Analogni elektriki filtri Digitalna obradba signala 1 Sadraj

Analogni električki filtri Digitalna obradba signala 1

Sadržaj l l l Definicija filtra Prijenosna funkcija filtra Frekvencijska karakteristika Primjer analognog filtra Tipovi filtara l Selektivni filtri l Filtarski korektori 2

Analogni električki filtri 1. Definicija filtra 3

Definicija filtra l l l Filtar je naprava ili sistem koji na određeni unaprijed propisani način vrši konverziju veličina na svojim ulazima u veličine na svojim izlazima. Cilj: umanjiti neželjena svojstva ulaznih veličina zadržati ili istaknuti željena svojstva. Električki filtar je sistem čije su ulazne i izlazne veličine električki signali. Njegova funkcija je da na propisani način promjeni karakteristike spektra ulaznog signala. Termin "električki" vezan je za karakter signala kojeg se tim filtrom obrađuje (ne ovisi o načinu izvedbe). 4

Analogni električki filtri 2. Prijenosna funkcija filtra 5

Prijenosna funkcija filtra l Električki filtar je sistem, pa ga je u tom smislu moguće definirati kao skup specifikacija kojima su određeni odnosi između njegovih ulaza i izlaza. x(t) F y(t) Sistem s jednim ulazom x(t) i jednim izlazom y(t) 6

Prijenosna funkcija filtra l l Za linearni i vremenski nepromjenjiv sistem odnos između ulaza i izlaza sistema definiran je konvolucijskim integralom . . . gdje su : l h(t) impulsni odziv sistema, l x(t) ulaz, poticaj ili pobuda l y(t) izlaz ili odziv sistema 7

Prijenosna funkcija filtra l l S matematičkog gledišta sustav je moguće shvatiti kao operator koji djeluje na funkciju ulaza, što se može opisati izrazom : . . . gdje je F operator. Laplaceovom transformacijom konvolucijskog integrala dobiva se odnos ulaznog i izlaznog signala u frekvencijskoj domeni : . . . gdje je H(s) prijenosna funkcija filtra 8

Prijenosna funkcija filtra l l Prijenosna funkcija H(s) definirana je kao omjer Laplace-ovih transformacija izlaznog i ulaznog signala Opći oblik električkog filtra koji se razmatra je električka mreža sastavljena od konačnog broja elemenata koji su: l koncentrirani, l linearni, l vremenski nepromjenjivi. 9

Prijenosna funkcija filtra l l l Za takve sustave ulazno-izlazne odnose moguće je definirati diferencijalnom jednadžbom N-tog reda oblika: . . . gdje su bi (i=0, N) i aj (j=0, M) realni koeficijenti. Lapalce-ovom transformacijom slijedi: 10

Prijenosna funkcija filtra l l Separacijom X(s) i Y(s) moguće je prijenosnu funkciju H(s) izraziti kao: Funkcija H(s) je realna racionalna funkcija kompleksne frekvencije s, koju je moguće prikazati u obliku omjera dvaju polinoma s realnim koef. : 11

Prijenosna funkcija filtra l l H(s) je moguće prikazati i u slijedećem obliku: gdje su : l soi (i = 1, …, M) korijeni polinoma u brojniku P(s) ili nule prijenosne funkcije, l spj (j = 1, …, N) korijeni polinoma u nazivniku Q(s) ili polovi prijenosne funkcije, l k. . . realna konstanta jednaka k = a /b. M N 12

Prijenosna funkcija filtra l l l U oba slučaja korijeni mogu biti realni ili kompleksni. Svaki kompleksni korijen ima odgovarajući konjugirano kompleksni par, pa se uparivanjem, H(s) može prikazati u obliku: ili. . . 13

Prijenosna funkcija filtra l l s je kompleksna varijabla, tj. s=s +j. W , pa je onda i funkcija H(s) kompleksna veličina za neki proizvoljni broj s. U uvjetima stacionarnog stanja sinusne pobude, varijabla s postaje jednaka j. W , pa i prijenosna funkcija H(s) postaje H(j. W) se naziva kompleksnom frekvencijskom karakteristikom filtra. Osnovna funkcija električkih filtara sadržana je upravo u obliku frekvencijske karakteristike H(j. W). 14

Analogni električki filtri 3. Frekvencijska karakteristika 15

Frekvencijska karakteristika l l Promjene koje električki filtar treba unijeti u spektar ulaznog signala najčešće se svode na prigušenje ili eliminaciju određenih nepoželjnih frekvencijskih komponenti tog signala. Za zadani ulazni signal x(t) s pripadnim frekvencijskim spektrom X(j. W), . . . spektar izlaznog signala određen je izrazom : . . . kao umnožak spektra signala i prijenosne funkcije. 16

Frekvencijska karakteristika l l l Za module i faze vrijede slijedeći izrazi: Modul prijenosne funkcije električkog filtra često se izražava preko svoje logaritamske mjere : . . . gdje se funkcija a. N(W) naziva se logaritamskom mjerom pojačanja filtra i izražava u Neperima [N]. Ako se modul logaritmira po dekadskoj bazi dobiva se logaritamska mjera pojačanja izražena u [d. B] 17

Frekvencijska karakteristika l Pored fazno frekvencijske karakteristike F(W), često se koristi i funkcija grupnog vremena kašnjenja Tg(W) definirana kao: 18

Analogni električki filtri 4. Primjer analognog filtra 19

Primjer analognog filtra l Prijenosna funkcija H(s) = U 2(s) / U 1(s) mreže prema L slici glasi: U 1 l C 1 C 2 R U 2 . . gdje su : 20

Primjer analognog filtra l Uz vrijednosti elemenata R = 1 k. W, C 1 = C 2 = 1 n. F i L = 0. 5 m. H, prijenosna funkcija H(s) glasi: l Polovi funkcije su : l . . . a njene nule : 21

Primjer analognog filtra l l Uvrštenjem s = j. W u prijenosnu funkciju H(s) dobiva se kompleksna frekvencijska karakteristika filtra H(j. W): Amplitudno frekvencijska karakteristika je modul gornjeg izraza: 22

Primjer - amplitudno / frekv. karakteristika |H(j. W)| 1. 4 1. 2 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 10 5 10 6 7 10 W 23

Primjer analognog filtra l l Fazno frekvencijska karakteristika filtra glasi: Nule na imaginarnoj osi uzrokuju skok u faznoj karakteristici na frekvenciji W = Wo, što je posljedica promjene predznaka funkcije H(j. W) na toj frekvenciji. 24

Primjer - fazno / frekvencijska karakteristika F(W) [o] 40 0 -40 -80 -120 W -160 10 5 10 6 10 7 25

Primjer analognog filtra l l Karakteristika grupnog kašnjenja Tg(W), dobije se deriviranjem izraza za fazu po frekvenciji W : Diracov d-impuls u točki W = Wo, posljedica je skoka u fazi, odnosno postojanja nula prijenosne funkcije na imaginarnoj osi. 26

Primjer - grupno vrijeme kašnjenja Tg (W) [ m s] 4 3 2 1 W 0 10 5 10 6 7 10 27

Analogni električki filtri 5. Tipovi filtara 28

Tipovi filtara l l Filtre je moguće obzirom na oblik frekvencijske karakteristike podijeliti u dvije skupine : l selektivni filtri l korektori Kod selektivnih filtara oblik |H(j. W)| je takav da je moguće jasno razlikovati frekvencijska područja u kojima je ulazni signal prigušen od onih u kojima je on propušten. 29

Selektivni filtri l l Područje propuštanja filtra. . . l pojas frekvencija u kojem amplitudno frekvencijska karakteristika ima vrijednost približno jednaku 1, l komponente pobudnog signala čije su frekvencije unutar tog pojasa pojavljuju na izlazu filtra sa približno istom amplitudom kao i na ulazu. Područje gušenja filtra. . . l pojas frekvencija u kojem je amplitudno frekvencijska karakteristika približno jednaka nuli, l frekvencijske komponente ulaznog signala koje se nalaze unutar tog pojasa nisu propuštene na izlaz. 30

Selektivni filtri l l l Amplitudno frekvencijska karakteristika |H(j. W)| je funkcija bez diskontinuiteta, pa je prijelaz između područja propuštanja i područja gušenja kontinuiran. Prijelazno područje filtra. . . l područje frekvencija na prijelazu između područja propuštanja i područja gušenja. Obzirom na položaj svakog od spomenutih područja na frekvencijskoj osi, moguće je razlikovati 4 osnovna tipa selektivnih filtara. 31

Nisko propusni (NP) filtar l l l područje propuštanja za 0 < W 1 , područje gušenja za W 2 < W < ¥ , vrijedi : W 1 < W 2. ½H(j. W)½ 1 0 W 1 W 2 W 32

Visoko propusni (VP) filtar l l l područje propuštanja za W 2 < W < ¥ , područje gušenja za 0 < W 1 , vrijedi : W 1 < W 2. ½H(j. W)½ 1 0 W 1 W 2 W 33

Pojasno propusni (PP) filtar l l l područje propuštanja za W 2 < W 3 , područja gušenja za 0 < W 1 i W 4 < W < ¥ , vrijedi : W 1 < W 2 < W 3 < W 4. ½H(j. W)½ 1 0 W 1 W 2 W 3 W 4 W 34

Pojasna brana (PB) l l l područje propuštanja za 0 < W 1 i W 4 < W < ¥ , područja gušenja za W 2 < W 3 , vrijedi : W 1 < W 2 < W 3 < W 4. ½H(j. W)½ 1 0 W 1 W 2 W 3 W 4 W 35

Filtarski korektori l l l Za razliku od selektivnih filtara, nemaju jasno definirana područja propuštanja odnosno područja gušenja. Služe za korekciju frekvencijske karakteristike nekog drugog sustava. Obzirom na činjenicu dali korigiraju amplitudno/frek. ili fazno/frek. karakteristiku sustava dijele se na: l amplitudne korektore i l fazne korektore 36

Fazni korektori l Najčešće se koriste svepropusni filtri, l amplitudno/frek. karakteristika im je ravna u cijelom frekvencijskom području, l sve su frekvencijske komponente signala prenesene bez prigušenja, ali su fazno pomaknute prema definiranim filtarskim specifikacijama. ½H(j. W)½ 1 0 W 37

Literatura l Prof. dr. sc. Neven Mijat, Zavodska skripta: Električki filtri, FER, ZESOI 1994. 38

Postupci aproksimacije prijenosnih funkcija električkih filtara Digitalna obradba signala 39

Sadržaj l l l Projektiranje analognih filtera Butterwothova aproksimacija Chebyshevljeva aproksimacija (Tip I) Chebyshevljeva aproksimacija (Tip II) Eliptička ili Cauerova aproksimacija 40

Postupci aproksimacije prijenosnih funkcija električkih filtara 1. Projektiranje analognih filtera 41

Projektiranje analognih filtera l l l Projektiranje analognog filtra kreće od definicije zahtjeva koji taj filter mora zadovoljiti: l granice u području propuštanja, l granice u području gušenja. Problem aproksimacije svodi se na nalaženje frekv. karakteristike koja zadovoljava traženi zahtjev. Takav sustav mora biti : l ostvarljiv l što nižeg reda l stabilan 42

Projektiranje analognih filtera l Primjer specifikacije amplitudne karakteristike pojasno propusnog filtra a (W) [d. B] 0 amax amin W 1 W 2 W 3 W 43

Projektiranje analognih filtera l l l Kod većine postupaka aproksimacije polazi se od idealne karakteristike nisko-propusnog (NP) filtra. Frekvencijskim transformacijama ta se nisko propusna karakteristika transformira u bilo koju željenu karakteristiku: l visoko propusnu (VP), l pojasno propusnu (PP), l pojasnu branu (PB). Frekvencijska os prototip NP filtra je normirana na graničnu frekvenciju, Wc=1. 44

Prototip NP analogni filter l Amplitudna karakteristika idealnog normiranog NP filtra dana je izrazom: Područje gušenja 1 Područje propuštanja 0 1 W 45

Amplitudno frekvencijska karakteristika l Za filter zadan prijenosnom funkcijom H(s) odnosno. . . l U postupku aproksimacije pogodno je koristiti karakterističnu funkciju K(s) : 46

Karakteristična funkcija K(s) l l l K(s). . . racionalana funkcija kompleksne varijable s ½K( j. W)½ približno jednak 0 u području propuštanja što veći u području gušenja Krajnji cilj je nalaženje prijenosne funkcije filtra Polinomi kompl. varijable s l l Ostvarljivost H(s) Stabilnost H(s) 47

Postupci aproksimacije prijenosnih funkcija električkih filtara 2. Butterworthova aproksimacija 48

Butterworthova aproksimacija l Karakteristična funkcija je zadana kao: N. . . stupanj prijenosne funkcije l . . . slijedi amplitudno/frekv. karakteristika filtra : l Uz graničnu frekvenciju WC definiranu kao : 49

Butterworthova aproksimacija l Butterworth filter N=1 do N=6, Wc=1 N=1 0 -10 -20 -30 N=6 -40 -50 -60 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 W 50

Butterworthova aproksimacija l Područje propuštanja N=1 do N=6, Wc=1 0 N=6 -0. 5 -1 N=1 -1. 5 -2 -2. 5 -3 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 W 51

Svojstva Butterworthove aproksimacija l l l Neovisno o redu filtra N vrijedi: Amplitudno/frekv. karakteristika filtra je monotono padajuća porastom frekvencije W od 0 prema ¥. Prvih 2 N-1 derivacija kvadrata amplitudno/frekv. karakteristike u točki W=0 su jednake 0 za N-ti red. Takva karakteristika se naziva maksimalno glatkom. U području gušenja amplitudno/frekv. karakteristika u logaritamskom mjerilu pada linearno (20 N d. B po dek. ) 52

Prijenosna funkcija Butterworthovog filtra l l l Na osnovu kvadrata amplitudno frekvencijske karakteristike treba odrediti H(s) filtra : Supstitucijom W=s/j slijedi: Korjeni nazivnika dobivaju se rješavanjem: 53

Položaj polova Butterworthovog filtra l l Polovi funkcije H (s) ×H (-s) u s ravnini. . . jednoliko raspoređeni po kružnici polumjera Wc Polovi u lijevoj poluravnini pripadaju prijenosnoj funkciji filtra H ( s). j. W p/N s-ravnina Wc s 54

Prijenosna funkcija Butterworthovog filtra l l Uparivanjem konjugirano kompleksnih parova polova dobiva se prijenosna funkcija općeg oblika : Za normirani filter WC=1 vrijedi W 0 k=1 za svaki k, a 55

Prijenosna funkcija Butterworthovog filtra l Primjer za N=5 i WC=1 : 56

Postupci aproksimacije prijenosnih funkcija električkih filtara 3. Chebyshevljeva aproksimacija (Tip I) 57

Chebyshevljeva aproksimacija l Karakteristična funkcija zadana je kao: . . . gdje je TN(W) polinom Chebysheva N-tog stupnja u varijabli W definiran kao : l l Kod Butterworthove aproksimacije nule karakteristične funkcije ½K( j. W)½ su sve u W=0. Boljim rasporedom nula kod funkcije TN 2(W) postiže se poklapanje s idealnom karakteristikom u više točaka 58 u području propuštanja.

Chebyshevljevi polinomi l l l Izraz za TN(W) moguće je pisati i kao: Navedeni izraz vrijedi za -1<W<1 dok se za ½W½>1 moraju koristiti hiperbolne funkcije : Za Chebyshevljeve polinome vrijedi slijedeća rekurzivna formula : 59

Chebyshevljevi polinomi l Korištenjem rekurzivne formule i poznavanjem prva dva polinoma T 0(W) i T 1(W) lako se nalaze preostali: 60

Chebyshevljevi polinomi l Polinomi Chebysheva TN(W) za N=1 do N=5 TN (W) 3 2. 5 2 1. 5 4 1 5 1 0. 5 2 0 -0. 5 -1 3 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 1. 2 W 61

Chebyshevljevi polinomi l Kvadrat polinoma, TN 2(W) za N=1 do N=5 TN 2(W) 2. 5 2 1. 5 5 2 1 3 4 1 0. 5 0 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 W 62

Svojstva Chebyshevljevih polinoma l l l ½TN(W)½£ 1 za -1£W£ 1 , TN(W) ® ¥ kada W ® ¥ , TN(W) ® ¥ kada W ® -¥ za parni N , TN(W) ® -¥ kada W ® -¥ za neparni N , TN(W) je parna funkcija od W za parni N , odnosno neparna za neparni N , u intervalu -1£W£ 1 polinom TN(W) ima jednaku valovitost s ekstremima jednakim +1 odnosno -1. 63

Filter sa Chebyshevljevom aproksimacijom l l Amplitudno frekvencijska karakteristika normiranog filtra s Chebyshevljevom aproksimacijom dana je izrazom : Konstanta e određuje iznos valovitosti Rp u području propuštanja filtra: odnosno 64

Chebyshev tip I aproksimacija l N=1 do N=4, Wc=1, valovitost u pod. prop. Rp=1 d. B 0 -10 N=1 -20 -30 N=4 -40 -50 -60 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 W 65

Chebyshev tip I aproksimacija l Područje propuštanja N=1 do N=4, Wc=1, Rp=1 d. B 0 -0. 2 N=4 -0. 4 N=1 -0. 6 -0. 8 -1 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 W 66

Svojstva Chebyshevljeve aproksimacija l l Svojstva filtra sa Chebyshevljevom aproksimacijom: Amplitudno/frekv. karakteristika filtra je monotono padajuća porastom frekvencije W od 1 prema ¥. 67

Položaj polova Chebyshevljevog filtra l l Polovi funkcije H (s) ×H (-s) u s ravnini. . . nalaze se na elipsi j. W 1 a l Polovi u lijevoj poluravnini pripadaju prijenosnoj funkciji filtra H ( s). 0 -1 1 s N=4 e=0. 509 -1 b 68

Prijenosna funkcija Chebyshevljevog filtra l l Parametri polova W 0 k i qk dobivaju se uparivanjem konjugirano kompleksnih parova kao: gdje je f dan izrazom: 69

Prijenosna funkcija Chebyshevljevog filtra l Primjer za N=4 i Wc=1, Rp=1 d. B (e=0. 509): 70

Chebyshev tip I aproksimacija l N=4, Wc=1, valovitost u pod. prop. Rp=1 d. B, 2 d. B i 3 d. B 0 -10 -20 -30 Rp=1 d. B -40 -50 -60 Rp=3 d. B 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 W 71

Postupci aproksimacije prijenosnih funkcija električkih filtara 4. Chebyshevljeva aproksimacija (Tip II) 72

Chebyshev tip II aproksimacija l N=1 do N=4, Wc=1, valovitost u pod. guš. Rs=40 d. B 0 N=4 -10 -20 N=1 -30 -40 -50 -60 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 W 73

Postupci aproksimacije prijenosnih funkcija električkih filtara 5. Eliptička (Cauer) aproksimacija 74

Eliptička (Cauer) aproksimacija l N=4, 6 i 8, Wc=1, Rp=1 d. B, Rs=40 d. B 0 N=4 -10 -20 N=8 -30 -40 -50 -60 0 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 W 75

Eliptička (Cauer) aproksimacija l N=4, 6 i 8, Wc=1, Rp=1 d. B, Rs=40 d. B, podr. propuštanja 0 -0. 2 -0. 4 N=8 -0. 6 -0. 8 N=4 -1 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1 W 76

Literatura l Prof. dr. Neven Mijat, Prof. dr. Vladimir Čosić, Zavodska skripta: Postupci aproksimacije prijenosnih funkcija električkih filtara, FER, ZESOI 1993 77