Digitalna tehnika Brojni sistemi Prof Biljana Vidakovi Brojni

Digitalna tehnika Brojni sistemi Prof. Biljana Vidaković

Brojni sistemi n Brojni sistemi su sistemi simbola za označavanje skupova. Za osnovu brojnog sistema može se uzeti bilo koji broj veći od 1. Pored decimalnog brojnog sistema sa osnovom 10 (prirodni brojni sistem za čovjeka) najpoznati brojni sistemi su: n n n binarni (b=2): {0, 1} oktalni (b=8): {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} heksadecimalni. (b=16): {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} U digitalnoj tehnici najpogodniji za primjenu je binarni brojni sistem sa osnovom 2 koji predstavlja “prirodni” jezik računara. Prednost binarnog brojnog sistema je jednostavnost tehničke realizacije i pouzdanost. Nedostatak binarnog brojnog sistema je znatno više cifarskih mjesta u odnosu na decimalni brojni sistem.

Decimalni i binarni brojni sistemi n Decimalni brojni sistem ima deset različitih cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i osnovu 10. Svaka cifra ima zadatu težinu. Spada u pozicione brojne sisteme. n Opšti oblik broja u decimalnom brojnom sistemu: n A = an 10 n + an-1 10 n-1 + an-2 10 n-2 + + a-210 -2+. . . + a-m 10 -m n n . . . + a 1 101 + a 0 100 + a-110 -1 a – koeficijenti sa vrijednostima od 0 -9 Opšti oblik za broj sa n cijelih i m razlomljenih mjesta: A = an bn + an-1 bn-1 + an-2 bn-2 +. . . + a 1 b 1 + a 0 b 0 + a-1 b-1+ a-2 b-2 +. . . + a-mb-m n n n b – osnova (baza) n+1 – broj cjelobrojnih cifara m – broj decimala

Decimalni i binarni brojni sistemi n Binarni brojni sistem ima osnovu 2 i dvije cifre 0 i 1. Svaka cifra ima zadatu težinu tj. spada u težinske brojne sisteme. n Opšti oblik broja u binarnom brojnom sistemu: n A = an 2 n + a-22 -2+ n n an-1 2 n-1 + an-2 2 n-2 +. . . + a 1 21 + a 0 20 + a-12 -1 +. . . + a-m 2 -m a – koeficijenti sa vrijednostima od 0 i 1 Svaki član u nizu ima težinu dvostruko veću od prethodnog člana.

Decimalni i binarni brojni sistemi-primjeri n 198410 = 1∙ 103 + 9∙ 102 + 8∙ 101 + 4∙ 100 = 1∙ 1000 + 9∙ 100 + 8∙ 10 + 4∙ 1 = 1000 + 900 + 80 + 4 = 1984 n 100112 = 1∙ 24 + 0∙ 23 + 0∙ 22 + 1∙ 21 + 1∙ 20 = 1∙ 16 + 0∙ 8 + 0∙ 4 + 1∙ 2 + 1∙ 1 = 16 + 2 + 1 = 19 n 12, 310= 1∙ 101 + 2∙ 100 + 3∙ 10 -1 = 1∙ 10 + 2∙ 1 + 3∙ 0, 1 = 10+2+0, 3 = 12, 3

Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi n Oktalni brojni sistem ima osnovu 8 i cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. Svaka cifra ima zadatu težinu tj. spada u težinske brojne sisteme. n Opšti oblik broja u oktalnom brojnom sistemu: n A = an 8 n + a-28 -2+ n n an-1 8 n-1 + an-2 8 n-2 +. . . + a 1 81 + a 0 80 + a-18 -1 +. . . + a-m 8 -m a – koeficijenti sa vrijednostima od 0 do 7. Oktalni brojevi manji od nule se vrlo rijetko upotrebljavaju.

Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi n Heksadecimalni brojni sistem ima osnovu 16 i cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a za veće brojeve koriste se slova A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 F = 15 Svaka cifra ima zadatu težinu tj. spada u težinske brojne sisteme. n Opšti oblik broja u oktalnom brojnom sistemu: n A = an 16 n + a-216 -2+ n n an-1 16 n-1 + an-2 16 n-2 +. . . + a 1 161 + a 0 160 + a-116 -1 +. . . + a-m 16 -m a – koeficijenti sa vrijednostima od 0 do 9 i od A do F. Heksadecimalni brojevi manji od nule se vrlo rijetko upotrebljavaju.

Primjer

Konverzije brojnih sistema n Opšta formula q cjelobrojni dio: cjelobrojni dio (a) u novu bazu b: a : b = r 1 i ostatak o 1 r 1 : b = r 2 i ostatak o 2 r 2 : b = r 3 i ostatak o 3. . . rn : b = 0 i ostatak on -----------------rezultat: on. . . o 3 o 2 o 1

Konverzije brojnih sistema n Opšta formula q q razlomljeni dio: razlomljeni dio (a) u novu bazu b: a ∙ b = c 1, r 1 tj. cjelobrojni dio c 1 i razlomljeni dio r 1 ∙ b = c 2, r 2 tj. cjelobrojni dio c 2 i razlomljeni dio r 2 ∙ b = c 3, r 3 tj. cjelobrojni dio c 3 i razlomljeni dio r 3. . . rn ∙ b = cn, 0 tj. cjelobrojni dio cn i razlomljeni dio 0 ---------------------Rezultat: c 1 c 2. . . cn Problem: ako razlomljeni dio ne bude 0

Konverzija decimalnog broja u binarni i obrnuto n n n Broj 37, 62510 konvertovati u binarni brojni sistem. 37 : 2 = 18 i ostatak 1 18 : 2 = 9 i ostatak 0 9 : 2 = 4 i ostatak 1 4 : 2 = 2 i ostatak 0 2 : 2 = 1 i ostatak 0 1 : 2 = 0 i ostatak 1 -----------------rezultat: 100101 Razlomljeni dio: 0, 0625 0, 625 ∙ 2 = 1, 25 tj. cjelobrojni dio 1 i razlomljeni dio 0, 25 ∙ 2 = 0, 5 tj. cjelobrojni dio 0 i razlomljeni dio 0, 5 ∙ 2 = 1, 0 tj. cjelobrojni dio 1 i razlomljeni dio 0 -----------rezultat: 101 Konačan rezultat: 100101, 1012 dobije se spajanjem cjelobrojnog i razlomljenog dijela

Konverzija decimalnog broja u binarni i obrnuto n (1101011, 01)2 = 1 ∙ 26 + 1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 1 ∙ 20, + 0 ∙ 2 -1 + 1 ∙ 2 -2 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1, 0 + ¼ = (107, 25) 10 -----------rezultat 107, 2510

Konverzija binarnih brojeva u oktalne i obrnuto n n n Pošto je 8 = 23 znači da za jedan jednocifreni oktalni broj treba tri bita. Binarni broj se dijeli u grupe po tri bita počevši od pozicionog zareza. Primjer: 1101011011112 = 110 101 111 = 65578 6 5 5 7 n n Oktalni broj se takođe jednostavno pretvara u binarni Primjer: 701528 = 111 000 001 101 010 = 1110000011010102 7 0 1 5 2

Konverzija oktalnih brojeva u decimalne i obrnuto n Broj 64310 konvertovati u oktalni brojni sistem. 1 643 -512 = 131 -128 = 3 -0 = 3 -3 = 0 rezultat: 12038 1 83 2 82 0 81 3 80 2 0 3

Konverzija oktalnih brojeva u decimalne i obrnuto n Primjer n (1267)8 = 7 ∙ 80 = 7 + 6 ∙ 81 = 48 + 2 ∙ 82 = 128 + 1 ∙ 83 = 512 ------69510 rezultat 69510

Konverzija binarnih brojeva u heksadecimalne i obrnuto n n n Pošto je 16 = 24 znači da za jedan jednocifreni heksadecimalni broj trebaju četiri bita. Binarni broj se dijeli u grupe po četiri bita počevši od pozicionog zareza. Primjer: 10011010000111112 = 1001 1010 0001 1111 9 A 1 F = 9 A 1 F 16 n n Heksadecimalni broj se takođe jednostavno pretvara u binarni Primjer: E 6 A 216 = E 6 A 1110 0110 1010 2 = 1110011010100010 2 0010

Konverzija heksadecimalnih brojeva u decimalne i obrnuto n Primjer: Broj 701, 62510 konvertovati u heksadecimalni brojni sistem. 701 : 16 = 43 i ostatak 13 D 43 : 16 = 2 i ostatak 11 B 2 : 16 = 0 i ostatak 2 -----------------rezultat: 2 ED n Primjer: Broj 1 E 9 B 16 konvertovati u decimalni brojni sistem. 1 E 9 B 16 nulta cifra = B iz tabele prva cifra = 9 iz tabele 11 144 druga cifra = E iz tabele 3584 treća cifra = 1 iz tabele + 4096 783510

heksadecimalni oktalni n n Preko binarnog brojnog sistema. Primjer: A 316 = 101000112 0101000112 = 2438

Računske operacije – binarni brojni sistem n Sabiranje: n Oduzimanje:

Računske operacije – binarni brojni sistem n Množenje: n Deljenje: q q nulom nije dozvoljeno jedinicom - trivijalno

Računske operacije – binarni brojni sistem 11 +11 --110 -101 --001 110 x 11 -------110 + 110 -----10010 1001 : 11 = 11 ---100 -011 ----0011 -----0000

Računske operacije – oktalni brojni sistem 447 +652 ---1321 54, 3 -45, 4 ---6, 7 123 x 21 -------123 + 246 -----2603 : 21 = 123 ---26 -21 ---50 -42 ---63 ----0

Računske operacije – heksadecimalni brojni sistem 127 +1 AA ---2 D 1 2 C -25 ---7 53 x 11 -------53 + 53 -----583 1 A 0 x 13 -------4 E 0 + 1 A 0 -----1 EE 0 583 : 11 = 53 ---58 -55 ---33 ---0