PROGRAM WYKADU Analiza obwodw liniowych pobudzanych okresowymi przebiegami
PROGRAM WYKŁADU • Analiza obwodów liniowych pobudzanych okresowymi przebiegami niesinusoidalnymi. – Szereg Fouriera w postaci trygonometrycznej i wykładniczej – współczynniki charakteryzujące przebiegi odkształcone, – moce: czynna, bierna i odkształcenia, 1
Analiza obwodów liniowych pobudzanych okresowymi przebiegami niesinusoidalnymi 1. Szereg Fouriera 2
Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf, jeżeli funkcja ta spełnia warunki Dirichleta: v w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) jest bezwględnie całkowalna, czyli 3
v w każdym przedziale o długości T funkcja f(t) ma co najwyżej skończoną liczbę maksimów i minimów, v funkcja f(t) może mieć w przedziale o długości T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice – lewostronna i prawostronna. 4
5
Uwaga: Szereg Fouriera funkcji f(t) zbiega się do f(t) we wszystkich punktach gdzie jest ona ciągła natomiast w punktach nieciągłości ti zbiega się do wartości 6
7
Pierwsza postać trygonometryczna: gdzie Składowa stała (harmoniczna zerowa): k-ta harmoniczna: Np. 1 -sza harmoniczna : 8
9
Druga postać trygonometryczna: 10
Podstawowe klasy funkcji okresowych • • Przemienne Parzyste Nieparzyste Antysymetryczne (o odwrotnej zgodności półokresów) 11
1. Funkcje przemienne Wartość średnia za okres jest zerowa pole=1*1 pole=-0. 5*2 12
Funkcje parzyste . . W rozwinięciu nie może wystąpić składnik sinusoidalny 13
Funkcje nieparzyste . . W rozwinięciu nie może wystąpić składnik cosinusoidalny 14
Funkcje antysymetryczne Warunek ten narusza składowa stała oraz wyrazy parzystego rzędu . Czyli: 15
1. Przykład funkcji antysymetrycznej f(t) T 16
2. Przykład funkcji antysymetrycznej . . 17
Obliczanie współczynników . . 18
Obliczanie współczynników Wzory pomocnicze A 19
B C 20
Wyprowadzenie dla Ck. Rozpatrujemy wyrażenie: C, B 21
Wzór ostateczny na współczynnik Ck (współczynnik przy funkcji cos) 22
Wyprowadzenie dla Bk. Rozpatrujemy wyrażenie: A, C 23
Wzór ostateczny na współczynnik Bk (współczynnik przy funkcji sin) 24
Funkcje parzyste . dla 25
Funkcje nieparzyste . dla 26
Funkcje antysymetryczne Z definicji funkcji antysymetrycznych wynika (k nieparzyste): . 27
Dla k nieparzystego: k=1, 3, 5, . . . . 28
k=1, 3, 5, . . Dla funkcji parzystych i antysymetrycznych: Funkcje antysymetryczne i nieparzyste: 29
Przykład Funkcja antysymetryczna i nieparzysta 30
31
Dla przebiegu trójkątnego: 32
Dla przebiegu prostokątnego: 33
Postać wykładnicza szeregu Fouriera . . 34
Stosując oznaczenia: 35
oraz uwzględniając właściwości współczynników: 36
OTRZYMAMY WYKŁADNICZĄ POSTAĆ SZEREGU FOURIERA 37
gdzie 38
jak? 39
Jak wyznaczyć zespolone współczynniki Vk? Do wzoru podstawiamy 40
41
Wyznaczyć wykładniczą postać szeregu Fouriera sygnału przedstawionego na rysunku oraz narysować widmo amplitudowe i fazowe. 42
Analityczny opis funkcji f(t): Poszukujemy szeregu o postaci: 43
gdzie: uwzględniając całkę: 44
wyjaśnienie całkowanie przez części: 45
czyli: 46
Ostatecznie: 47
otrzymamy dla 48
dla 49
skąd ostatecznie: widmo amplitudowe jest postaci: 50
widmo fazowe 51
• Widmem zespolonym sygnału okresowego nazywamy ciąg współczynników rozwinięcia funkcji okresowej f(t) w zespolony szereg Fouriera. 52
• Widmem amplitudowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : • Widmem fazowym nazywamy ciąg liczb rzeczywistych : 53
• Z zależności Wynika, że widmo amplitudowe jest funkcją parzystą, a fazowe nieparzystą 54
Aproksymacja sygnału reprezentacja sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów szeregu Fouriera (sumą częściową) Stąd definiuje się pojęcie błędu aproksymacji: 55
Za miarę tego błędu przyjmuje się wartość skuteczną sygnału błędu: Można wykazać, że 56
Kryterium dokładności aproksymacji sygnału okresowego f(t) jego sumą częściową jest zazwyczaj błąd względny Na jego podstawie można wyliczyć liczbę wyrazów sumy częściowej zapewniającą aproksymację sygnału f(t) o założonej dokładności. 57
58
59
60
Zjawisko Gibbsa (cd) • Zwiększenie liczby wyrazów w sumie częściowej zmniejsza błąd aproksymacji • Ale w sygnałach o skokowych zmianach wartości w otoczeniu punktów nieciągłości występują niekorzystne oscylacje funkcji (sygnału) efekt Gibbsa 61
Zjawisko Gibbsa (cd) • Można wykazać, że w otoczeniu punktu nieciągłości (w którym funkcja okresowa zmienia wartość skokowo) skończony szereg aproksymujący posiada oscylacje, z których największa przyjmuje wartość ~9% wartości skoku w punkcie nieciągłości 62
9% 100% 63
1) ZADANIE 1) Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera oraz wykładniczego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji. x(t) Am 1 T/2 t Am 2 T 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 64 64
Rozwiązanie: Tabela 1 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ak 0 0 0 0 0 bk 0 0 0 0 0 Am 0 1. 621 0 -0. 18 0 -0. 065 0 -0. 033 0 0. 02 0 -90 0 -90 0 k Φk 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 65 65
WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 66 66
SYNTEZA PRZEBIEGU: • DLA N=50 HARMONICZNYC H 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 67 67
DLA N=3 DLA N=10 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 68 68
PRZYKŁAD 2 1) Okresową funkcję przedstawioną na rysunku opisz za pomocą trygonometrycznego szeregu Fouriera. Korzystając z otrzymanych zależności narysuj widmo amplitudowe i fazowe tej funkcji. 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 69 69
Rozwiązanie: 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 70 70
10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 71 71
WIDMO AMPLITUDOWE WIDMO FAZOWE 10/31/2020 PTS 2015/6 PŁ 72 72
n=10 n=50 Synteza sygnału n=200 10/31/2020 Efekt Gibbsa PTS 2015/6 PŁ 73 73
Podsumowanie: q Funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić w postaci szeregu utworzonego ze składowej stałej oraz funkcji sinusoidalnych o częstotliwościach kf (k ) q Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera q Suma składowej stałej i harmonicznych o postaci gdzie 74
Podsumowanie (cd) q Istnieją trzy postacie szeregu Fouriera (cd) q Suma składowej stałej i funkcji cosinusoidalnych i sinusoidalnych q Suma składników zespolonych (zespolony szereg Fouriera) 75
Podsumowanie (cd) q Podstawowe wzory umożliwiaące obliczenie współczynników drugiej postaci: 76
Podsumowanie (cd) q Podstawowe relacje między postaciami szeregu (I i II) 77
Podsumowanie (cd) q Związki między współczynnikami postaci trygonometrycznej i wykładniczej: • Wsp. zespolony • Wsp. postaci trygonometrycznych 78
Rozpatrzmy dwie funkcje okresowe 79
TWIERDZENIE PARSEVALA Jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi zależność 80
Dowód. Zależności pomocnicze: 81
Dowód (cd) 82
Dowód (cd) 83
84
85
86
87
Współczynnik szczytu funkcji okresowej (s) • Stosunek wartości maksymalnej funkcji okresowej do jej wartości kutecznej Dla sinusoidy: 88
Współczynnik kształtu funkcji okresowej (k) • Stosunek wartości skutecznej funkcji okresowej do wartości średniej z modułu tej funkcji Dla funkcji sinusoidalnej: 89
• Obliczenie wartości średniej 90
wartość skuteczna i-tej harmonicznej 91
współczynnik zawartości 1 -szej harmonicznej składowa stała (harmoniczna zerowa) 92
93
Obwody liniowe pobudzane odkształconymi okresowymi napięciami i prądami źródłowymi 94
Obwody liniowe pobudzane odkształconymi okresowymi napięciami i prądami źródłowymi 95
Przykład (z książki) Dane: R = 10 k , 0 L = 5 k , . 96
Obliczenia dla składowej stałej 97
Obliczenia dla pierwszej harmonicznej 98
Obliczenia dla trzeciej harmonicznej 99
Wpływ indukcyjności na wyższe harmoniczne prądu i napięcia L k > 1 100
Wpływ pojemności na wyższe harmoniczne prądu i napięcia C k > 1 101
Przebieg prądu cewki 102
Przebieg napięcia cewki 103
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych • Moc czynna: 104
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (2) 105
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (3) 106
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (4) 107
108
109
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (5) 110
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (5) 111
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (6) Moc pozorna Definicja mocy odkształcenia 112
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych (7) PRZYKŁAD Prąd cewki: Napięcie na zaciskach cewki wynosi: 113
PRZYKŁAD (cd) 114
- Slides: 114