Filtri analogici Generalit n I filtri lineari analogici

Filtri analogici

Generalità n I filtri lineari analogici sono esprimibili con la seguente espressione (con M ≤ N) n Le specifiche sono fornite solitamente in termini di banda passante Ωp (e relativo ripple δ 1) ¨ banda interdetta Ωs (e relativo ripple δ 2) ¨ e conseguente banda di transizione (Ωp - Ωs) ¨ n Spesso ripple ed attenuazione sono definiti come:

Generalità n n Dove Ωp ed Ωs le specifiche da rispettare Ωc ed Ωt sono le reali pulsazioni di banda passante e di banda attenuata

Generalità n Filtri di tipo “passa-alto”, “passa-banda”, “elimina-banda” vengono ottenuti dal “passa-basso” tramite opportune trasformazioni

Filtri di Butterworth (1) n Sono filtri a massima piattezza nell’origine ed all’infinito ¨ n si annullano per Sebbene la scelta di Ωp , Ωs , δ 1 , δ 2 può essere arbitraria, di solito si definisce come Ωp la frequenza alla quale il guadagno è diminuito di 3 d. B (Ωp = Ω-3 d. B) ¨ n ossia le prime (2 N-1) derivate di Ω=0 e per Ω=inf. ossia Per garantire le specifiche

Filtri di Butterworth (2) In base all’attenuazione A desiderata ad una certa frequenza Ωs si puo’ calcolare l’ordine minimo del filtro: Nel caso del filtro prototipo con ε=1 (Ω-3 d. B = 1) Nel caso generale si puo’ dimostrare:

Filtri di Butterworth (3) n Se le specifiche sono del tutto generiche ¨ Ci sono 2 gradi di liberta’: n n Ordine n Frequenza di taglio a -3 d. B Ordine: si usa il minimo consentito ¨ Ω-3 d. B : Esiste tutta una famiglia di filtri che possono soddisfare le specifiche: ¨

Posizione di poli e zeri n Nota la risposta in frequenza desiderata | |2 n Generalizzando jΩ s n Si trovino zeri e poli di g(s) e si assegnino opportunamente a H(s) ed H(-s)

Posizione di poli e zeri (Butterworth) n Nel filtro di Butterworth n I poli complessivi si trovano risolvendo: ¨ per N pari Es: n=2 ¨ per N dispari Es: n=3

Posizione di poli e zeri (Butterworth) n Successivamente si assume, per garantire la stabilità, che i poli a parte reale negativa appartengano ad H(s), mentre gli altri (simmetrici) ad H(-s) ! H(s) H(-s)

Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (1) n Prototipo normalizzato: Ove: Formula ricorsiva: NOTA:

Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (2) n Caso Generale ove Ωc (frequenza di transizione) è la frequenza estrema della banda passante (NOTA : non e’ la frequenza a -3 d. B) n Il filtro di Chebyshev del 1 o tipo è un filtro ottimo tra il filtri “all-poles”, ovvero, a parità di ordine, non esiste alcun filtro composto da soli poli che possa avere caratteristiche superiori al filtro CHEBY 1 tanto in banda passante che in banda attenuata

Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (3) n Calcolo dell’ordine minimo del filtro (in base all’attenazione desiderata in Ωs n Gradi di libertà nella scelta di Ωc

Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (4) n Si può sfruttare il grado di libertà anche per modificare ε

Posizione di poli e zeri (Cheby 1) n Nel filtro di Chebyshev 1 n Si trovino le soluzioni del polinomio a denominatore (in x) e sucessivamente si moltiplichino per Ωc ¨ si ruotino di 90 o ¨ n Si assegnino ad H(s) le soluzioni a parte reale negativa

Filtri di Chebyshev del 2 o tipo (1) n Prototipo normalizzato (rispetto Ωt): n Caso generale: n Imponendo che per Ω=Ωt |H|=1/A n Il lfiltro CHEBY 2 presenta le stesse caratteristiche di CHEBY 1

Filtri di Chebyshev del 1 o tipo (2) n Calcolo dell’ordine minimo del filtro (in base all’ε desiderato in Ωc) n Gradi di libertà nella scelta di Ωt

Posizione di poli e zeri (Cheby 2) n Nel filtro di Chebyshev 2 n Si trovino soluzioni di numeratore e denominatore (x’) n queste soluzioni in x vanno: invertite (reciproco) ¨ moltiplicate per Ωt ¨ ruotate di -90 o ¨ n Le soluzioni del numeratore sono a 2 coincidenti

Analogie tra Cheby 1 e Cheby 2 n Una volta definito l’ordine del filtro dei 4 parametri Ωt, Ωc, ε, A, solamente due sono indipendenti. Es. in Cheby 1 si scelgono solitamente ‘Ωc’ ed ‘ε’ e ne consegue ‘A=f(Ωt)’. ¨ Si potrebbe pero’ anche operare all’inverso: scelti A e Ωt si puo’ trovare una famiglia di filtri che al variare di ε modificano Ωc (o viceversa) ¨

Analogie tra Cheby 1 e Cheby 2 n In modo del tutto analogo anche per Cheby 2 i 4 parametri Ωt, Ωc, ε, A, risultano tra loro legati e non indipendenti. Si potrebbe scegliere scelti ε e Ωc ma ci si ritrova con una famiglia di filtri che al variare di A modificano Ωt (o viceversa). ¨ Solitamente per questi filtri I parametri indipendenti da usare sono Ωt ed A ¨

Filtri di Cauer (elittici) Dove Rn(Ω, L) e’ detta “funzione razionale di Chebyschev” Sono Filtri-equiripple in banda passante ed in banda interdetta

Trasformazioni in frequenza (1) n Si può modificare un filtro LP prototipo in qualunque altro modello applicando opportune trasformate LP LP HP LP BP LP SP

Trasformazioni in frequenza (2) n Metodologia di progetto date le specifiche del filtro ¨ si convertano le specifiche in quelle di un prototipo LP (applicando l’opportuna trasformata) ¨ n in caso di specifiche ridondanti si usino quelle piu’ stringenti si progetti il prototipo LP ¨ si applichi la trasformata opportuna alla f. d. t del prototipo ¨