Numerick metdy rieenia diferencilnych rovnc Matematickopotaov modelovanie 4

  • Slides: 38
Download presentation
Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester 6. prednáška

Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester 6. prednáška

Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu • Rovnica koeficienty rovnice pravá strana riešenie rovnice

Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu • Rovnica koeficienty rovnice pravá strana riešenie rovnice - klasické riešenie rovnice

Klasifikácia PDR • eliptické PDR problém potenciálu, stacionárne difúzne problémy • parabolické PDR nestacionárne

Klasifikácia PDR • eliptické PDR problém potenciálu, stacionárne difúzne problémy • parabolické PDR nestacionárne problémy, difúzia, vedenie tepla • hyperbolické PDR vlnové rovnice, rovnice prúdenia tekutiny

Príklady PDR • Laplaceova rovnica: • Poissonova rovnica • Funkciu u, definovanú a spojitú

Príklady PDR • Laplaceova rovnica: • Poissonova rovnica • Funkciu u, definovanú a spojitú až do druhého rádu včítane na nejakej oblasti ktorá spĺňa Laplaceovu rovnicu nazývame harmonická funkcia

Príklady PDR • Stacionárne vedenie tepla:

Príklady PDR • Stacionárne vedenie tepla:

Príklady PDR • Ustálené prúdenie podzemnej vody

Príklady PDR • Ustálené prúdenie podzemnej vody

Eliptická úloha je dvojdimenzionálna oblasť hranica oblasti

Eliptická úloha je dvojdimenzionálna oblasť hranica oblasti

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Nech • Oblasť rozdelíme na štvorcové podoblasti: delenie

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Nech • Oblasť rozdelíme na štvorcové podoblasti: delenie n dielov na vodorovnej hrane, m dielov na hrane zvislej, budeme mat (n-1)x(m-1) vnútorných uzlov a 2 m +2 n hraničných uzlov

Diskretizácia oblasti

Diskretizácia oblasti

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • V hraničných uzloch je predpísaná Dirichletova podmienka, vo

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • V hraničných uzloch je predpísaná Dirichletova podmienka, vo vnútorných uzloch treba vypočítať riešenie. • Zostavíme systém (n-1)x(m-1) lineárnych algebraických rovníc, ktoré dostaneme použitím diferencie miesto derivácie v PDR.

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Máme rovnicu: • Druhé derivácie nahradíme diferenciami v

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Máme rovnicu: • Druhé derivácie nahradíme diferenciami v každom uzle siete: N W M S E

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Aproximácia x-ovej derivácie v bode M • Aproximácia

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Aproximácia x-ovej derivácie v bode M • Aproximácia y-ovej derivácie v bode M

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Dohromady: • S chybou O(h 2) • Ak

Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Dohromady: • S chybou O(h 2) • Ak je jeden z bodov aproximácie hraničný, využijeme okrajovú podmienku

Príklad • Riešte metódou sietí problém: • Okrajová podmienka: • Presné riešenie:

Príklad • Riešte metódou sietí problém: • Okrajová podmienka: • Presné riešenie:

Príklad • Zvolíme krok rovnaký pre delenie v smere x-ovom aj y-ovom. • h=1,

Príklad • Zvolíme krok rovnaký pre delenie v smere x-ovom aj y-ovom. • h=1, to znamená budeme mať 9 vnútorných uzlov, teda 9 rovníc o 9 neznámych. Uzly očíslujeme po stĺpcoch počnúc ľavým dolným uzlom. Pre každý uzol zostavíme rovnicu:

Diskretizácia oblasti

Diskretizácia oblasti

Rovnice • 1. rovnica: spája body: • okrajové podmienky: spodný bod: ľavý bod: •

Rovnice • 1. rovnica: spája body: • okrajové podmienky: spodný bod: ľavý bod: • pravá strana: rovnica: 2 OP 1 OP 4

Rovnice • 2. rovnica (body 1, 2, 3, 5): • Okrajové podmienky: • Ľavý

Rovnice • 2. rovnica (body 1, 2, 3, 5): • Okrajové podmienky: • Ľavý bod u(0, y)=y 2 , teda u(0, 2)=4 • Pravá strana • rovnica 3 OP 2 5 1

Rovnice • • • OP OP 3 6 3. rovnica (body 2, 3, 6):

Rovnice • • • OP OP 3 6 3. rovnica (body 2, 3, 6): Okrajové podmienky: 2 Ľavý bod u(0, y)=y 2 , teda u(0, 3)=9 Horný bod u(x, 4)=16+8 x+x 3 , teda u(1, 4)=25 Pravá strana • rovnica

Rovnice • • 5 4 4. rovnica (body 1, 4, 5, 7): 1 Okrajové

Rovnice • • 5 4 4. rovnica (body 1, 4, 5, 7): 1 Okrajové podmienky: OP 3 Dolný bod u(x, 0)=x , teda u(2, 0)=8 Pravá strana • rovnica 7

Rovnice • 5. rovnica (body 2, 4, 5, 6, 8): • Okrajové podmienky: nie

Rovnice • 5. rovnica (body 2, 4, 5, 6, 8): • Okrajové podmienky: nie sú • Pravá strana • rovnica 6 2 5 8 4

Rovnice OP 3 6 • 6. rovnica (body 3, 5, 6, 9): 5 •

Rovnice OP 3 6 • 6. rovnica (body 3, 5, 6, 9): 5 • Okrajové podmienky: • Horný bod u(x, 4)= 16+8 x+x 3 , teda u(2, 4)=40 • Pravá strana • rovnica 9

Rovnice • • • 8 4 7 7. rovnica (body 4, 7, 8): OP

Rovnice • • • 8 4 7 7. rovnica (body 4, 7, 8): OP Okrajové podmienky: Dolný bod u(x, 0)= x 3 , teda u(3, 0)=27 Pravý bod u(4, y)=64+8 y+y 2 , u(4, 1)=73 Pravá strana • rovnica OP

Rovnice 9 5 • 8. rovnica (body 5, 7, 8, 9): • Okrajové podmienky:

Rovnice 9 5 • 8. rovnica (body 5, 7, 8, 9): • Okrajové podmienky: Pravý bod u(4, y)= 64+8 y+y 2, teda u(4, 2)=84 • Pravá strana • rovnica 8 7 OP

Rovnice • • • OP 6 9 OP 9. rovnica (body 6, 8, 9):

Rovnice • • • OP 6 9 OP 9. rovnica (body 6, 8, 9): 8 Okrajové podmienky: Horný bod u(x, 4)= 16+8 x+x 3 , u(3, 4)=67 Pravý bod u(4, y)= 64+8 y+y 2, teda u(4, 3)=97 Pravá strana • rovnica

Výsledná matica

Výsledná matica

Pravá strana

Pravá strana

Príklad

Príklad

Grafický výstup výsledkov Mathcad

Grafický výstup výsledkov Mathcad

Grafický výstup výsledkov Mathematica Presné riešenie Numerické riešenie

Grafický výstup výsledkov Mathematica Presné riešenie Numerické riešenie

Grafický výstup výsledkov Mathematica

Grafický výstup výsledkov Mathematica

Výsledky

Výsledky

Neumanova okrajová podmienka • Predpísaná: • Na časti hranice – pri obdĺžnikovej oblasti celá

Neumanova okrajová podmienka • Predpísaná: • Na časti hranice – pri obdĺžnikovej oblasti celá strana alebo viac strán časť strany Pozor na úlohu len s Neumanovou okrajovou podmienkou na celej hranici

Trojuholníková oblasť 6 vnútorných uzlov

Trojuholníková oblasť 6 vnútorných uzlov

Trojuholníková oblasť • Matica stratí „peknú“ štruktúru matice vzniknutej pri štvorcovej oblasti očíslovanej podľa

Trojuholníková oblasť • Matica stratí „peknú“ štruktúru matice vzniknutej pri štvorcovej oblasti očíslovanej podľa stĺpcov • Matica zostane pásová

Trojdimenzionálne úlohy • Poissonova rovnica: • Okrajová podmienka Dirichletova alebo Neumannova • Oblasť: kváder,

Trojdimenzionálne úlohy • Poissonova rovnica: • Okrajová podmienka Dirichletova alebo Neumannova • Oblasť: kváder, okrajovú podmienku treba zadať na všetkých 6 stenách kvádra

Trojdimenzionálne úlohy • Diskretizácia Laplaceovho operátora: • 7 bodová schéma: uzly M, S, N,

Trojdimenzionálne úlohy • Diskretizácia Laplaceovho operátora: • 7 bodová schéma: uzly M, S, N, W, E, F B: • Matica zostane pásová, šírka pásu väčšia

Všeobecnejší operátor • Rovnica • Okrajové podmienky: DP, Neumann, zmiešané • Postup: diskretizácia ako

Všeobecnejší operátor • Rovnica • Okrajové podmienky: DP, Neumann, zmiešané • Postup: diskretizácia ako pri jednodimenzionálnej úlohe