Analogni filtri Novi Sad Maj 2008 Sadraj Amplitudske

Analogni filtri Novi Sad, Maj 2008.

Sadržaj • Amplitudske karakteristike idealnih i realnih filtara • Aproksimacije amplitudske karateristike – Batervortova aproksimacija – Čebiševljeva aproksimacija – Eliptička aproksimacija – Beselova aproksimacija • Transformacije učestanosti • MATLAB funkcije za projektovanje filtara

Amplitudske karakteristike idealnih filtara Flitar propusnik niskih učestanosti Filtar propusnik visokih učestanosti Filtar propusnik opsega učestanosti Filtar nepropusnik opsega učestanosti Filtar propusnik svih učestanosti

Gabariti realne amplitudske karakteristike 1

Gabariti realne amplitudske karakteristike 2

Batervortova (Butterworth) aproksimacija • Izvedena je pod pretpostavkom da je amplitudska karakteristika maksimalno ravna u koordinatnom početku • Striktno je monotona u propusnom i u nepropusnom opsegu

Batervortova (Butterworth) aproksimacija • Parametar ε određuje slabljenje na granici propusnog opsega • Osim parametra ε potrebno je odrediti i red filtarske funkcije, n

Raspored polova n=5

Raspored polova n=6

Raspored polova n=7

Amplitudska karakteristika i grupno kašnjenje Rp = 3 d. B

Karakteristike Batervortove aproksimacije • Greška aproksimacije je vrlo mala u donjem delu propusnog opsega i u gornjem delu nepropusnog opsega • Bolje karakteristike u prelaznoj zoni kao i niži red filtra mogu se dobiti ako se greška aproksimacije pravilnije rasporedi u propusnom opsegu, u nepropusnom opsegu ili u oba • U prvom slučaju dobijaju se Čebiševljevi filtri prve vrste, u drugom Čebiševljevi filtri druge vrste, a u trećem eliptički filtri

Čebiševljeva aproksimacija prve vrste • Aproksimacija amplitudske karakteristike data je izrazom • Cn(Ω) je Čebiševljev polinom

Raspored polova n = 7, Rp = 1 d. B

Raspored polova n = 7, Rp = 0. 5 d. B

Raspored polova n = 7, Rp = 0. 1 d. B

Amplitudska karakteristika i grupno kašnjenje Rp = 1 d. B

Čebiševljeva aproksimacija druge vrste • Aproksimacija amplitudske karakteristike data je izrazom • Parametar ε određuje sada određuje minimalno slabljenje u nepropusnom opsegu

Raspored polova i nula n = 7, Rs = 80 d. B

Raspored polova i nula n = 7, Rs = 60 d. B

Raspored polova i nula n = 7, Rs = 40 d. B

Amplitudska karakteristika i grupno kašnjenje Rs = 60 d. B

Eliptička aproksimacija • Aproksimacija amplitudske karakteristike data je izrazom

Raspored polova i nula n = 5, Rp = 1 d. B, Rs = 60 d. B

Raspored polova i nula n = 6, Rp = 1 d. B, Rs = 60 d. B

Raspored polova i nula n = 7, Rp = 1 d. B, Rs = 60 d. B

Amplitudska karakteristika i grupno kašnjenje n = 6, Rp = 1 d. B, Rs = 60 d. B

Beselova (Bessel) aproksimacija • Aproksimira idealnu (linearnu) faznu karakteristiku, odnosno, konstantno grupno kašenjenje • Prenosna funkcija ima oblik • Bn(S) je Beselov polinom n-tog reda

Raspored polova n=5

Raspored polova n=6

Raspored polova n=7

Amplitudska karakteristika i grupno kašnjenje

Poređenje, n=7

Poređenje, n=6

Generalne napomene • Filtar sa najstrmijom karakteristikom u prelaznoj oblasti (najmanjom širinom prelazne oblasti) => ELIPTIČKA aproksimacija • Filtar sa najravnijom karakteristikom u propusnom opsegu => BATERVORTOVA aproksimacija • Filtar sa najkonstantnijim grupnim kašnjenjem => BESELOVA aproksimacija

Odziv na Hevisajdov impuls

Odziv na pravougaoni impuls

Transformacije učestanosti • Do sada smo razmatrali isključivo sintezu NF filtara • Pri tome smo za graničnu učestanost Ωp uzimali vrednost od 1 rad/s • Ovako projektovani NF filtar zove se normalizovani ili propotipski NF filtar • Ukoliko je potrebno projektovati NF filtar sa drugom graničnom učestanošću, ili neki drugi tip filtra, mora se izvršiti transformacija učestanosti oblika gde je s kompleksna učestanost u funkciji prenosa normalizovanog NF filtra, dok je S kompleksna učestanost u funkciji prenosa filtra dobijenog nakon transformacije

Moguće transformacije učestanosti • • NF → NF NF → VF NF → PO NF → NO

NF → NF • U ovom slučaju opšta transformacija ima oblik • Denormalizaciona konstanta a određuje se iz jednog od dva uslova • Zatim se vrši preslikavanje nula i polova funkcije prenosa, ili transformacija cele funkcije prenosa

NF → NF

Batervort, n=10

Čebišev prve vrste, n=6

Čebišev druge vrste, n=6

Eliptički, n=4

NF → VF • U ovom slučaju opšta transformacija ima oblik • Konstanta a određuje se iz jednog od dva uslova • Zatim se vrši preslikavanje nula i polova funkcije prenosa, ili transformacija cele funkcije prenosa

NF → VF

Batervort, n=10

Čebišev prve vrste, n=6

Čebišev druge vrste, n=6

Eliptički, n=4

NF → PO • U ovom slučaju opšta transformacija ima oblik • Zatim se vrši preslikavanje nula i polova funkcije prenosa, ili transformacija cele funkcije prenosa

NF → PO Uslov geometrijske simetrije graničnih učestanosti:

Batervort, n=8

Čebišev prve vrste, n=5

Čebišev druge vrste, n=5

Eliptički, n=4

NF → NO • U ovom slučaju opšta transformacija ima oblik • Zatim se vrši preslikavanje nula i polova funkcije prenosa, ili transformacija cele funkcije prenosa

NF → NO Uslov geometrijske simetrije graničnih učestanosti:

Batervort, n=8

Čebišev prve vrste, n=5

Čebišev druge vrste, n=5

Eliptički, n=4

MATLAB funkcije za projektovanje filtara • Batervortova aproksimacija – [b, a] = butter(n, Wn, 'ftype', 's') • Čebiševljeva aproksimacija – [b, a] = cheby 1(n, Rp, Wn, 'ftype', 's') – [b, a] = cheby 2(n, Rs, Wn, 'ftype', 's') • Eliptička aproksimacija – [b, a] = ellip(n, Rp, Rs, Wn, 'ftype', 's') • Beselova aproksimacija – [b, a] = besself(n, Wn, 'ftype')

MATLAB funkcije za projektovanje filtara • Svaka od navedenih funkcija vraća koeficijente polinoma u brojiocu (b) i u imeniocu (a) funkcije prenosa filtra projektovanog na osnovu zadatih specifikacija

Značenje parametara • n – određuje red filtra koji će biti projektovan, • Rp – slabljenje signala na graničnoj učestanosti izraženo u decibelima (ovo je zapravo parametar δ), • Rn – minimalno slabljenje signala u nepropusnom opsegu izraženo u decibelima, • Wn – granična (kritična) učestanost filtra, • ftype – tip filtra koji se projektuje, moguće vrednosti su: – high – projektuje se VF filtar sa graničnom učestanošću Wn, – low – projektuje se NF filtar sa graničnom učestanošću Wn, – stop – projektuje se NO filtar sa graničnim učestanostima nepropusnog opsega Wn 1, Wn 2, Wn 1 < Wn 2 (što znači da je u ovom slučaju ulazni parametar Wn zapravo vektor od dva elementa), – bandpass – projektuje se PO filtar sa graničnim učestanostima propusnog opsega Wn 1, Wn 2, Wn 1 < Wn 2 • Parametar 's' govori matlabu da želimo da izvršimo projektovanje analognih filtara i obavezan je

Određivanje minimalnog reda filtra • U praksi je vrlo važno projektovati filtre minimalnog reda za zadatu specifikaciju jer se na taj način optimalno koriste raspoloživi hardverski resursi • MATLAB poseduje funkcije buttord, cheb 1 ord, cheb 2 ord, ellipord pomoću kojih se može odrediti minimalni red filtra n, za zadate specifikacije

Primer projektovanja filtara u MATLAB-u Projektovati analogni NF filtar na osnovu zadatih specifikacija: – – n = 6, Rp = 5 d. B, Rn = 40 d. B, Wn = 10000 rad/s korišćenjem: a) b) c) d) Čebiševljeve aproksimacije prve vrste Čebiševljeve aproksimacije druge vrste Batervortove aproksimacije Eliptičke aproksimacije

Batervortova aproksimacija

Čebiševljeva aproksimacija prve vrste

Čebiševljeva aproksimacija druge vrste

Eliptička aproksimacija