Broj vadratura ruga Simbolika kruga Planimetarija stereometrija uklidska

Broj π Кvadratura кruga Simbolika kruga Planimetarija stereometrija Еuklidska geometrija 1. Krug Zadaci Trigonometrija Analitička geometrija Arhitektura Analiza

, , Pogledajte, kroz mikroskop, ćelije organa, videćete da se sav život u loptama i krugovima slaže i razlaže. Svugde je krug, i svugde odredjuje i pobedjuje centrum. . . Sve što je materija krug je, i sve što nije materija krug je. Bog je krug, magla je krug, život je krug, organizam je krug, društvo je krug. . . Jer je svud carstvo istoga i jednakog udaljenja. . . , a čovek udara glavom o zid i razbija se o periferiju onog središta, kome je rob. , , Isidora Sekulić (Prozni radovi, KRUG)

SIMBOLIKA KRUGA l l Krug spada u temeljne simbole, pored tačke, kvadrata i krsta , , Krug je arhetipska slika celovitosti psihe, , K. G. Jung Teologija pravi analogiju: središte (Bog) – krug (stvaranje) U hrisćanstvu krug je simbol večnosti; u islamu krug je apsolut, krug oko Božije nedostupnosti l U Zen budizmu koncentrični krugovi duhovni su nivoi l Krug u kvadratu simbol je iskre božanskog u materiji - Kabala l l l Krug je i magijska zaštita u svim civilizacijama i poprima oblike prstena, narukvice, ogrlice, krune… U filozofiji KRUG i KVADRAT simbolizuju ljudsku dijalektiku izmedju transcedentnog, nebeskog (krug) i zemaljskog, materijalnog (kvadrat). , , Krug je figura savršena, i jedinstvena u svojoj jednostavnosti i beskonačnosti” Ranko Radović , , Savremena arhitektura”

KVADRATURA KRUGA Arhimed • Jedan od tri nerešiva problema Antike je kvadratura kruga: KONSTRUISATI KVADRAT ISTE POVRŠINE KAO KRUG! • Hiljadama godina problem zaokuplja pažnju matematičara. Tek u XX veku dokazana je nerešivost problema geometrijskim sredstvima. • Danas je izraz kvadratura kruga metafora za besmisleno! • Ova oblast matematike nazvana je pseudomatematika, a lekarska dijagnoza za obuzete problemom glasi morbus ciclometricus! • Analogon krugu i kvadratu u prostoru su kocka i lopta. Njihova kombinacija česta je u arhitekturi: KOCKA I KUPOLA. • “KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA ARHITEKTURE!” Ledu, arhitekt

LUDOLFOV BROJ π π je ne samo IRACIONALAN, već i TRANSCEDENTAN broj! (nije rešenje nijedne algebarske jednačine). Rindov papirus Zato je geometrijska konstrukcija broja π nemoguća! (Lindeman, 1882) TRANSCEDENTNOST BROJA π JE ODGOVORNO ZA NEREŠIVOST KVADRATURE KRUGA! • Vavilon i Biblija nalaze π = 3 • U Egiptu 2000 g. p. n. e. Ahmes (Rindov papirus) daje: π = (16/9)² = 3, 16 • Arhimed 280 (god. p. n. e. ) određuje granice broja π metodom dvostranog iscrpljivanja tj. upisivanjem i opisivanjem mnogouglova u krug. Došavši do 96 -ugla Arhimed daje granice broja π: 223/71 < π < 22/7 tj. • π≈3, 14 Ludolf van Kalen (XIIv. ) nalazi 35 decimala broja π ( Ludolfov broj π) U Muzeju otkrića u Parizu, može se očitati sedam stotina sedam decimala broja π ispisanih po zidovima elipsaste palate!

PLANIMETRIJA I STEREOMETRIJA Arhimed l l l Do Arhimeda (III vek p. n. e. ) stare civilizacije površinu kruga određuju samo približno. Arhimed (287 -212 god. p. n. e. ) iz Sirakuze najveći је univerzalni um starog veka, jedan od tri mudraca Antike po Plutarhu. Studirao je u Aleksandriji, tadašnjem kulturnom centru sveta. Formule vezane za krug, loptu (l), valjak (v), kupu (k) odredio je Arhimed: Vl=2/3 Vv Vk=1/3 Vv Vl=(Vv+Vk)/2 Na Arhimedovom skromnom grobu u Sirakuzi nalaze se valjak i upisana lopta po njegovoj želji. “Metod” je jedino sačuvano Arhimedovo delo, koje je inspirisalo najveće matematičke umove tokom stoleća.

ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA VEZANI ZA PLANIMETRIJU I STEREOMETRIJU 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Oko kruga je opisan jednakokraki trapez čija je srednja linija 5 cm. Naći krak i obim trapeza. Naći poluprečnik kružnice opisane oko pravouglog trougla a=3, b=4. U kružnicu poluprečnika R upisane su tri jednake kružnice koje se dodiruju. Naći poluprečnik r upisanih kružnica. Dokazati da je zbir prečnika opisane i upisane kružnice pravouglog trougla, jednak zbiru njegovih kateta. U loptu je upisana kupa. Ako je prečnik osnove kupe jednak njenoj izvodnici, naći odnos zapremina lopte i kupe. U pravoj kupi čiji je prečnik jednak izvodnici, upisana je lopta. Naći odnos njihovih zapremina. Neka je ABCD tetraedar ivice a. Ako je K(O, R) opisana, a k(O, r) upisana sfera datog tetraedra, naći odnos R: r. Na horizontalni sto postavljene su četiri lopte poluprečnika r=3√ 2, tako da svaka dodiruje dve susedne, a dodirne tačke sa stolom obrazuju kvadrat. Na ove četiri lopte postavljena je peta lopta istog poluprečnika, koja dodiruje četiri prethodne. Naći rastojanje centra pete lopte od stola i izračunati V piramide čija su temena centri ovih pet lopti.

EUKLIDSKA GEOMETRIJA l Sa stanovišta euklidske geometrije: KRUG JE SKUP TAČAKA U RAVNI podjednako udaljenih od unapred zadate tačke. l Euklid l l l Euklid (IIIv. p. n. e. ) stanovnik aleksandrijske biblioteke napisao je čuveno delo , , Elementi, , gde je sakupio sva dotadašnja geometrijska znanja i zasnovao prvi i neprikosnoveni deduktivni sistem Epitet kraljice nauka matematika duguje Euklidu i geometriji! Euklidska geometrija je deduktivni logički sistem koji čine: nedefinisani pojmovi (tačka, prava, ravan), definisani pojmovi, aksiome, teoreme, dokazi. U XIX veku poljuljani su temelji euklidske geometrije. Zasnovana je nova geometrija koja ne počiva na iskustvu - neeuklidski prostor! , , Da nisu verovali u Njutna, teoriju relativiteta mogli su formirati pre Njutna Anri Poenkare i Ernst Mah. Slično tome, Gaus je pre Lobačevskog i Boljaija mogao formulisati principe neeuklidske geometrije!, , Akademik dr Mirko Stojaković

ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA VEZANI ZA EUKLIDSKU GEOMETRIJU 1)Ako je ABCD romb, dokazati vektorske jednakosti: →AB=1/2(AC-BD) i BC=1/2(AC+BD) 2) Neka je T težiste trougla ABC i neka je O proizvoljna tačka ravni ABC. Dokazati 3 OT=OA+OB+OC. 3)Neka su A 1, B 1 i C 1 sredine redom stranica BC, CA i AB trougla ABC i neka je vektor AB=p i BC=q. Izraziti vektore AA 1, BB 1 i CC 1 u zavisnosti od vektora p i q. Dokazati da je AT+BT+CT=0, gde je T težište trougla ABC. 4)Ako su D, E i F redom sredine stranica BC, CA i AB trougla ABC, dokazati vektorske jednakosti: a) 2 AB+3 BC+CA=2 FC b) AD+BE+CF=0 5)U četvorouglu ABCD tačke M, P, N i Q su sredine redom stranica AB, BC, CD i DA. Dokazati da je NM+QP=DB Jupiter

TRIGONOMETRIJA l l l Ptolomej l l l Trigonometrija su odnosi izmedju kruga i prave, odnosi izmedju lukova i tetiva. Naći dužinu tetive u funkciji poluprečnika! Trigonometrija je bila tek instrument astronomije! Hiparh (II vek p. n. e. ) je napravio prve tablice tetiva koje su izgubljene. On se smatra praocem trigonometrije. Ptolomej (II vek p. n. e. ) pravi tablice koje su korespodencija dužine tetiva i lukova. To je primer prve funkcije u matematici! Indijci tablicu tetiva zamenjuju tablicama sinusa (sinus je polutetiva). Cela tajna trigonometrije sadržana je u trigonometrijskom krugu. DEFINICIJA: TRIGONOMETRIJSKI KRUG JE KRUG SA CENTROM U KOORDINATNOM POČETKU I POLUPREČNIKOM 1.

ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA VEZANI ZA TRIGONOMETRIJU 1) U skupu R reši: 4 sin² 2 x + 9 cos 2 x – 4 = 0 Saturn 2) U skupu R reši: 2 cos²x + 3 sinx – 3 = 0 3) Odredi sin(α+ß), ako se zna da je cosα=cosß=-4/5, gde α pripada (π/2, π), a ß pripada (π, 3π/2) 4) Reši trigonometrijsku jednačinu: cos 2 x=sinx

ANALITIČKA GEOMETRIJA l l l Do XVII veka geometrija ima apsolutni primat u matematici! Dekartov pravougli koordinatni sistem prevodi tačku u uredjenu dvojku (trojku), dakle prevodi tačku na broj! Jednačina neke krive omogućava da upoznamo sva svojstva krive – otkriće, skoro istovremeno, Dekarta i Ferma (XVII v). Rene Dekart ALGEBRIZACIJA GEOMETRIJE UPROSTILA JE PROSTOR! l l Apolonije (III vekp. n. e. ) u svom delu , , Konusni preseci, , začetnik je iste ideje. U konusne preseke spadaju: Krug, Elipsa, Parabola i Hiperbola ! Jednačina kruga K(O(p, q), r) : Pjer Ferma

ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA VEZANI ZA ANALITIČKU GEOMETRIJU 1) Napisati jednačine tangenti kružnice (x-2)²+y²=1 koje prolaze kroz koordinatni početak. 2) Naći presečne tačke kruga x²-9 x+y²+4=0 i parabole y²=4 x, kao i površinu figure koju obrazuju tačke preseka. 3) Naći tangente kruga x²+y²=1 kroz tačku M(√ 2/2, √ 2/2). 4) Data je elipsa x²/9 + y²/4=1 i na njoj tačka A(3/2, √ 3). Naći poluprečnik kružnice k čiji je centar O (2, √ 3), tako da tangenta elipse u tački A bude istovremeno i tangenta kružnice k. 5) U jednakoivičnu četvorostranu piramidu upisana je sfera poluprečnika R=√ 2/(1+√ 3). Izračunaj V piramide. 6) Napisati jednačinu kružnice koja prolazi kroz tačke: A(-1, 6) i B(1, 4), a centar joj leži na pravoj x+2 y-4=0. 7) Naći površinu trougla ograničenog tangentama kružnice x²+y²+4 x-6 y-13=0, povučenim u tačkama sa apscisom x=3 i sečicom kroz dodirne tačke.

ANALIZA Isak Njutn Arhimed: , , Uvek možeš umnožavavanjem malog , nadmašiti ma kako veliko, , ! • Inspirisani Arhimedovim radovima, skoro istovremeno Njutn i Lajbnic (XVII vek) zasnivaju teoriju Infinitezimalnog računa! • Sa aspekta analize POLUKRUG JE FUNKCIJA! (krug nije). y=±√r²-x² opisuje pozitivni i negativni polukruga x²+y²=r² Primenom integrala moguće je dokazati važnost svih formula planimetrije i stereometrije. • Obim kruga dobija se primenom formule za dužinu luka krive • Površina kruga dobija se primenom formule za površinu ravnih likova • Površina lopte dobija se primenom formule za površinu obrtnih tela • Zapremina lopte dobija se primenom formule za zapreminu obrtnih tela

ZADACI VEZANI ZA ANALIZU 1) Dokazati formule vezane za obim, površinu kruga, kao i površinu i zapreminu lopte pomoću integrala, ako je zadati krug centralni krug: Isak Njutn x ²+y²=r² Komentar: Posmatramo centralni krug, jer se svaki krug odredjenim izometrijskim transformacijama može preslikati u centralni krug, sa istim obimom i površinom. Lajbnic

PRIMENA KRUGA I SFERE U ARHITEKTURI “Na šta se sve arhitektura oslanja: na matematiku, sa njenim brojevima i njihovim zakonima (proporcije, razmere, tela, prodori), na prirodu i njene principe i oblike, na svet tehnika i mašina, na druge umetnosti, na činjenice kulture (mitovi, religije, jezik), sve do onog čuvenog Korbizjeovog paradoksa da je čovek geometrijska životinja!” Ranko Radović, “Savremena arhitektura, , Njutnov nadgrobni spomenik