Signali i sustavi AUDITORNE VJEBE 13 LSS FER

  • Slides: 48
Download presentation
Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 13 LS&S FER - ZESOI

Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 13 LS&S FER - ZESOI

Primjena Z transformacije u rješavanju jednadžbi diferencija § Zadatak 1: Diskretni sustav je određen

Primjena Z transformacije u rješavanju jednadžbi diferencija § Zadatak 1: Diskretni sustav je određen sljedećom jednadžbom diferencija: y(k + 2) – 3 y(k + 1) + 2 y(k) = 2 u(k + 1) – 2 u(k). § Naći odziv ovog sustava na pobudu:

Primjena Z transformacije § Da bi odredili odziv ovog sustava (bilo kojom metodom), potrebno

Primjena Z transformacije § Da bi odredili odziv ovog sustava (bilo kojom metodom), potrebno je poznavati 2 početna uvjeta. § Budući pobuda počinje u koraku nula, od interesa nam je i odziv od toga koraka, pa je za njegovo izračunavanje potrebno poznavati početne uvjete u y(– 1) i y(– 2). § Pretpostavimo da su y(– 1) ¹ 0 i y(– 2) ¹ 0 § Nađimo odziv sustava u Z domeni.

Primjena Z transformacije § Koristeći izraz za Z–transformaciju niza pomaknutog u lijevo: § Transformiramo

Primjena Z transformacije § Koristeći izraz za Z–transformaciju niza pomaknutog u lijevo: § Transformiramo polaznu jednadžbu u:

Izračunavanje y(0) i y(1) iz početnih uvjeta § Pa je: § Očito je da

Izračunavanje y(0) i y(1) iz početnih uvjeta § Pa je: § Očito je da sustav osim o pobudi ovisi i o y(0) i y(1). Ove vrijednosti su prva dva uzorka odziva i rezultat su doprinosa početnih stanja y(-2) i y(-1). § Za k = -2 polazna jednadžba prelazi u:

Izračunavanje y(0) i y(1) iz početnih uvjeta § Pa je: § Za k =

Izračunavanje y(0) i y(1) iz početnih uvjeta § Pa je: § Za k = -1 slijedi:

Primjena Z transformacije § Uvrstimo li y(0) i y(1) u izraz za Y(z) imamo:

Primjena Z transformacije § Uvrstimo li y(0) i y(1) u izraz za Y(z) imamo: § Pa konačno pišemo:

Primjena Z transformacije, drugi pristup § Na trenutak ćemo prekinuti rješavanje da bismo prikazali

Primjena Z transformacije, drugi pristup § Na trenutak ćemo prekinuti rješavanje da bismo prikazali drugi pristup. § Izvršimo pomak zadane jednadžbe u vremenskoj skali uvodeći supstituciju k' = k + 2. y(k') – 3 y(k'– 1) + 2 y(k'– 2) = 2 u(k'– 1) – 2 u(k'– 2). § Ovo je češći način pisanja jednadžbi diferencija (operator E-1 umjesto E !). § Ponovno ćemo odrediti Y(z) polazeći od ove nove jednadžbe. § Z–transformacija jednadžbe provodi se koristeći svojstvo:

Primjena Z transformacije, drugi pristup § Z–transformacija naše jednadžbe glasi:

Primjena Z transformacije, drugi pristup § Z–transformacija naše jednadžbe glasi:

Primjena Z transformacije § Dobili smo (naravno) isti izraz za Y(z) jer se radi

Primjena Z transformacije § Dobili smo (naravno) isti izraz za Y(z) jer se radi o istom sustavu. § Sada ćemo nastaviti rješavanje našeg primjera uz pretpostavku da su početna stanja y(-1) = y(-2) = 0. § Uzimajući ovo u obzir Y(z) postaje:

Y(z), rastav u parcijalne razlomke § u(k) = k× 1 k k³ 0

Y(z), rastav u parcijalne razlomke § u(k) = k× 1 k k³ 0

Tražimo koeficijente rastava. . . § a 0 = F(z)|z = 0 § a

Tražimo koeficijente rastava. . . § a 0 = F(z)|z = 0 § a 1 određujemo iz Y(z) za npr. z = 3

Primjena Z transformacije, rješenje y (k )

Primjena Z transformacije, rješenje y (k )

Primjena Z transformacije Zadatak 2: § Diskretni sustav opisan je jednadžbom diferencija: § Odrediti

Primjena Z transformacije Zadatak 2: § Diskretni sustav opisan je jednadžbom diferencija: § Odrediti odziv na pobudu:

Primjena Z transformacije, ulazni signal

Primjena Z transformacije, ulazni signal

Koeficijenti. . . rješavamo se j u nazivniku

Koeficijenti. . . rješavamo se j u nazivniku

Koeficijenti. . .

Koeficijenti. . .

Rješenje y(k). . .

Rješenje y(k). . .

Konačno rješenje! § Ponovno dobivamo (iz prethodnih zadataka) već poznati odziv: y(k) 1 k

Konačno rješenje! § Ponovno dobivamo (iz prethodnih zadataka) već poznati odziv: y(k) 1 k

Primjena Z transformacije § Diskretni sustav opisan je sljedećim jednadžbama diferencija: a) Nacrtati model

Primjena Z transformacije § Diskretni sustav opisan je sljedećim jednadžbama diferencija: a) Nacrtati model sustava koristeći zadane jednadžbe b) Izabrati varijable stanja i napisati jednadžbe stanja u matričnom obliku c) Nacrtati model sustava na temelju dobivenih jednadžbi stanja d) naći odziv sustava na pobudu

Primjena Z transformacije § Pobuda: e) Odrediti transfer matricu sustava, f) odrediti impulsni odziv

Primjena Z transformacije § Pobuda: e) Odrediti transfer matricu sustava, f) odrediti impulsni odziv sustava, g) transformirati sustav u kanonski oblik i nacrtati model, h) provjeriti osmotrivost i upravljivost.

a) Model sustava Rješenje: u 1(k) E– 1 u 1(k– 1) + - 2

a) Model sustava Rješenje: u 1(k) E– 1 u 1(k– 1) + - 2 y 2(k - 1) u 2(k– 1) + + + E– 1 – E– 1 y 1(k - 1) 2 u 2(k) y 1(k) y 2(k)

b) Opis sustava varijablama stanja § Jednadžbe stanja kojima želimo opisati sustav trebaju biti

b) Opis sustava varijablama stanja § Jednadžbe stanja kojima želimo opisati sustav trebaju biti oblika: § Očito je da pri izboru varijabli stanja u zadanim jednadžbama treba eliminirati u(k-1) i y(k-1):

b) Opis sustava varijablama stanja § Iz gornjih jednadžbi slijedi: (k ® k +

b) Opis sustava varijablama stanja § Iz gornjih jednadžbi slijedi: (k ® k + 1) § Iz polaznih jednadžbi supstituiramo:

b) Opis sustava varijablama stanja § Iz ovoga slijedi: § Pa konačno pišemo jednadžbe

b) Opis sustava varijablama stanja § Iz ovoga slijedi: § Pa konačno pišemo jednadžbe stanja § Odnosno izlazne jednadžbe

b) Opis sustava varijablama stanja § U matričnom obliku pišemo:

b) Opis sustava varijablama stanja § U matričnom obliku pišemo:

c) Model sustava pomoću jednadžbi stanja x (k + 1) = - x (k)

c) Model sustava pomoću jednadžbi stanja x (k + 1) = - x (k) - u (k) 1 2 u 1(k) x 1(k + 1) + E– 1 x 1(k) + y 1(k) - + - - u 2(k) y 1(k) = x 1(k) + 2 u 2(k) x 2(k + 1) 2 E– 1 x 2(k) + y 2(k) = x 2(k) + 2 u 1(k) x 2(k + 1) = - x 1(k) - u 2(k)

d) Odziv sustava na pobudu § Fundamentalnu matricu ćemo odrediti kao inverznu Z–transformaciju matrice

d) Odziv sustava na pobudu § Fundamentalnu matricu ćemo odrediti kao inverznu Z–transformaciju matrice karakterističnih frekvencija F(z). § Odredimo matrice z. I - A, det(z. I - A) i adj(z. I - A)

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu § Da bi proveli inverznu Z–transformaciju F(z) treba njezine

d) Odziv sustava na pobudu § Da bi proveli inverznu Z–transformaciju F(z) treba njezine elemente rastaviti na parcijalne razlomke.

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu § Pa je F(k):

d) Odziv sustava na pobudu § Pa je F(k):

d) Odziv sustava na pobudu § Odziv sustava odredit ćemo pomoću Z –transformacije

d) Odziv sustava na pobudu § Odziv sustava odredit ćemo pomoću Z –transformacije

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu § Sređivanjem dobijemo:

d) Odziv sustava na pobudu § Sređivanjem dobijemo:

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu

d) Odziv sustava na pobudu § Za z = 2:

d) Odziv sustava na pobudu § Za z = 2:

d) Odziv sustava na pobudu § Rastav na parcijalne razlomke:

d) Odziv sustava na pobudu § Rastav na parcijalne razlomke:

d) Odziv sustava na pobudu § Za z = 2: § Pa je:

d) Odziv sustava na pobudu § Za z = 2: § Pa je:

d) Odziv sustava na pobudu § Pa je odziv:

d) Odziv sustava na pobudu § Pa je odziv:

e) Transfer matrica sustava

e) Transfer matrica sustava

f) Impulsni odziv sustava h(k) = Z– 1[H(z)]

f) Impulsni odziv sustava h(k) = Z– 1[H(z)]

f) Impulsni odziv sustava

f) Impulsni odziv sustava

f) Impulsni odziv sustava

f) Impulsni odziv sustava

g), h) Upravljivost, osmotrivost

g), h) Upravljivost, osmotrivost

g), h) Upravljivost, osmotrivost

g), h) Upravljivost, osmotrivost

g), h) Upravljivost, osmotrivost § Dakle, sustav je osmotriv i upravljiv

g), h) Upravljivost, osmotrivost § Dakle, sustav je osmotriv i upravljiv

g), h) Upravljivost, osmotrivost u 1(k) u 2(k) 1/2 2 x 1(k+1) = x

g), h) Upravljivost, osmotrivost u 1(k) u 2(k) 1/2 2 x 1(k+1) = x 1(k) - 1/2 u 1(k) + 1/2 u 2(k) – 2 y 1(k) = x 1(k) + x 2(k) + 2 u 2(k) + - - + E– 1 x 1(k) + y 1(k) E– 1 x 2(k) x 2(k+1) = -x 2(k) - 1/2 u 1(k) - 1/2 u 2(k) + y 2(k) = -x 1(k) + x 2(k) + 2 u 1(k)