DINAMIKA PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA UPRAVLJANJA Dinamika

DINAMIKA PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA UPRAVLJANJA • Dinamika sistema – ponašanje sistema u nestacionarnom režimu kada dolazi do promena procesnih promenljivih u toku vremena. • Analiza dinamičkog ponašanja sistema pri malim promenama ulaza u odnosu na stacionarno stanje – oko radne tačke: – Vremenski domen – Laplasov (kompleksni domen) – Frekventni domen – Diskretni domen • Dinamički modeli: matematički modeli koji definišu vezu izmedju promena izlazne i ulazne promenljive (input-output) – Jedna ili sistem diferencijalnih jednačina

Klasifikacija dinamičkih modela • Prema načinu dobijanja: – teorijski – empirijski • Na osnovu zasnovanosti (rigoroznosti): – deterministički – stohastički • Na osnovu broja nezavisno promenljivih: – sa nagomilanim parametrima (obične diferencijalne jednačine) – sa raspoređenim parametrima (parcijalne diferencijalne jednačine) • Na osnovu linearnosti – linearni – nelinearni • Na osnovu reda jednačine kojom je opisan dinamički model: – – – sistemi prvog reda sistemi drugog reda sistemi višeg reda. • Na osnovu oblasti definisanosti: – kontinualni – diskretni

Formiranje teorijskih determinističkih modela • Bilansne jednačine – najopštiji oblik: (1) Jednačina ukupnog materijalnog bilansa (jednačina kontinuiteta) (2) Jednačine materijalnih bilansa pojedinih komponenata. Za Nkomponentni sistem, N-1 jednačina (plus jednačinu ukupnog materijalnog bilansa) (3) Jednačina energetskog bilansa (4) Jednačina kretanja (bilans količine kretanja) (5) Transportne jednačine (6) Jednačine hemijske termodinamike (7) Jednačine ravnoteže (hemijska ravnoteža i ravnoteža faza) (8) Jednačine hemijske kinetike

Formiranje teorijskih determinističkih modela Primer: Sistem sa nagomilanim parametrima Izotermni reaktor sa idealnim mešanjem: reakcija A B Ukupni materijalni bilans: Materijalni bilans za komponentu A:

Formiranje teorijskih determinističkih modela Primer: Sistem sa rasporedjenim parametrima Izotermni cevni reaktor (klipno strujanje): reakcija A B Ukupni materijalni bilans: Materijalni bilans za komponentu A:

Linearizacija nelinearnih modela • Evidentiranje nelinearnih članova u jednačinama modela • Razvoj nelinearnih članova u Tajlorov red oko radne tačke i zanemarivanje članova drugog i višeg reda: Za nelinearnu funkciju 2 promeljive:

Linearizacija - primer • Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, reakcija n-tog reda) Linearizacija Fc. Ai: Linearizacija Fc. A: Linearizacija Vkc. An : Ukupno:

Promenljive odstupanja (perturbacione, deviacione promenljive) Primer: Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, rakcija n-tog reda) 0

Promenljive odstupanja – rezultati • U rezultujućim diferencijalnim jednačinama: – Konstantni članovi postaju jednaki nuli – Svi početni uslovi su jednaki nuli ZAKLJUČAK: Posle linearizacije i prelaska na promenljive odstupanja, bilo koji model sa nagomilanim parametrima se može prikazati opštom linearnom diferencijalnom jednačinom n-og reda: Za sve realne sisteme n≥m Karakteristična jednačina:

DINAMIKA SISTEMA U LAPLASOVOM DOMENU LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Definicija: f(t) – original - funkcija vremena (t); F(s) – transformacija - funkcija kompleksne promenljive s Prelazak iz vremanskog u Laplasov domen PRIMER: Stepenasta (Hevisajdova) f-ja

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA 1. Linearnost 2. Transformacija izvoda 3. Transformacija integrala

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA 4. Teorema konačne vrednosti 5. Teorema početne vrednosti 6. Translacija transformacije (teorema pomeranja) 7. Translacija funkcije (teorema kašnjenja)

TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIJA Jedinična impulsna (Dirakova) f-ja

Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije; inverzna Laplasova transformacija Inverzna Laplasova transformacija

Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije - Primer REŠENJE:

Dinamički model sistema u Laplasovom domenu - Prenosna funkcija sistema Laplasova transformacija Za sve realne sisteme n≥m p 1, p 2, . . . polovi; z 1, z 2, . . . nule Prenosna funkcija sistema: Odnos Laplasove transformacije promenljive odstupanja izlaza i Laplasove transformacije promenljive odstupanja ulaza Karakteristična jednačina

ELEMENTARNI SISTEMI 1. Proporcionalni element 2. Sistem prvog reda (element sa vremenskom konstantom) 3. Kapacitivni element (integrator) 4. Sistem drugog reda 5. Element sa mrtvim vremenom (čisto kašnjenje) 6. Diferencijalni element Primer: Pneumatski sistem pločica - mlaznica 1. Proporcionalni element

2. Sistem prvog reda K – pojačanje sistema – vremenska konstanta (s, min) Primer 1: Protočni rezervoar sa tečnošću (nivo sistem prvog reda) C (m 2) – kapacitet suda R (min/m 2) – otpor isicanja

Primer 2: Termometar sa tečnošću Primer 3: Izotermni protočni reaktor sa idealnim mešanjem

3. Kapacitivni element (integrator) C – kapacitet sistema Primer: Rezervoar za skladištenje tečnosti Ovaj sistem je u stacionarnom stanju samo za F=0 (h=const) Astatizam C (m 2) – kapacitet suda (površina poprečnog preseka)

4. Sistem drugog reda K – pojačanje – vremenska konstanta (s ili min) n=1/ - prirodna (sopstvena) frekvencija x- koeficijent prigušenja (1) Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva (2) Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom (3) Inherentni sistem II reda

(1) Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva Primer: 2 nivo sistema vezana na red Drugi primeri: kaskada 2 reaktora, reaktor sa 2 konsekutivne reakcije A→B→C, … GENERALIZACIJA: redna veza n sistema I reda

(2) Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom Primer: 2 nivo sistema vezana na red Drugi primeri: • Termometar sa zaštitnom oblogom • Kaskada 2 reaktora sa reciklom • Reaktor sa povratnom reakcijom • . . .

(3) Inherentni sistem II reda Primer: U-manometar

5. Element sa mrtvim vremenom (element sa čistim kašnjenjem) D (s, min) mrtvo vreme ili čisto kašnjenje Primer: Cevovod sa klipnim strujanjem fluida x(t) i y(t): promena koncentracije, temperature, gustine, . . . Drugi primeri: cevni reaktori, razmenjivači tipa cev-u-cevi, uredjaji sa pakovanim slojem (sistemi sa rasporedjenim parametrima) Padé-ova aproksimacija:

6. Diferencijalni element Fizički ne mogu da se realizuju ili Moguće je realizovati: ili

BLOK DIJAGRAMI I ALGEBRA BLOK DIJAGRAMA Osnovni elementi blok dijagrama Osnovna pravila: 1. U blok ulazi 1 signal i iz njega izlazi 1 signal 2. U krug ulaze 2 signala, a iz njega izlazi 1 signal 3. Mogu se sabirati samo signali iste vrste (temperatura se sabira sa temperaturom, protok sa protokom, pritisak sa pritiskom itd. ) 4. Signal ne menja vrednost prilikom grananja.

Formiranje blok dijagrama PRIMER 1: Nivo sistem prvog reda PRIMER 2: Dva sistema prvog reda sa medjudejstvom

Rešavanje blok dijagrama - ekvivalentne transformacije Odabrane transformacije

Rešavanje blok dijagrama - primeri

Rešavanje blok dijagrama - primeri

Rešavanje blok dijagrama - primeri