H MARKOWITZ I W SHARPE ANALIZA PORTFELOWA I

H. MARKOWITZ I W. SHARPE ANALIZA PORTFELOWA I RYNKI FINANSOWE W TEORII I PRAKTYCE dr Tomasz Uryszek INSTYTUT FINANSÓW WYDZIAŁ EKONOMICZNO-SOCJOLOGICZNY UNIWERSYTET ŁÓDZKI Łódź, marzec 2016

Wprowadzenie • Celem prezentacji jest przedstawianie najważniejszych dokonań dwóch wybitnych ekonomistów, laureatów Nagrody Banku Szwecji im. Alfreda Nobla w dziedzinie ekonomii za pionierskie prace w dziedzinie teorii ekonomii finansowej. Są nimi: Harry M. Markowitz – Nobel 1990 William F. Sharpe – Nobel 1990 Źródło: www. nobelprize. org

Nobel 1990 Alfred Nobel Memorial Prize in Economic Sciences Źródło: http: //www. nobelprize. org/nobel_prizes/economic -sciences/laureates/1990/press. html • Harry M. Markowitz • Dziedzina: Ekonomia finansowa • William F. Sharpe • Uzasadnienie nagrody: za pionierskie prace nad ekonomiczną teorią finansową • Merton Miller „The Royal Swedish Academy of Sciences has decided to award the 1990 Alfred Nobel Memorial Prize in Economic Sciences with one third each, to Professor Harry Markowitz, City University of New York, USA, Professor Merton Miller, University of Chicago, USA, Professor William Sharpe, Stanford University, USA, for their pioneering work in theory of financial economics. Harry Markowitz is awarded the Prize for having developed theory of portfolio choice; William Sharpe, for his contributions to theory of price formation for financial assets, the so-called, Capital Asset Pricing Model (CAPM); and Merton Miller, for his fundamental contributions to theory of corporate finance”.

Harry M. Markowitz • Urodzony w Chicago (USA) w 1927 roku • Wykształcenie: – University of Chicago: dwuletnie studia licencjackie, następnie studia ekonomiczne. – Jako student został członkiem Cowles Commission for Research in Economics. Zajął się zastosowaniami matematyki w finansach. – Jego nauczycielami byli m. in. Milton Friedman (Nobel 1976), Tjalling Koopmans (Nobel 1975), Jacob Marschak i Leonard Savage. – W 1955 roku obronił doktorat, którego tematem była teoria portfela. Temat był na tyle nowatorski, że Friedman stwierdził, iż trudno go zaklasyfikować do obszaru nauk ekonomicznych. • Praca zawodowa (m. in. ): – RAND Corporation. – Cowles Foundation (na zaproszenie Jamesa Tobina [Nobel 1981]). – Arbitrage Management (współpraca z Paulem Samuelsonem [Nobel 1970] i Robertem Mertonem [Nobel 1997]). – Profesor w Rady School of Management na University of California w San Diego. – Profesor finansów w Baruch College na City University of New York.

Teoria portfela – początki i podstawy • Koncepcja teorii portfela powstała w wyniku lektury „Teorii wartości inwestycji” autorstwa J. B. Williamsa. • Zgodnie z tą teorią wartość akcji powinna być równa bieżącej wartości związanych z nią Źródło: Harry M. Markowitz – Biographical, The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1990. przyszłych dywidend • Wartość przyszłych dywidend jest jednak niepewna. • Jeżeli inwestor byłby zainteresowany wyłącznie maksymalizacją dochodu, musiałby inwestować tylko w akcje jednej spółki. W praktyce tak się jednak nie dzieje. Inwestorzy dywersyfikują portfel, ponieważ zawracają uwagę nie tylko na stopę zwrotu, lecz i na ryzyko. • Wariancja jako miara ryzyka. • Dwa kryteria: ryzyko i stopa zwrotu. Inwestorzy wybiorą portfel jaką jedną z kombinacji portfeli efektywnych w sensie Pareto. • Upraszczając: minimalizacja ryzyka (wyrażonego poprzez wariancję) przy ustalonym z góry poziomie zysku (wyrażonego przez wartość oczekiwaną stopy zwrotu z portfela). „…The basic concepts of portfolio theory came to me one afternoon in the library while reading John Burr Williams's Theory of Investment Value. Williams proposed that the value of a stock should equal the present value of its future dividends. Since future dividends are uncertain, I interpreted Williams's proposal to be to value a stock by its expected future dividends. But if the investor were only interested in expected values of securities, he or she would only be interested in the expected value of the portfolio; and to maximize the expected value of a portfolio one need invest only in a single security. This, I knew, was not the way investors did or should act. Investors diversify because they are concerned with risk as well as return. Variance came to mind as a measure of risk. The fact that portfolio variance depended on security covariances added to the plausibility of the approach. Since there were two criteria, risk and return, it was natural to assume that investors selected from the set of Pareto optimal risk-return combinations…. ”

Teoria portfela Markowitza – podstawowe publikacje • Podstawy teorii portfela instrumentów finansowych H. Markowitz przedstawił w swoich dwóch pracach: – Markowitz H. , Portfolio Selection, Journal of Finance, vol. 7, 1952. – Markowitz H. , Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment, Yale University Press, New Haven, 1959.

Analiza portfelowa – idea „Analiza portfelowa zajmuje się technikami inwestowania w więcej niż jeden walor. Zasadniczym motywem kupowania więcej niż jednego papieru wartościowego jest chęć zmniejszenia do zera ryzyka dywersyfikowalnego i zoptymalizowanie przychodu i ryzyka inwestycji. Można wykazać, że poprawnie skonstruowany portfel papierów wartościowych pozwala na osiągnięcie tych właśnie celów. Metody analizy portfelowej zaliczane są do grupy metod pozwalających dokonywać długoterminowych inwestycji. Wynika to z generalnie małej elastyczności i płynności portfela. Niewątpliwie sprawia to, że metody analizy portfelowej są bliższe metodom analizy fundamentalnej niż metodom analizy technicznej”*) *) Tarczyński W. , Ocena różnych wariantów fundamentalnego portfela papierów wartościowych, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, nr 371, 2014, s. 298.

Portfel dywersyfikacja • Inwestowanie w więcej niż jeden instrument • Dwa kryteria: – „Zysk” • stopa zwrotu – z pojedynczego instrumentu vs. z całego portfela – Ryzyko • Pojedynczego instrumentu vs. całego portfela • odchylenie od wartości oczekiwanej • Wartość oczekiwana w przypadku rozkładu normalnego = wartość średnia • Miara ryzyka – wariancja (lub pierwiastek z wariancji, czyli odchylenie standardowe)

Stopa zwrotu instrumentu finansowego Oczekiwana stopa zwrotu R Przypadek uogólniony arytmetyczna średnia ważona stóp zwrotu pi – prawdopodobieństwo realizacji i-tej wartości stopy zwrotu Ri – i-ta wartość stopy zwrotu m – liczba możliwych realizacji stopy zwrotu Obliczenia w praktyce przy normalnym rozkładzie, dla danych historycznych Rt – t-ta wartość (obserwacja) zrealizowanej stopy zwrotu n – liczba obserwacji

Ryzyko instrumentu finansowego Wariancja s 2 Przypadek uogólniony arytmetyczna średnia ważona kwadratów odchyleń od wartości oczekiwanej pi – prawdopodobieństwo realizacji i-tej wartości stopy zwrotu, Ri – i-ta wartość stopy zwrotu, R – oczekiwana wartość stopy zwrotu, m – liczba możliwych realizacji stopy zwrotu. Obliczenia w praktyce przy normalnym rozkładzie, dla danych historycznych Rt – t-ta wartość (obserwacja) zrealizowanej stopy zwrotu, R – oczekiwana wartość stopy zwrotu n – liczba obserwacji

Ryzyko instrumentu finansowego Odchylenie standardowe s Przypadek uogólniony pierwiastek z arytmetycznej średniej ważonej kwadratów odchyleń od wartości oczekiwanej pi – prawdopodobieństwo realizacji i-tej wartości stopy zwrotu, Ri – i-ta wartość stopy zwrotu, R – oczekiwana wartość stopy zwrotu, m – liczba możliwych realizacji stopy zwrotu. Obliczenia w praktyce przy normalnym rozkładzie, dla danych historycznych Rt – t-ta wartość (obserwacja) zrealizowanej stopy zwrotu, R – oczekiwana wartość stopy zwrotu n – liczba obserwacji

Analiza portfelowa: klasyczny model Markowitza – ujęcie formalne Podstawowy model zaproponowany przez H. Markowitza można zapisać następująco*): Rp – oczekiwana stopa zwrotu z portfela, sp – oczekiwane ryzyko portfela, *) Tarczyński W. , Ocena n – liczba walorów w portfelu, xi – udział i-tego waloru w portfelu, Ri – Stopa zwrotu z i-tego waloru, różnych wariantów fundamentalnego portfela papierów wartościowych, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, nr 371, 2014, s. 298.

Ryzyko portfela w klasycznym modelu Markowitza Ryzyko portfela zależy nie tyko od odchyleń standardowych (wariancji) jego składników, ale także od wzajemnych powiązań (zależności) między tymi składnikami. sp xi- Si covij - odchylenie standardowe portfela - udział instrumentu i w portfelu - wariancja instrumentu i - kowariancja instrumentu i z instrumentem j

Portfel dwuskładnikowy Stopa zwrotu : Korelacja stóp zwrotu : 1 i 2 – numery walorów (pierwsza i druga), x – udział waloru w portfelu, ρ – współczynnik korelacji stóp zwrotu tych walorów, pi – prawdopodobieństwo wystąpienia i-tych stóp zwrotu, R 1 i, R 2 i lub R 1 t, R 2 t – możliwe stopy zwrotu obu walorów (i – oszacowane, t – historyczne), R 1 , R 2 – oczekiwane (średnie) stopy zwrotu z walorów, s 1 , s 2 – odchylenia standardowe stóp zwrotu walorów, cov – kowariancja stóp zwrotu.

Portfel dwuskładnikowy Ryzyko: Udział waloru 1 dla portfela o minimalnym ryzyku (MVP – minimum variance portfolio):

Portfel dwuskładnikowy – interpretacja graficzna Teoretycznie możliwe jest wyeliminowanie ryzyka portfela w przypadku budowy portfela dwuskładnikowego, dla którego walorów wartość spółczynnika korelacji wynosi – 1 Rys. 1. Graficzna interpretacja portfela dwuskładnikowego. Źródło: opracowanie własne

Portfel wieloskładnikowy – interpretacja graficzna Dla wielu spółek portfele akcyjne tworzą następujący zbiór możliwości (jest nim cała figura). Portfele efektywne znajdują się na fragmencie od X do Y. Przechodząc od X do Y linią portfeli efektywnych zwiększamy stopę zwrotu przy jednoczesnym wzroście ryzyka. Wybór zależy od preferencji konkretnego inwestora Rys. 2. Graficzna interpretacja portfela wieloskładnikowego. Źródło: opracowanie własne

Portfel wieloskładnikowy – interpretacja graficzna Nałożenie na wykres krzywych obojętności pozwala wyznaczyć najlepszy portfel dla inwestora Rys. 2. Portfel wieloskładnikowy i krzywe obojętności. Źródło: opracowanie własne

Klasyczny model Markowitza – podstawowe problemy • Trudny do zastosowania w praktyce. • Założenia modelu: normalny rozkład stóp zwrotu. • Wymaga zabrania bardzo dużej liczny danych do analiz empirycznych, – wyznaczenie efektywnego portfela akcji wymaga obliczenia tylu stóp zwrotu i odchyleń, ile jest walorów na danym rynku i znacznie więcej współczynników korelacji między wszystkimi akcjami. • Rzadko stosowany w praktyce.

William F. Sharpe • • Urodzony w Bostonie (USA) w 1934 roku Wykształcenie: – University of California at Berkeley, podjęcie studiów medycznych. – University of California at Los Angeles – studia w obszarze Business Administration, następnie w dziedzinie ekonomii. – Licencjat: 1955 r. , magisterium: 1956 r. , UCLA. – Doktorat: 1961, UCLA. Praca poświęcona była różnym aspektom analizy portfelowej i opierała się na modelu Markowitza. – Jego nauczycielem był m. in. : J. Fred Weston, który zapoznał go z pracami Markowitza. • Praca zawodowa (m. in. ): RAND Corporation. Profesor finansów w School of Business at the University of Washington, Seattle. Profesor finansów w Stanford. University of California at Irvine, School of Social Sciences. Konsultant w consultant Merrill Lynch, Pierce, Fenner and Smith, Wells Fargo Investment Advisors. – Członek National Bureau of Economic Research. – Prezes American Finance Association. – – –

Jednowskaźnikowy model Sharpe’a – rozwinięcie idei Markowitza W tym modelu przyjmuje się, że stopy zwrotu akcji są uzależnione od stóp zwrotu całego rynku (za substytut portfela rynkowego przyjmuje się indeks giełdy). Stopę zwrotu z waloru można opisać równaniem: Ri – stopa zwrotu i-tej akcji, RM – stopa zwrotu z rynku (indeksu), α, β – współczynniki równania, ei – składnik losowy równania. Rys. 3. Graficzna interpretacja modelu jednowskaźnikowego Sharpe’a. Źródło: opracowanie własne

Jednowskaźnikowy model Sharpe’a – c. d. Po oszacowaniu parametrów równanie regresji nie zawiera już składnika losowego, zapisane jest następująco:

Współczynnik β o ile procent zmieni się stopa zwrotu z i-tego waloru, jeśli indeks rynku zmieni się o 1%? Interpretacja współczynnika > 1 – akcja agresywna (reaguje na rynek bardziej niż proporcjonalnie) = 1 – akcja reaguje na rynek proporcjonalnie; portfel rynkowy ma beta = 1 0 < < 1 – akcja defensywna (reaguje na rynek mniej niż proporcjonalnie) = 0 – akcja nie reaguje na rynek < 0 – akcja reaguje na rynek odwrotnie proporcjonalnie

Model CAPM – rozwinięcie teorii portfela • „Należy na początku zaznaczyć, że CAPM jest z jednej strony najbardziej kontrowersyjnym modelem klasycznego nurtu teorii finansów (od wielu lat spotyka się z krytyką wielu teoretyków finansów), z drugiej strony jest to jeden z najbardziej popularnych modeli stosowanych w praktyce”*). • W. Sharpe, – Capital Asset Prices – A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk, Journal of Finance, no. 19, 1964. • Jack L. Treynor, John V. Lintner, Jan Mossin. Jajuga K. , Równowaga rynku kapitałowego – pół wieku historii rodziny CAPM, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, nr 768; Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia, nr 63, 2013.

Model CAPM – założenia • • • nie ma kosztów transakcji, doskonała podzielność instrumentów finansowych, nie ma podatków od dochodów osobistych, transakcje pojedynczego inwestora nie mogą mieć wpływu na cenę instrumentu finansowego, przy podejmowaniu decyzji inwestorzy biorą pod uwagę tylko oczekiwaną stopę zwrotu i ryzyko instrumentów finansowych, występuje krótka sprzedaż akcji, istnieje nieograniczona możliwość udzielania bądź zaciągania kredytu przy stopie wolnej od ryzyka, wszyscy inwestorzy podejmują decyzje na jeden okres, wszyscy inwestorzy mają te same oczekiwania co do charakterystyk instrumentów finansowych (oczekiwanych stóp zwrotu, ryzyka, współczynników korelacji), tzn. występuje jednorodność oczekiwań inwestorów.

Model CAPM SML – Security Market Line (Linia Rynku Papierów Wartościowych) Przedstawia zależność oczekiwanej stopy zwrotu portfela od współczynnika beta tego portfela. W formie SML został zaprezentowany w 1968 r. przez Eugene Fama*) Pierwszy składnik stopy zwrotu (Rf ) jest stopą wolną od ryzyka, zaś drugi składnik to cena ryzyka, tym większa, im większe β. Wyrażenie w nawiasie to premia za ryzyko (nadwyżka stopy rynkowej nad stopą wolną od ryzyka), zaś β wyraża „ilość” kupowanego ryzyka systematycznego (rynkowego). β jest tu współczynnikiem kierunkowym linii SML dotyczy dowolnego portfela na ryku będącym w równowadze. Podstawiając konkretne β otrzymamy wartość stopy zwrotu, jakiej powinniśmy oczekiwać od portfela na rynku będącym w równowadze *) Fama E. , Risk, Return and Equilibrium: Some Clarifying Comments, Journal of Finance, no. 23, 1968, s. 29 -40.

Model CAPM współczynnik β dla β = 1 otrzymamy portfel rynkowy (R = RM) dla β = 0 otrzymamy portfel złożony z instrumentów nieryzykownych (R = Rf) dla β > 1 otrzymamy portfel agresywny (R > RM) dla β < 1 otrzymamy portfel defensywny (Rf < RM) dla β < 0 otrzymamy portfel o stopie zwrotu mniejszej od papierów nieryzykownych (R < Rf)

SML – interpretacja graficzna Rys. 3. Graficzna interpretacja modelu SML. Źródło: opracowanie własne • Wykres przedstawia SML. Linia SML pokazuje mechanizm dążenia rynku do równowagi. • Na linii leżą portfele tzw. dobrze wycenione. Portfel jest „dobre wyceniony”, gdy leży na SML, oznacza to wówczas, że oczekiwana stopa zwrotu tego portfela jest taka sama jak większości portfeli o tym samy współczynniku beta. • Portfele A, B i C to przykłady dobrze wycenionych portfeli defensywnych. • Portfel D jest dobrze wycenionym portfelem agresywnym. • Szczególnymi przykładami są portfele M (portfel rynkowy) oraz F (portfel złożony z papierów nieryzykownych). • Portfel X jest niedoszacowany (tzn. zbyt tani, ma zbyt niską cenę). • Portfel Y jest przeszacowany (za drogi).

Podumowanie • H. Markowitz i W. Sharpe są pionierami teorii budowy portfela instrumentów finansowych. • Stworzyli teoretyczne, formalne modele budowy portfela na rynku finansowym. • Wykorzystywali „w praktyce” własne teorie. • Ich modele mają szereg założeń, które budzą pewne kontrowersje. • Ich prace były i nadal są inspiracją dla wielu naukowców zajmujących się rynkami finansowymi, podlegają licznym modyfikacjom i interpretacjom. • Za swój wkład do nauki ekonomii zostali wyróżnieni w 1990 roku „ekonomicznym Noblem”.

Bibliografia • • • Fama E. , Risk, Return and Equilibrium: Some Clarifying Comments, Journal of Finance, no. 23, 1968. Frängsmyr T (ed. ), The Nobel Prizes 1990, Nobel Foundation, Stockholm, 1991 Harry M. Markowitz – Biographical, The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1990. Jajuga K. , Równowaga rynku kapitałowego – pół wieku historii rodziny CAPM, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, nr 768; Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia, nr 63, 2013. Markowitz H. , Portfolio Selection, Journal of Finance, vol. 7, 1952. Markowitz H. , Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment, Yale University Press, New Haven, 1959. Sharpe W. , Capital Asset Prices – A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk, Journal of Finance, no. 19, 1964. Tarczyński W. , Ocena różnych wariantów fundamentalnego portfela papierów wartościowych, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, nr 371, 2014. William F. Sharpe – Biographical, The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 1990. www. nobelprize. org

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ…! H. MARKOWITZ I W. SHARPE ANALIZA PORTFELOWA I RYNKI FINANSOWE W TEORII I PRAKTYCE dr Tomasz Uryszek INSTYTUT FINANSÓW WYDZIAŁ EKONOMICZNO-SOCJOLOGICZNY UNIWERSYTET ŁÓDZKI Łódź, marzec 2016