Signali i sustavi Z transformacija Z transformacija Linearni

  • Slides: 19
Download presentation
Signali i sustavi Z - transformacija

Signali i sustavi Z - transformacija

Z- transformacija § Linearni, vremenski diskretan sustav je opisan jednadžbom diferencija: an y (k

Z- transformacija § Linearni, vremenski diskretan sustav je opisan jednadžbom diferencija: an y (k + n) +. . . + a 0 y (k) = bn u (k + n) +. . . + b 0 u (k). § Za pobudu oblika u(k) = Uzk partikularno rješenje je yp(k) = Yzk. § Uvrštenjem dobivamo: y(k) = UH(z)zk, H(z) - transfer funkcija. 2

Z- transformacija § Odziv y(k) se može dobiti i konvolucijskom sumacijom ako je poznat

Z- transformacija § Odziv y(k) se može dobiti i konvolucijskom sumacijom ako je poznat jedinični odziv h(k): § Za u(k) = Uzk: § Izjednačavanjem rješenja slijedi: 3

Z- transformacija § Frekvencijsku karakteristiku dobijemo za z = ejw § Prepoznajemo Fourierov red,

Z- transformacija § Frekvencijsku karakteristiku dobijemo za z = ejw § Prepoznajemo Fourierov red, pa vrijedi: H(ejw) = F {h(k)}, Fourierova transformacija niza {h(k)}. Z - transformacija niza {x(k)}. 4

Z- transformacija § Za opći kompleksni broj z = rejw: Fourierova transformacija niza {x(k)r-k}.

Z- transformacija § Za opći kompleksni broj z = rejw: Fourierova transformacija niza {x(k)r-k}. § Inverziju dobijemo na temelju izraza za Fourierove koeficijente: Opći izraz za inverznu Z transformaciju. 5

Konvergencija Z- transformacije § Za kauzalne signale jednostrana Z transf. § Ako niz {x(k)}

Konvergencija Z- transformacije § Za kauzalne signale jednostrana Z transf. § Ako niz {x(k)} zadovoljava slijedeće uvjete: 1. x(k) < , za sve k 2. postoje pozitivni brojevi A, r i K takvi da vrijedi x(k) Ark, za sve k > K tada jednostrana Z transformacija konvergira apsolutno za svaki z sa svojstvom |z| = z > r. 6

Z- transformacija - primjeri 7

Z- transformacija - primjeri 7

Z- transformacija - svojstva § Linearnost Z {ax(k) + by(k)} = a. X(z) +

Z- transformacija - svojstva § Linearnost Z {ax(k) + by(k)} = a. X(z) + b. Y(z). § Pomak unaprijed za n koraka: za n = 1: Z {x(k + 1)} = z X(z) - zx(0). 8

Z- transformacija - svojstva § Kašnjenje za n koraka: za n = 1: Z

Z- transformacija - svojstva § Kašnjenje za n koraka: za n = 1: Z {x(k - 1)} = z-1 X(z) + x(-1). 9

Z- transformacija - svojstva § Konvolucijska sumacija kauzalnih nizova: 10

Z- transformacija - svojstva § Konvolucijska sumacija kauzalnih nizova: 10

Z- transformacija - svojstva § Multiplikacija s ak y(k) = a k x(k): §

Z- transformacija - svojstva § Multiplikacija s ak y(k) = a k x(k): § Multiplikacija sa e jw k (frekvencijski pomak) y(k) = x(k) ejw k: 11

Z- transformacija - svojstva § Multiplikacija s k: § Multiplikacija s kn: 12

Z- transformacija - svojstva § Multiplikacija s k: § Multiplikacija s kn: 12

Inverzna Z- transformacija 1. razvoj u red Y(z) = y(0) + y(1)z-1 + y(2)z-2

Inverzna Z- transformacija 1. razvoj u red Y(z) = y(0) + y(1)z-1 + y(2)z-2 +. . . razvoj u Mc. Laurentov red oko točke z -1 = 0 Primjer: y(k) = 2 d (k) + 0. 5 d (k - 1) + 1. 25 d (k - 2) + 0. 875 d (k - 3) +. . . y(k) = 1 + (-0. 5)k, za k ³ 0 13

Inverzna Z- transformacija 2. rastavljanje racionalane funkcije na parcijalne razlomke 14

Inverzna Z- transformacija 2. rastavljanje racionalane funkcije na parcijalne razlomke 14

Inverzna Z- transformacija 2. rastavljanje racionalane funkcije na parcijalne razlomke - primjer § u

Inverzna Z- transformacija 2. rastavljanje racionalane funkcije na parcijalne razlomke - primjer § u domeni koraka izlazi 15

Inverzna Z- transformacija 3. integralom po zatvorenoj krivulji radiusa većeg od radiusa apsolutne konvergencije

Inverzna Z- transformacija 3. integralom po zatvorenoj krivulji radiusa većeg od radiusa apsolutne konvergencije 16

Rješenje jednadžbi diferencija upotrebom Z- transformacije a 2 y(k + 2) + a 1

Rješenje jednadžbi diferencija upotrebom Z- transformacije a 2 y(k + 2) + a 1 y(k + 1) + a 0 y(k) = b 1 u(k + 1) + b 0 u(k) a 2[z 2 Y(z) - z 2 y(0) - zy(1)] + a 1[z. Y(z) - zy(0)] + a 0 Y(z) = = b 1[z. U(z) - zu(0)] + b 0 U(z) [a 2 z 2 + a 1 z + a 0]Y(z) = = [b 1 z + b 0]U(z) - b 1 zu(0) + a 2 z 2 (0) + a 1 zy(1) + a 0 zy(0) uz početne uvjete jednake nuli 17

Rješenje jednadžbi diferencija upotrebom Z- transformacije § H(z) - transfer funkcija vremenski diskretnog sustava.

Rješenje jednadžbi diferencija upotrebom Z- transformacije § H(z) - transfer funkcija vremenski diskretnog sustava. § Za pobudu jediničnim uzorkom u(k) = d (k), U(z) = 1, dobivamo: Y(z) = H(z). § Transfer funkcija je Z - transformat odziva na pobudu {d (k)} uz početne uvjete jednake nuli. 18

Pobuđeni mirni sustav drugog reda y(k + 2) + y(k + 1) + 0.

Pobuđeni mirni sustav drugog reda y(k + 2) + y(k + 1) + 0. 21 y(k) = (-1)k transformacijom uz y(1) = y(0) = 0: 19