Signali i sustavi AUDITORNE VJEBE 8 LSS FER

Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 8 LS&S FER - ZESOI

Upravljivost i osmotrivost Definicija: § Sustav je upravljiv: § ako svi elementi bilo kojeg retka B* koji odgovaraju posljednjem retku svakog Jordanovog bloka u A* nisu jednaki nuli, § ako svi elementi bilo kojeg retka B* koji odgovaraju jednostrukim korijenima u A* nisu jednaki nuli.

Upravljivost i osmotrivost Definicija: § Sustav je osmotriv: § ako svi elementi bilo kojeg stupca C* koji odgovaraju prvom stupcu svakog Jordanovog bloka u A* nisu jednaki nuli, § ako svi elementi bilo kojeg stupca C* koji odgovaraju jednostrukim korijenima u A* nisu jednaki nuli. § Naglasimo: za određivanje upravljivosti i osmotrivosti sustav mora biti u kanonskom obliku (matrica A* dijagonalna!).

Zadatak 1 Definiciju osmotrivosti i upravljivosti objasnit ćemo primjerom. 1. Odrediti upravljivost i osmotrivost sustava, koji je ostvaren paralelnom realizacijom. § Jednadžbe stanja: § x 1´ = 2 x 1 + 5 u, x 2´ = x 2 + x 3, x 3´ = x 3 + 2 u. § Izlazne jednadžbe: y 1 = x 1 + 3 x 3, y 2 = 2 x 1 + 4 x 3.

Zadatak 1 § U matričnom obliku, to izgleda ovako: upravljivost Jednadžbe stanja Jednostruki korijen osmotrivost Izlazne jednadžbe

Zadatak 1 § U matričnom obliku, to izgleda ovako: Jednadžbe stanja upravljivost Jordanov blok (višestruki korijen) osmotrivost Izlazne jednadžbe Nije osmotriv (svi su elementi nula)!

Zadatak 1, nastavak § Blok dijagram u 5 x 1´ = 2 x 1 + 5 u x´ 1 + ò x 1 x 3´ = x 3 + 2 u 2 + y 2 = 2 x 1 + 4 x 3 3 2 x´ 3 2 y 1 = x 1 + 3 x 3 + y 1 x 2´ = x 2 + x 3 ò x 3 + x´ 2 ò x 2 4 + y 2

Zadatak 1, nastavak § § Koji je “fizikalni” smisao naših pravila? Matrica B: da je neki od redaka jednak nuli neka stanja ne bi bila pobuđena (neupravljivost)! 2 5 + x´ 1 ò x 1 + y 1 y 2 + 2 3 2 0 Dovoljno je da prvi koeficijent u “seriji” nije nula (odgovara posljednjem retku Jordanovog bloka). u + x´ 3 ò x 3 + x´ 2 ò x 2 4

Zadatak 1, nastavak § Matrica C: jedan od stupaca je jednak nuli stanje X 2 nije vidljivo niti s jednog izlaza (neosmotrivost) ! 2 5 + x´ 1 ò x 1 1 + y 1 y 2 + x´ 3 ò 0 3 2 x 3 + x´ 2 ò x 2 0 0 Ovi koeficijenti odgovaraju prvom stupcu Jordanovog bloka. Dovoljno bi bilo da bar jedan nije 0. u 4

Zadatak 2. § Odrediti upravljivost i osmotrivost sustava, koji je ostvaren direktnom realizacijom.

Rješenje Oblik matrice A ukazuje na direktnu realizaciju. det(s. I - A) = (s + 1)(s + 2)(s + 3), s 1 = -2, s 2 = -1, s 3 = -3. §

Nastavak. . . nije upravljiv osmotriv je

u Blok - dijagram? + x´ 1 - x 1 ò x 1´ = -2 x 1 + u 2 naupravljiv + x´ 2 - ò x 2 2 x 2´ = -x 2 + x´ 3 - ò x 3 3 x 3´ = -3 x 3 + u 3 + y y = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3

Odziv linearnih sustava x´ = Ax + Bu, t 0 = 0. s. X(s) - x(0) = A X(s) + B U(s), (s. I - A) X(s) = x(0) + B U(s). Pomnožimo slijeva sa (s. I - A)-1: X(s) = (s. I - A)-1 x(0) + (s. I - A)-1 B U(s), F(s) = (s. I - A)-1, § matrica karakterističnih frekvencija. X(s) = F(s) x(0) + F(s) B U(s). (1) y = Cx + Du, Y(s) = C X(s) + D U(s), Y(s) = C F(s) x(0) + [C F(s) B + D] U(s). (2)

Nastavak. . . § H(s) = CF(s)B + D, § § transfer matrica. Pretvorimo (1) u donje područje § F(t) - fundamentalna (prijelazna) matrica. § Pretvorimo (2) u donje područje

Zadatak 1. § Zadane su matrice A, B, C, D kontinuiranog sustava, te pobuda u. Odredi odziv sustava i napiši matricu impulsnog odziva.

Rješenje

Nastavak. . . matrica karakterističnih frekvencija § Transformacijom F(s) u F(t) dobivamo : prijelazna ili fundamentalna matrica

Nastavak. . . § Skraćeno zapisano :

Nastavak. . .

Nastavak. . . § Transfer matrica

Nastavak. . . § Transformacijom H(s) u h(t) dobivamo § Broj redaka od H(s) º broj izlaza. § Broj stupaca od H(s) º broj ulaza.