Numerick metdy rieenia diferencilnych rovnc Matematickopotaov modelovanie 4
- Slides: 38
Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester 6. prednáška
Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu • Rovnica koeficienty rovnice pravá strana riešenie rovnice - klasické riešenie rovnice
Klasifikácia PDR • eliptické PDR problém potenciálu, stacionárne difúzne problémy • parabolické PDR nestacionárne problémy, difúzia, vedenie tepla • hyperbolické PDR vlnové rovnice, rovnice prúdenia tekutiny
Príklady PDR • Laplaceova rovnica: • Poissonova rovnica • Funkciu u, definovanú a spojitú až do druhého rádu včítane na nejakej oblasti ktorá spĺňa Laplaceovu rovnicu nazývame harmonická funkcia
Príklady PDR • Stacionárne vedenie tepla:
Príklady PDR • Ustálené prúdenie podzemnej vody
Eliptická úloha je dvojdimenzionálna oblasť hranica oblasti
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Nech • Oblasť rozdelíme na štvorcové podoblasti: delenie n dielov na vodorovnej hrane, m dielov na hrane zvislej, budeme mat (n-1)x(m-1) vnútorných uzlov a 2 m +2 n hraničných uzlov
Diskretizácia oblasti
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • V hraničných uzloch je predpísaná Dirichletova podmienka, vo vnútorných uzloch treba vypočítať riešenie. • Zostavíme systém (n-1)x(m-1) lineárnych algebraických rovníc, ktoré dostaneme použitím diferencie miesto derivácie v PDR.
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Máme rovnicu: • Druhé derivácie nahradíme diferenciami v každom uzle siete: N W M S E
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Aproximácia x-ovej derivácie v bode M • Aproximácia y-ovej derivácie v bode M
Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Dohromady: • S chybou O(h 2) • Ak je jeden z bodov aproximácie hraničný, využijeme okrajovú podmienku
Príklad • Riešte metódou sietí problém: • Okrajová podmienka: • Presné riešenie:
Príklad • Zvolíme krok rovnaký pre delenie v smere x-ovom aj y-ovom. • h=1, to znamená budeme mať 9 vnútorných uzlov, teda 9 rovníc o 9 neznámych. Uzly očíslujeme po stĺpcoch počnúc ľavým dolným uzlom. Pre každý uzol zostavíme rovnicu:
Diskretizácia oblasti
Rovnice • 1. rovnica: spája body: • okrajové podmienky: spodný bod: ľavý bod: • pravá strana: rovnica: 2 OP 1 OP 4
Rovnice • 2. rovnica (body 1, 2, 3, 5): • Okrajové podmienky: • Ľavý bod u(0, y)=y 2 , teda u(0, 2)=4 • Pravá strana • rovnica 3 OP 2 5 1
Rovnice • • • OP OP 3 6 3. rovnica (body 2, 3, 6): Okrajové podmienky: 2 Ľavý bod u(0, y)=y 2 , teda u(0, 3)=9 Horný bod u(x, 4)=16+8 x+x 3 , teda u(1, 4)=25 Pravá strana • rovnica
Rovnice • • 5 4 4. rovnica (body 1, 4, 5, 7): 1 Okrajové podmienky: OP 3 Dolný bod u(x, 0)=x , teda u(2, 0)=8 Pravá strana • rovnica 7
Rovnice • 5. rovnica (body 2, 4, 5, 6, 8): • Okrajové podmienky: nie sú • Pravá strana • rovnica 6 2 5 8 4
Rovnice OP 3 6 • 6. rovnica (body 3, 5, 6, 9): 5 • Okrajové podmienky: • Horný bod u(x, 4)= 16+8 x+x 3 , teda u(2, 4)=40 • Pravá strana • rovnica 9
Rovnice • • • 8 4 7 7. rovnica (body 4, 7, 8): OP Okrajové podmienky: Dolný bod u(x, 0)= x 3 , teda u(3, 0)=27 Pravý bod u(4, y)=64+8 y+y 2 , u(4, 1)=73 Pravá strana • rovnica OP
Rovnice 9 5 • 8. rovnica (body 5, 7, 8, 9): • Okrajové podmienky: Pravý bod u(4, y)= 64+8 y+y 2, teda u(4, 2)=84 • Pravá strana • rovnica 8 7 OP
Rovnice • • • OP 6 9 OP 9. rovnica (body 6, 8, 9): 8 Okrajové podmienky: Horný bod u(x, 4)= 16+8 x+x 3 , u(3, 4)=67 Pravý bod u(4, y)= 64+8 y+y 2, teda u(4, 3)=97 Pravá strana • rovnica
Výsledná matica
Pravá strana
Príklad
Grafický výstup výsledkov Mathcad
Grafický výstup výsledkov Mathematica Presné riešenie Numerické riešenie
Grafický výstup výsledkov Mathematica
Výsledky
Neumanova okrajová podmienka • Predpísaná: • Na časti hranice – pri obdĺžnikovej oblasti celá strana alebo viac strán časť strany Pozor na úlohu len s Neumanovou okrajovou podmienkou na celej hranici
Trojuholníková oblasť 6 vnútorných uzlov
Trojuholníková oblasť • Matica stratí „peknú“ štruktúru matice vzniknutej pri štvorcovej oblasti očíslovanej podľa stĺpcov • Matica zostane pásová
Trojdimenzionálne úlohy • Poissonova rovnica: • Okrajová podmienka Dirichletova alebo Neumannova • Oblasť: kváder, okrajovú podmienku treba zadať na všetkých 6 stenách kvádra
Trojdimenzionálne úlohy • Diskretizácia Laplaceovho operátora: • 7 bodová schéma: uzly M, S, N, W, E, F B: • Matica zostane pásová, šírka pásu väčšia
Všeobecnejší operátor • Rovnica • Okrajové podmienky: DP, Neumann, zmiešané • Postup: diskretizácia ako pri jednodimenzionálnej úlohe