Projektiranje rekurzivnog digitalnog filtra bilinearnom transformacijom Digitalna obradba

Projektiranje rekurzivnog digitalnog filtra bilinearnom transformacijom Digitalna obradba signala 1

Sadržaj l l l Bilinearna transformacija Svojstva bilinearne transformacije Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra 2

Bilinearna transformacija l l l Transformira vremenski kontinuirani sustav zadan prijenosnom funkcijom Hc(s) u vremenski diskretni sustav, H(z) Kako riješiti problem aliasinga koji postoji kod transformacije jednakih impulsnih odziva ? Þ. . . transformacija mora preslikati svaku točku iz sravnine u jedinstvenu točku u z-ravnini i obratno Bilinearnom transformacijom se cijela j. W os u s -ravnini (-µ <W< +µ) prevodi u jedan obilazak jedinične kružnice u z-ravnini (-p <w< p) 3

Bilinearna transformacija l l . . . definirana algebarskom trasformacijom između varijabli s i z Ako je vremenski kontinuiran sustav zadan prijenosnom funkcijom Hc(s), tada se supstitucijom varijable s sa gore navedenim izrazom dobiva H(z) vremenski diskretnog sustava : 4

Bilinearna transformacija l Izraz za bilinearnu transformaciju dobiven je iz trapezne formule za numeričku integraciju. . pretpostavimo vrem. kont. sustav prvog reda l korištenjem trapezne formule integral y(t) l se može u točkama t=n. T i t 0=(n-1)T aproksimirati sa: 5

Bilinearna transformacija l l l evaluacijom diferencijalne jednadžbe za t=n. T slijedi: što uvrštenjem u izraz za trapeznu aproksimaciju integrala daje jednadžbu diferencija: gdje je y(n)ºy(n. T), odnosno u(n)ºu(n. T) z transformacijom gornje jednadžbe dobiva se: 6

Bilinearna transformacija l slijedi prijenosna funkcija vrem. diskr. sustava H(z): l . . . odnosno l Usporedbom s početnom Þ slijedi : 7

Bilinearna transformacija l Postupak projektiranja digitalnog filtra H(z): 1. Definiranje zahtjeva na digitalni filter (specifikacija) 2. Inverznom bilinearnom transformacijom dobivaju se zahtjevi na pripadni analogni filter 3. Projektiranje analognog filtra Hc(s) koji zadovoljava tražene specifikacije 4. Bilinearnom transformacijom od Hc(s) dobiva se traženi H(z) 8

Projektiranje rekurzivnog digitalnog filtra bilinearnom transformacijom Svojstva bilinearne transformacije 9

Svojstva bilinearne transformacije l neka su kompleksne varijable s i z zadane kao: l . . . transformacijom Þ slijedi : 10

Svojstva bilinearne transformacije l l promotrimo realni dio varijable s: . . . pošto je nazivnik uvijek veći ili jednak od nule, predznak od s ovisi isključivo o r i to : s-ravnina l za r<1. . . s<0 z-ravnina j. W Im l za r>1. . . s>0 l za r=1. . . s=0, s=j. W s lijeva poluravnina Re jedinična kružnica 11

Svojstva bilinearne transformacije l slučaj za r=1 (z na jediničnoj kružnici) : p w p/2 -15 -10 -5 0 5 -p/2 10 WT -p 12

W W 4 l -30 -40 -20 -10 0 d. B 10 Ws 2 Wp ½Hc( j. W)½ 3 1 ½H(e primjer transformacije : Hc(j. W) Þ H(ejw) W=0 Þ w=0 Wp=1 Þ wp=p/2 W=µ Þ w=p 0 jw)½ p w 13 0 -10 -20 -30 -40 -500 wp ws

Projektiranje rekurzivnog digitalnog filtra bilinearnom transformacijom Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra 14

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l Specifikacija niskopropusnog digitalnog filtra 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 00 wp ws p w 15

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l l Inverznom bilinearnom transformacijom specifikacije digitalnog filtra dobivaju se zahtjevi na pripadni analogni filter (engl. frequency prewarping) . . . parametar T će se u postupku bilinearne transformacije funkcije Hc(s) u H(z) pokratiti, pa ga je moguće proizvoljno odabrati, npr T=1 16

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l Specifikacija pripadnog niskopropusnog analognog filtra : 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 00 Wp Ws W [rad s-1] 17

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l l l Odaberemo npr. Butterworthovu aproksimaciju kod projektiranja analognog NP filtra Kvadrat amplitudno-frekvencijske karakteristike takvog filtra dan je izrazom : ½Hc( j. W)½ 2 je monotono padajuća funkcija od W tako da se na osnovu specifikacije na Hc(j. W) dobivaju dvije nejednadžbe : 18

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l . . . nađimo Wc i N za slučaj jednakosti : l Eliminacijom Wc dobivamo izraz za N : l N je red filtra i mora biti cijeli broj pa odabiremo prvi veći cijeli broj. . . N=7 19

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l l l Na osnovu kvadrata amplitudno-frekvencijske karakteristike sada treba odrediti H(s) filtra Supstitucijom W=s/j slijedi: Korijeni nazivnika dobivaju se rješavanjem: 20

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l l Polovi funkcije Hc(s) ×Hc(-s) u s ravnini. . . jednoliko raspoređeni po kružnici polumjera Wc Polovi u lijevoj poluravnini pripadaju prijenosnoj funkciji filtra Hc( s). W p/7 s-ravnina Wc=0. 721 s 21

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l l Uparivanjem konjugirano-kompleksnih parova dobiva se Hc(s) oblika: Provjera za rubove prijelaznog područja s=j. Wp i s=j. Ws 22

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l Ampl. -frekv. karakteristika projektiranog vremenski kontinuiranog Butterworthovog filtra Hc(s) 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 Wp 1 Ws 2 3 W [rad s-1] 23

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l l Bilinearna transformacija funkcije Hc(s) u H(z) zamjenom s sa 2(1 -z-1)/(1+z-1) Provjera za rubove prijelaz. područja z=e jwp i z=e jws 24

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l Ampl. -frekv. karakteristika vremenski diskretnog Butterworthovog filtra H(z) ½H(ejw)½ 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 0. 2 p wp ws 0. 4 p 0. 6 p 0. 8 p p w 25

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l Položaj polova i nula vremenski diskretnog Butterworthovog filtra H(z) sedmerostruka nula Im z-ravnina 1 W s-ravnina 0. 5 0 -1 -0. 5 0 0. 5 1 Re s -0. 5 -1 26

Primjer projektiranja digitalnog IIR filtra l Grupno vrijeme kašnjenja filtra Hc(s) i H(z) 12 12 [s] [uzorci] 8 8 4 4 0 0 0 1 Wp Ws 2 3 4 W 0 0. 2 p 0. 4 p 0. 6 p 0. 8 p wp ws p w 27