LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Ivana Mihalec Sadraj 1 Uvod 2

LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Ivana Mihalec

Sadržaj: 1. Uvod 2. Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformacija 3. Svojstva Laplaceovih transformacija 4. Primjena Laplaceovih transformacija 5. Literatura

1. Uvod

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 – 1827) n n veliki francuski matematičar i fizičar jedan od utemeljitelja metričkog sustava bavio se teorijom potencijala i matematičkom statistikom dokazao stabilnost sunčevog sustava

Laplaceova transformacija je metoda rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi koja se sastoji od tri koraka: 1. Jednadžba se transformira u algebarsku jednadžbu 2. Tako dobivena jednadžba se riješi 3. Rješenje se transformira u traženo rješenje originalne difrencijalne jednadžbe

n U tehničkoj literaturi je prihvaćena i uobičajena primjena Laplaceove transformacije. n Pomoću te se transformacije računski postupci svode na algebarske, a upotreba transformacijskih tablica skraćuje rad.

2. Laplaceova transformacija i inverzna Laplaceova transformcija

f(t) za t≥ 0 F(s) je nazvana Laplaceova transformacija (prema Pierre Simon De Laplaceu) i označavamo je sa L(f): Originalna funkcija f(t) zove se inverzna transformacija ili inverzija od F(s) te ju zapisujemo :

3. Svojstva Laplaceovih transformacija

Funkcija f(t) se može transformirati ako zadovoljava sljedeće uvjete: a ) definirana je i jednoznačna za t > 0 b ) po dijelovima je kontinuirana unutar svakog konačnog intervala 0 < a < t < b c ) njen Laplaceov intergral mora biti konvergentan Sljedeći teoremi čine osnovu za široku primjenu Laplaceove transformacije.

Teorem 1. Linearno svojstvo Linearni operator je transformacija koja zbroj prebacuje u zbroj, razliku u razliku, i, općenito, linearnu kombinaciju u linearnu kombinaciju Dokaz. Prema definiciji,

Neke elementarne funkcije f(t) i njezine Laplaceove transformacije L(f) f(t) L(f) 1 1 1/s 6 eat 2 t 1/s 2 7 cos ωt 3 t 2 2!/s 3 8 4 tn 9 cosh at ta 10 sinh at 5 (n=1, 2, …) (ako je a + broj) f(t) sin ωt L(f)

Teorem 2. Teorem o pomaku Ako je L( f )=F(s) kada je s>α , tada je (s > α+a) Dokaz Prema definiciji,

Teorem 3. Postojeći teorem za sve t≥ 0, konstante=a i M Tada Laplaceova transformacija od f(t) postoji za sve s >a Dokaz ≤ ≤ =M ( s>a )

Teorem 4. Diferenciranje f(t) n n f(t) kontinuirana za sve t ≥ 0 , i ima derivaciju f '(t) koja je po dijelovima kontinuirana za svaki konači interval unutar intervala t ≥ 0. tada Laplaceova transformacija derivacije f'(t) postoji kad je s >a , i L(f ')=Ls(f ) - f (0) Dokaz L ( f ')= (s > a )

n Koristeći početnu jednadžbu za drugu derivaciju f ''(t) dobivamo: L(f '')= s. L(f ')-f '(0) = s[s. L(f)-f(0)] - f '(0) = L(f)-sf(0) - f '(0) n Slično dobivamo i treću derivaciju: L(f''')= i ostale. L(f) - f(0) - sf'(0) - f''(0)

Teorem 5. Derivacija za bilo koji n n Neka Laplaceova transformacija od s>a , i dana je formulom: postoji kada je

Teorem 6. Integriranje f(t) L (s>0, s>a) Dokaz │g(t)│≤ ≤M (a>0) g'(t)=f(t) L {f(t)}= L {g'(t)}=s L {g(t)}- g(0) (s>a) g(0)=0

4. Primjena Laplaceovih transformacija

Primjer. Nađimo rješenje linearne diferencijalne jednadžbe: y˝(t) - 3 y'(t) + 2 y(t )= 4 t + , y(0) = 1, y'(0) = -1 Prevođenje te jednadžbe u Laplaceovo područje:

Nađimo koeficijente:

5. Literatura

n Ervin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics second edition, John Wiley & Sons, Inc. New York-London-Sydney 1967 n I. N. Bronštejn i K. A. Semendjajev: Matematički priručnik za inženjere i studente, Tehnička knjiga, Zagreb 1991.