Nerekurzivni digitalni filtri Digitalna obradba signala LSS FER

Nerekurzivni digitalni filtri Digitalna obradba signala LS&S - FER

Primjer - aritmetička sredina x F xs

Interesantan je sustav koji služi za “glačanje” (usrednjavanje) slučajnih varijacija u signalu. M-point moving average system ili Sustav ima konačan impulsni odziv - FIR sustav

7 6 5 4 3 2 1 0 0 šum orginalni signal 0. 4 amplituda Primjer - MATLAB 0. 2 0 -0. 2 10 20 30 40 50 vremenski indeks n -0. 4 0 10 20 30 40 50 vremenski indeks n

Primjer - nastavak 6 amplituda 8 4 2 0 0 10 20 30 40 50 vremenski indeks n 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 vremenski indeks n orginalni signal šum y[n] - izlaz iz moving average filtra signal + šum

FIR sustav za M=2 Pogledajmo o kojem se sustavu radi: Uzmimo M=2

FIR sustav za M=2. . .

FIR sustav za M=2. . . Isto pomoću Z-transformacije

FIR sustav za M=2. . . Niskopropusni filtar

FIR sustav za M=2. . . Amplitudna karakteristika, M=2 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 0 Faza u stupnjevima Amplituda 1 0. 2 p 0. 4 p 0. 6 p 0. 8 p frekvencija p Fazna karakteristika, M=2 -20 -40 -60 -80 0 0. 2 p 0. 4 p 0. 6 p 0. 8 p p frekvencija

FIR sustav za proizvoljni M Za proizvoljni M vrijedi: . . . .

FIR sustav za proizvoljni M. . . Amplitudno-fazna karakteristika Amplitudna karakteristika Fazna karakteristika gdje je step u

FIR sustav za proizvoljni M. . . Amplitudna karakteristika Fazna karakteristika 1 M=14 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 0. 2 p 0. 4 p 0. 6 p 0. 8 p frekvencija p Faza u stupnjevima M=5 0. 8 Amplituda 100 50 0 -50 -100 M=5 -150 -200 M=14 0 0. 2 p 0. 4 p 0. 6 p 0. 8 p p frekvencija

Grupno kašnjenje Daljnji parametar za karakterizaciju filtara je grupno kašnjenje. mjera linearnosti fazne funkcije , gdje je za prije navedeni primjer: faza

Projektiranje FIR filtra Pretpostavimo signal koji je suma kosinusnih signala Pretpostavimo da želimo sustav (filtar) koji će: - gušiti signal u 1[n] (kosinus kutne frekv. 0, 1 rad/sec) - propuštati signal u 2[n] (kosinus kutne frekv. 0, 4 rad/sec) Radi jednostavnosti uzmimo: - red filtra N=2 (tri uzorka impulsnog odziva) - impulsni odziv filtra

Projektiranje FIR filtra. . . Jednadžba diferencija ovog sustava je: a pripadna frekvencijska karakteristika

Projektiranje FIR filtra. . . Amplitudna i fazna karakteristika filtra su Iz zahtjeva na filtar određujemo a i b } što daje

Projektiranje FIR filtra. . . Uz pobudu: Ulazni signali 4 3 3 2 2 Amplituda 4 1 0 -1 -1 -2 0 -2 20 40 60 80 Vremenski indeks n Ulaz u 1[n] Ulaz u 2[n] Ulaz u[n]=u 1[n]+u 2[n] Ulazni signal / filtrirani signal 100 0 20 40 60 80 Vremenski indeks n Ulaz u[n]=u 1[n]+u 2[n] Izlaz y[n] 100

Nerekurzivni digitalni filtri (Projektiranje vremenskim otvorima) Digitalna obradba signala LS&S - FER

FIR-filtri § § § Filtri s linearnom fazom simetrija impulsnog odziva je nužan preduvjet za linearnu fazu Ovisno o tipu simetrije impulsnog odziva definiramo četiri tipa FIR filtra sa realnim impulsnim odzivom duljine N+1

Tipovi FIR-filtara -> Tip 1 - simetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka impulsnog odziva -> Tip 2 - simetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka impulsnog odziva -> Tip 3 - antisimetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka impulsnog odziva -> Tip 4 - antisimetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka impulsnog odziva

Tip 1 FIR filtra Impulsni odziv zadovoljava slijedeći uvjet Za daljnje razmatranje pretpostavimo N=8. U tom slučaju prijenosna funkcija filtra je

Tip 1 FIR filtra. . . Prema definiciji tipa 1 FIR filtra za N=8 vrijedi te se prethodni izraz može pojednostaviti

Tip 1 FIR filtra. . . Pripadna frekvencijska karakteristika ili u općem slučaju

Tipovi FIR-filtara. . . Tip 1 - simetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka N=8

Tipovi FIR-filtara. . . Tip 2 - simetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka N=7

Tipovi FIR-filtara. . . Tip 3 - antisimetričan impulsni odziv - neparan broj uzoraka N=8

Tipovi FIR-filtara. . . Tip 4 - antisimetričan impulsni odziv - paran broj uzoraka N=7

Tipovi FIR-filtara. . . Tip 1 Tip 2 Tip 3 Tip 4

Gibbsov fenomen Najizravniji pristup projektiranju FIR filtara je uzimanje konačnog broja uzoraka iz beskonačnog impulsnog odziva idealnog filtra. Neka je Hd(ejw) željena idealna prijenosna karakteristika filtra, a hd[n] odgovarajući impulsni odziv beskonačnog trajanja Kauzalni impulsni odziv konačnog trajanja možemo dobiti kao

Gibbsov fenomen. . . h(k) se može prikazati kao produkt željenog impulsnog odziva i “otvora” konačnog trajanja gdje je U frekvencijskoj domeni vrijedi odnosno H(ejw) je periodička kontinuirana konvolucija željene prijenosne karakteristike Hd(ejw) i Fourierove transformacije vremenskog otvora W(ejw).

Gibbsov fenomen. . . Fourierova transformacija vremenskog otvora w[n] je |W(ejw)| 9 N=8 p 2 p w

Gibbsov fenomen. . . |W(e )| jw 9 N=8 p w 2 p |H(ejw)| * p |Hd(ejw)| p 2 p w

1. 2 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 -p N=20 Amplituda Gibbsov fenomen. . . -0. 5 p 0 0. 5 p p frekvencija w 1. 2 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 -p N=40 -0. 5 p 0 0. 5 p p frekvencija w Za dovoljno velik N minimalno gušenje u pojasu gušenja je konstantno i iznosi oko 8, 9% razlike između amplitudne karakteristike idealnog filtra u pojasu propuštanja i u pojasu gušenja.

Projektiranje FIR filtara metodom vremenskih otvora Postupak projektiranja je slijedeći: § Uzeti idealnu karakteristika filtra Amplituda § 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 § Izračunati Fourierovu transformaciju idealne karakteristike filtra w -p -0. 5 p 0. 4 0. 2 Uzorci 0 beskonačan impulsni odziv p -20 -10 0 10 20

Projektiranje FIR filtara metodom vremenskih otvora. . . 1 § Odabrati vremenski otvor (npr. pravokutni vremenski otvor) 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 § Pomnožiti beskonačni impulsni odziv s uzorcima vremenskog otvora -20 Uzorci -10 0. 4 0. 2 Uzorci 0 konačan impulsni odziv 20 -10 0 10 20

§ Amplitudno frekvencijska karakteristika idealnog i dobivenog filtra greška dobivenog filtra Razlika amplituda § Amplituda Projektiranje FIR filtara metodom vremenskih otvora. . . 1. 2 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 -p w -0. 5 p 0 0. 5 p p 0. 4 0. 2 w 0 -0. 2 -0. 4 -p -0. 5 p 0 0. 5 p p

Tipovi vremenskih otvora § § § § Pravokutni Bartlettov (trokutni) Hannov Hammingov Blackmanov Dolph-Chebyshevljev Kaiserov Fiksni vremenski otvori Promjenjivi vremenski otvori

Fiksni vremenski otvori Pravokutni vremenski otvor 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 Bartlettov vremenski otvor -10 Uzorci -5 0 5 10 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 -10 Uzorci -5 0 5 10

Fiksni vremenski otvori. . . 1 Hannov vremenski otvor 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 Hammingov vremenski otvor -10 Uzorci -5 0 5 10 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 -10 Uzorci -5 0 5 10

Fiksni vremenski otvori. . . Blackmanov vremenski otvor 1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 -10 Uzorci -5 0 5 10

Fiksni vremenski otvori. . . 1 Fiksni vremenski otvori Pravokutni Bartlettov Hannov Hammingov Blackmanov 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 -10 Uzorci -5 0 5 10

Fiksni vremenski otvori (amplitudno-frekvencijske karakteristike) Bartlettov vremenski otvor Pravokutni vremenski otvor 0 -13, 3 d. B amplituda [d. B] 0 -20 -40 -60 -80 -100 0 0, 2 p 0, 4 p 0, 6 p 0, 8 p w -26, 5 d. B -20 0, 2 p 0, 4 p 0, 6 p 0, 8 p w

Fiksni vremenski otvori (amplitudno-frekvencijske karakteristike) Hammingov vremenski otvor Hannov vremenski otvor 0 -20 -31, 5 d. B -40 -60 amplituda [d. B] 0 -20 -60 -80 -100 0 0, 2 p 0, 4 p 0, 6 p 0, 8 p w -42, 7 d. B -40 0, 2 p 0, 4 p 0, 6 p 0, 8 p w

Fiksni vremenski otvori (amplitudno-frekvencijske karakteristike) Blackmanov vremenski otvor amplituda [d. B] 0 -20 -40 -58, 1 d. B -60 -80 -100 0 0, 2 p 0, 4 p 0, 6 p 0, 8 p w

Fiksni vremenski otvori (amplitudno-frekvencijske karakteristike) Amplitudne karakteristike fiksnih vremenskih otvora 0 Pravokutni Bartlettov Hannov Hammingov Blackmanov amplituda [d. B] -20 -40 -60 -80 -100 w 0 0, 2 p 0, 4 p p

|Ht(ejw)| Hd(ejw) 1+d 1 - d Dw 0, 5 d wc wp ws p w DML wc q

Fiksni vremenski otvori. . . 0, 6 primjer: 2 M = N = 20, wc = 0, 5 p Amplitudno-frekvencijske karakteristike Impulsni odziv Pravokutni Bartlettov Hannov Hammingov 0, 4 0, 2 Blackmanov 0 -0, 2 -10 -5 0 Uzorci 5 10 0 amplituda [d. B] § w -20 Pravokutni Bartlettov -60 Hannov Hammingov -80 Blackmanov -100 0 0, 2 p 0, 4 p 0, 6 p 0, 8 p -40 p

Promjenjivi vremenski otvori § § § Omogućuju kontrolu minimalnog gušenja Kod njih se promjenom određenih parametara projektiranju može utjecati na karakteristiku filtra Razmotrit ćemo slijedeća dva tipa otvora § § Dolph-Chebyshevljev otvor Kaiserov otvor

Dolph-Chebyshevljev otvor gdje je Chebyshevljev polinom l-tog reda

Dolph-Chebyshevljev otvor. . . Primjer: N = 20 N = 40 Dolph-Chebyshevljev otvor, N=20 1 atten. = 50 atten. = 80 0, 8 1 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0 -10 -5 0 Uzorci 5 10 atten. = 50 atten. = 80 0 -20 -10 0 Uzorci 10 20

Dolph-Chebyshevljev otvor. . . N = 40 N = 20 amplituda [d. B] w 0 -20 -40 50, 00 d. B -60 80, 00 d. B -80 -100 amplituda [d. B] 0 0, 2 p -80 p -100 0 gušenje -> šira glavna latica §Veći red otvora -> uža glavna latica §Veće 80, 00 d. B p

Kaiserov otvor gdje je I 0(u) modificirana Bessel-ova funkcija nultog reda prve vrste a b parametar koji kontrolira gušenje u području gušenja

Kaiserov otvor. . . Postoje izrazi za procjenu b i duljine filtra N u ovisnosti o gušenju u stop bandu as

Kaiserov otvor. . . Primjer: wp=0, 3 p ws=0, 5 p as=40 d. B =0, 1 wc=0, 4 p N =23, 3189 M =12 b=3, 3953

Kaiserov otvor. . . N=24, Att. =40 d. B, wp=0, 3 p, ws=0, 5 p, wc=0, 4 p Uzorci otvora Amp. frek. karakteristika amplituda [d. B] 1 0 0, 8 -20 0, 6 -40 0, 4 -60 0, 2 -80 0 uzorci -15 -10 -5 0 5 10 15 -100 0 w 40 d. B 0, 2 p 0, 4 p 0, 6 p 0, 8 p p