Furijeova transformacija Pretpostavljamo da je signal stacionaran Furijeova

Furijeova transformacija Pretpostavljamo da je signal stacionaran

Furijeova transformacija

Furijeova transformacija Analiza nestacionarnih signala

“Kratkotrajna” Furijeova transformacija (Short Time Fourier Transform - STFT) Uvodi se “lokalna frekvencija”, tj. spektralne komponente u određenom trenutku n Ova notacija je slična notaciji koja se koristi u muzici, notama se prikazuju frekvenicje koje se sviraju u određenom vremenskom trenutku n “Kratkotrajna” Furijeova transformacija djeluje na jedan dio nestacionarnog signala koji možemo smatrati stacionarnim, a koji se vidi kroz prozor konačnog trajanja pomjeren u određeni trenutak n. Dobijamo predstavu u ravni vrijeme-frekvencija n

Kratkotrajna Furijeova transformacija §Parametar f je sličan frekvenciji kod Furijeove transformacije §Zavisnost od oblika prozora §Alternativna interpretacija preko “banka filtara” §Rezolucija u vremenu i frekvenciji ne može istovremeno biti proizvoljno mala §Hajzenbergova nejednakost (Gausov prozor)

Multirezoluciona analiza U cilju prevazilaženja ograničenja STFT u pogledu rezolucije, dopušta se da rezolucije u vremenu i frekvenciji variraju. Intuitivno, sa porastom frekvencije rezolucija u vremenu treba da raste da bi bili u mogućnosti da uočimo kratkotrajne nagle promjene signala: Banka filtara koja se koristi za analizu signala tad ima konstantan relativni propusni opseg, tzv. “constant-Q” analiza.

Multirezoluciona analiza Za razliku od STFT, WT koristi “uske” (kratkog trajanja ) prozore na visokim frekvencijama, a “široke” prozore na niskim frekvencijama. Na taj način je moguće postići proizvoljno veliku rezoluciju u vremenu na visokim frekvencijama i proizvoljno veliku rezoluciju u frekvenciji na niskom frekvencijama. Prema tome, ova vrsta analize je dobra za signale koji imaju visokofrekventne komponente kratkog trajanja i niskofrekventne komponente dugog vremenskog trajanja, što je veoma čest slučaj u praksi. Kontinualna Wavelet (talasić) transformacija prati ovaj princip uz uvođenje dodatnog pojednostavljenja: svaki impulsni odziv iz banke filtara se definiše kao skalirana verzija prototipa h( t ).

Multirezoluciona analiza Podjela vremensko-frekvencijske ravni i bazisne funkcije STFT i WT.

Kontinualna Wavelet transformacija Ako se posmatra interpretacija preko banke filtara onda koeficijenti kontinualne Wavelet transformacije predstavljaju filtrirani dio signala kroz odgovarajuće propusnike opsega. Posmatrano u vremenu ovi koeficijenti daju mjeru sličnosti (autokorelacija) signala sa baznim funkcijama – wavelet-ima:

Kontinualna Wavelet transformacija Ako je filtar sa impulsnim odzivom h(t) propusnik opsega i ako ima konačnu energiju onda važi i inverzna WT: gdje je c je konstanta koja zavisi samo od izbora h( t ) Dakle, moguće je signal predstaviti preko skaliranih i pomjerenih verzija originalnog (majka) wavelet-a. Wavelet-i se ponašaju slično kao ortogonalne baze. Sinteza signala se dobije kad se sumiraju sve orogonalne projekcije signala na wavelet-e. Iako ne čine ortogonalnu bazu već sadrže velik stepen redundantnosti, sinteza je moguća pod navedenim uslovom.

Kontinualna Wavelet transformacija u osnovi imaju ideju posmatranja signala na različitim skalama i sa različitim rezolucijama. Interpretacija (*): sa porastom skale impulsni odziv filtra se širi u vremenu. Interpretacija (**): sa porastom skale se kroz prozor fiksne dužine vidi sve veći dio signala jer se vrši njegovo komprimovanje. Na ovaj način posmatrano vidimo da skala kod WT ima isto značenje kao skala na mapama: velika skala odgovara globalnom pogledu, dok mala skala odgovara detaljnom pogledu. Na malim skalama bolje su uočljivi promjene (detalji) signala tako da mala skala odgovara visokim frekvencijama i obrnuto.

Kontinualna Wavelet transformacija WT preslikava signal u domen vrijeme-skala. STFT

Kontinualna Wavelet transformacija spektogram (STFT) Dirakov impuls tri sinusoide skalogram (WT)

Kontinualna Wavelet transformacija

Diskretizacija kontinualne Wavelet transformacije Ako je u ravni vrijeme-frekvencija odmjeravanja za skalu a 0 jednaka f 0, onda je za skalu a 1>a 0 frekvencija odmjeravanja: Odmjeravanje se vrši na dijadičkoj rešetci: Ova relacija postaje jednakost ako se pronađe takav h(t) da wavelet-i čine ortonormalnu bazu.

Diskretna Wavelet transformacija Zbog svojih karakteristika u frekvencijskom domenu diskretni Waveleti se biraju za impulsne odzive filtara kod: n Piramidalnog kodovanja n Podopsežnog kodovanja

Multirezoluciona piramida Podsjetimo se: na velikim skalama prošireni wavelet-i daju globalni pogled (signal sabijen - subsampled), dok na malim skalama uski wavelet-i analiziraju male detalje (razvučen signal). g(n) – impulsni odziv NF filtra sa propusnim opsegom jednakim polovini cijelog opsega

Multirezoluciona piramida

Multirezoluciona piramida Po Nikvistovom kriteriju, zbog odsijecanja pola opsega, moguće je uraditi subsampling, odnosno ispustiti svaki drugi odmjerak: Rezolucija se promijenila, izgubilo smo visokofrekventne detalje. Promijena skale se desila zbog subsampling-a, tako da pomak za dva u originalnom signalu rezultuje pomakom za jedan u filtriranom signalu.

Multirezoluciona piramida Rekonstrukcija: § upsampling sa dva (ubacivanje po jedne nule između svaka dva odmjerka) § interpolacija sa idealnim polupojasnim NF filtrom x(n) se može rekonstruisati ako znamo a(n) i d(n) Redundantnost: d(n) sadrži samo VF detalje signala x(n) a odmjeren je kao x(n), može se uzeti dva puta manje odmjeraka!

Podopsežno kodovanje §Nema redundantnosti §Prva primjena u kompresiji govora

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i Uobičajen način dvodimenzionalnog proširenja je da se koristi tzv. “separabilni wavelet-i”. 2 D skalirajuća funkcija i 2 D wavelet funkcije se dobiju kao separabilni proizvodi 1 D skalirajuće funkcije i 1 D wavelet-a: Separabilna dvodimenzionalna banka filtara. Subsampling sa 2 po svakoj dimenziji, tako da je promjena skale 4 puta.

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i Multirezoluciona reprezentacija slike se u svakom nivou dekompozicije sastoji od jedne diskretne slike aproksimacije na nižoj rezoluciji i tri slike detalja. Višestrukim ponavljanjem dolazi se do slika sa sve nižom rezolucijom – piramidalna dekompozicija. jedan nivo dekompozicije

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i tri nivoa dekompozicije

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i Jedan i dva nivoa dekompozicije

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i Uobičajen pristup kompresiji slike wavelet transformacijom se svodi na piramidalnu dekompoziciju slike u veći broj podopsega, poslije čega se dobijeni podopsezi neovosno koduju.

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i