

Interpretacija se • Interpretiraju se koeficijenti strukture i to njihova apsolutna vrednost • Faktor se može tretirati kao bipolarni takson (klasifikator) pa se može tumačiti i preko grupa ispitanika.

KRAJ

Charles Edward Spearman 1863 -1945

t FF =R`

R-R`=Rr

Louis Leon Thurstone 1887 -1955 • Metod centroida

Drugi korak-pnavlja se sa apsolutnim vrednostima

Potpuna reprodukcija operacijom R=AAT

Hotellingov iterativni postupak Fulgosi, 1984 str. 334 Harold Hotelling (1895 – 1973)

Bartletov test sferičnosti