Maturski rad Furijeova analiza periodinih kretanja u mehanici

Maturski rad Furijeova analiza periodičnih kretanja u mehanici, modulacija iz predmeta: Mehanika sa teorijom relativnosti Mentor: Ljubiša Nešić Aleksandra Cerović

�Francuski matematičar i fizičar Žan Baptist Furijer (1786 -1830) otkrio je da bilo koji neprekidni, ponovljivi talasni oblik može da se izgradi od sinusnih i kosinusnih talasa. Rastavljanje kompleksnog talasnog oblika na komponentne u njegovu čast je nazvano Furijeova analiza se na neki način može posmatrati kao svojevrsna matematička „prizma“.

Vrste kretanja u mehanici Mehaničko kretanje posmatranog tela predstavlja promenu položaja tog tela u odnosu na bilo koje drugo telo. Kada se neko telo kreće, razni njegovi delići mogu se kretati na isti ili na različite načine. U vezi sa tim postoje dva osnovna oblika kretanja: translatorno i rotaciono. Translatorno kretanje je oblik kretanja pri kojem se sve tačke tela kreću na isti način; duž koja spaja bilo koje dve tačke tela pomera se paralelno samoj sebi.

Rotaciono kretanje je oblik kretanja pri kojem sve tačke tela opisuju kružne putanje u paralelnim ravnima, a centri tih kružnica leže na jednoj pravoj koja se zove osa rotacije. U prirodi postoji veliki broj sistema čije se kretanje ponavlja u određenim vremenskim intervalima: kazaljke na satu, žica na gitari, parčići plute na zatalasanoj površini vode… Sva ova kretanja spadaju u takozvana periodična kretanja. U skladu s tim se vremenski period posle koga se ovakva kretanja ponavljaju naziva period. Oscilatorno kretanje predstavlja takvo kretanje kod koga je period uvek isti, a tela prolaze kroz određeni položaj čas u jednom, čas u suprotnom smeru. Položaj oko koga telo osciluje je ravnotežni položaj. Za vreme oscilovanja periodično se transformiše potencijalna energija u kinetičku i obrnuto.

Slaganje oscilacija istog pravca Ako se oscilatorno kretanje sastoji iz dva oscilovanja duž iste prave, elongacije tih kretanja su date izrazima: gde a predstavljaju amplitude, ugaone frekvencije, početne faze oscilacija. Ukupna elongacija će pri tome biti njihov zbir: Kako je rezultujuće kretanje takođe oscilatorno trebalo bi da ima sledeći oblik:

Slika 1. Rezultat slaganja dve harmonijske oscilacije čije frekvencije stoje u odnosu 1: 3, a amplitude 1: 1/3 Slika 2. Rezultat slaganja tri harmonijske oscilacije čije frekvencije stoje u odnosu 1: 3: 5, a amplitude 1: 1/3: 1/5

Ako se ovakav postupak nastavlja i dalje (dodavanje novih harmonijskih oscilacija sve veće i veće frekvencije) lako je zaključiti da će rezultat slaganja biti oscilacija koja će sve više da podseća na pravougaonu oscilaciju. Ova oscilacija se dakle može prikazati kao sledeći beskonačni zbir

Furijeovi redovi pokazuju kako se u opštem slučaju periodične funkcije razvijaju u beskonačne sume sinusa i kosinusa. Neka funkcija f(x) predstavlja periodičnu funkciju koju razlažemo i koja je sastavljena od funkcija oblika gde ω predstavlja ugaonu frekvenciju, t vreme, a početnu fazu. Kako predstavlja određenu konstantu, i i će takođe biti konstante, pa se svaka periodična neprekidna funkcija f(t) sa periodom T matematički može predstaviti na sledeći način:

Član predstavlja zapravo srednju vrednost tokom jednog perioda, od t=0 do t=T (naime srednja vrednost sinusnih i kosinusnih funkcija tokom jednog perioda je 0, tokom 2, 3, bilo kojeg celog broja perioda takođe je 0, dakle srednja vrednost svih članova sa desne strane jednačine, sem jednaka je 0), pa se računa kao Ostali koeficijenti koji se nalaze uz sinuse i kosinuse dobijaju se na sledeći način

Furijeov red u kompleksnoj formi Furijeov red funkcije f može da se prikaže i u kompleksnom obliku. Veza između trigonometrijskih (sinusnih i kosinusnih) i kompleksnih eksponencijalnih funkcija data je Ojlerovom formulom Opšti član Furijeovog reda može se napisati u obliku

Ako se uvedu oznake Furijeov red funkcije f se može zapisati kao

Parne i neparne funkcije Posebno interesantne funkcije za Furijeovu analizu su parne i neparne funkcije. Kada je funkcija parna za nju važi: To je moguće jedino ukoliko su koeficijenti uz sinusne sabirke jednaki nuli, tj. i u tom slučaju razvoj funkcije u red predstavljen je na sledeći način:

Parne i neparne funkcije Za neparnu funkciju, odnosno funkciju koja menja znak prilikom promene znaka argumenta važi: U ovom slučaju koeficijent , kao i svi koeficijenti uz kosinuse ( ) moraju da budu jednaki nuli, pa je razvoj funkcije oblika

Prekidne funkcije Ukoliko međutim funkcija f(t) nije neprekidna, Furijeova suma neće dati tačnu vrednost. Npr. ako imamo sledeću funkciju: Furijeova suma će dati tačnu vrednost u svakoj tački, osim u tački , gde će dati 1/2 , umesto 1. Ovakve funkcije se rešavaju na sledeći način: umesto rešavanja jednog integrala od 0 do T, prethodni primer bi rešili rešavanjem dva integrala, u granicama (0, ) i ( , T).

Modulacija Uopšte pod modulacijom nekog signala podrazumevamo njegovu obradu. Jedan od glavnih razloga za obradu signala je da se dati signal „pripremi“ za kanal kroz koji se šalje, kako bi se što uspešnije preneo, zatim kako bi se smanjila verovatnoća greške pri prenosu (tj. izobličenja talasnog oblika datog signala usled uticaja smetnji u vidu šuma) i snaga potrebna za prenos datog signala. . . Cilj modulacije jeste da se uz pomoć jednog deterministićkog signala (signala koji u potpunosti možemo opisati uz pomoć matematićkih funkcija) modifikuje ulazni signal (signal koji nosi željenu informaciju i koji se ne može matematički opisati) kako bi se obezbedio prenos date poruke.

Signal koji nosi orginalnu poruku zove se modulišući signal, pomoćni signal koji se koristi zove se nosilac, a novonastali signal se zove modulisani signal. Uređaj koji vrši modulaciju naziva se modulator, uređaj koji vrši suprotnu operaciju (dobijanje originalnog modulišućeg signala od modulisanog) naziva se demodulator, a uređaj koji može da vrši obe operacije naziva se modem. Nosilac i signal informacije se unose u modulator, signal informacije menja nosilac na neki način, a zatim se pojačan, moduliran nosilac šalje u antenu ili kabl za prenos. Kada prijemnik “uhvati” signal, on se šalje u demodulator, na čijem izlazu se dobija originalni signal informacije.

Kako sinusni talas (nosilac) može biti opisan pomoću tri parametra: amplitude, frekvencije i faze. Zavisno koji deo nosioca pravimo direktno proporcionalnim modulišućem signalu razlikujemo 3 osnovne vrste modulacija: Amplitudna modulacija (AM), Frekventna modulacija (FM), Fazna modulacija (PM). FM i PM se jednim imenom nazivaju ugaone modulacije.

Slika 3. Amplitudna modulacija: Nosilac, modulišući i modulisan signal Slika 4. Fazna modulacija: noseći signal, modulišući signal, modulisan signal

Slika 5. Frekventna modulacija: modulišući signal i FM nosilac