2 3 Example 1 Calculate the deformations of
- Slides: 138
2
3
Example 1: Calculate the deformations of the shown frame where E = 106 k. N/m 2, and the section of all members is rectangular with dimension 30 cm x 80 cm. 30 k. N/m A 8 B 120 k. N D 8 C 4
d 3 d 2 d 6 d 1 d 5 d 4 B A D 8 C 5
Stiffness matrix K= 30, 300 0 1, 200 -30, 000 0 30, 300 1, 200 0 -300 1, 200 12, 800 0 -1, 200 3, 200 -30, 000 0 0 30, 300 0 1, 200 0 -300 -1, 200 0 30, 300 -1, 200 0 1, 200 3, 200 1, 200 -1, 200 12, 800 6
Force vector 30 k. N/m A 8 B 120 k. N D 30 x 82 12 160 k. Nm 30 k. N/m A C 8 160 k. Nm B 120 k. N 8 7
Force vector 120 x 8 8 60 k. N 30 k. N/m A 120 k. Nm 8 B 120 k. N D B C 8 120 k. N 8 60 k. N C 120 k. Nm 120 x 8 8 8
Force vector 30 k. N/m A 120 k. Nm 120 x 8 8 A 8 8 B 120 k. N D 60 k. N C 8 120 k. N D 60 k. N 120 k. Nm 120 x 8 8 9
Force vector 160 k. Nm A 120 k. Nm 120 k. N A 60 k. N Fixed End Reaction (FER) 30 k. N/m 160 k. Nm B 120 k. Nm 120 k. N 60 k. N B 120 k. N D 120 k. Nm 60 k. N 10 C 120 k. Nm
Force vector Fixed End Action (FEA) 30 k. N/m 160 k. Nm A 120 k. Nm B 120 k. N A 120 k. N 60 k. N d 3 120 k. N d 2 d 1 A D 120 k. Nm 60 k. N 120 k. Nm d 6 B d 5 120 k. N d 4 B D C 60 k. N 11 C 120 k. Nm
Force vector 160 k. Nm Fixed End Action (FEA) 30 k. N/m A B 120 k. N d 3 60 k. N B 120 k. N B D 60 k. N C 120 k. Nm C F 1 60 F 2 -120 F 3 - 40 F 4 120 k. Nm d 1 A 120 k. Nm 120 D 60 k. N d 6 120 k. Nm A 60 k. N 160 k. Nm d 2 = - 60 F 5 -120 F 6 40 12 d 5 d 4
Stiffness Equation F= K D 60 30, 300 -120 0 - 40 - 60 = 0 30, 300 1, 200 12, 800 -30, 000 0 d 1 0 -300 1, 200 d 2 0 -1, 200 3, 200 d 3 1, 200 -30, 000 0 30, 300 -120 0 -300 -1, 200 40 0 1, 200 3, 200 1, 200 d 4 30, 300 -1, 200 d 5 -1, 200 12, 800 d 6 0 13
Stiffness Equation D = K-1 F -1 d 1 30, 300 d 2 0 d 3 d 4 = 0 1, 200 -30, 000 30, 300 1, 200 12, 800 -30, 000 0 0 60 0 -300 1, 200 -120 0 -1, 200 3, 200 - 40 30, 300 d 5 0 -300 -1, 200 d 6 0 1, 200 3, 200 1, 200 0 0 1, 200 - 60 30, 300 -1, 200 -120 -1, 200 12, 800 40 14
Deformations d 1 0. 0010806 d 2 - 0. 004 d 3 - 0. 0043017 d 4 = - 0. 0010806 d 5 - 0. 004 d 6 0. 0043017 15
Another Solution 30 k. N/m A 8 B 120 k. N D 8 C 16
Another Solution d 3 d 2 d 1 B A k 11 k 12 k 13 K = k 21 k 22 k 23 k 31 k 32 k 33 D C 8 17 d 3
First column in Stiffness matrix d 1 =1 d 1 18
First column in Stiffness matrix 2 EA 1 6 EI L 1, 200 L 2 2 E A L 2 60, 000 300 12 EI L 3 EA/L = 30, 000 2 EI/L = 3, 200 4 EI/L = 6, 400 6 EI/L 2 = 1, 200 12 EI/L 3= 300 19
First column in Stiffness matrix 60, 000 1, 200 60, 000 300 d 3 d 2 d 1 k 11 k 21 = k 31 60, 300 0 1, 200 20
Second column in Stiffness matrix d 2 =1 d 2 21
Second column in Stiffness matrix EA 30, 000 L EA/L = 30, 000 1 d 3 d 2 d 1 k 12 0 k 22 = 30, 000 k 32 0 22
Third column in Stiffness matrix d 3 =1 d 3 23
Third column in Stiffness matrix 4 EI 6, 400 L 1 1, 200 6 EI L 2 a 24
Third column in Stiffness matrix d 3 =1 d 3 25
1 4 EI L 2 EI L 1 1 2 EI L 26
Third column in Stiffness matrix 1 4 EI 6, 400 L 1, 200 6 EI L 2 2 EI L 1 2 EI 1 L 3, 200 EA/L = 30, 000 2 EI/L = 3, 200 4 EI/L = 6, 400 6 EI/L 2 = 1, 200 12 EI/L 3= 300 27
Third column in Stiffness matrix 4 EI 6, 400 L 2 EI L 1, 200 6 EI L 2 2 EI L 3, 200 d 3 3, 200 d 2 d 1 k 13 1, 200 k 23 = k 33 0 9, 600 28
Stiffness matrix k 11 k 21 = k 31 60, 300 0 1, 200 K= k 12 k 13 0 1, 200 k 22 = 30, 000 k 23 = k 32 k 33 0 60, 300 0 1, 200 0 30, 000 0 1, 200 0 9, 600 29
Force vector 30 k. N/m A 8 B 120 k. N D 30 x 82 12 160 k. Nm 30 k. N/m A C 8 160 k. Nm B 120 k. N 8 30
Force vector 30 k. N/m A 120 k. Nm 120 x 8 8 B 120 k. N D 60 k. N C 8 120 k. N C 60 k. N 120 k. Nm 120 x 8 8 31
Force vector 160 k. Nm A 120 k. Nm 120 k. N B Fixed End Reaction (FER) 30 k. N/m 160 k. Nm B 120 k. N B 60 k. N 120 k. N C 120 k. Nm 60 k. N C 32
Force vector 160 k. Nm A 120 k. Nm 120 k. N B Fixed End Action (FEA) 30 k. N/m 160 k. Nm B 120 k. N B 60 k. N 120 k. N C C 120 k. Nm 60 k. N 33
Force vector 160 k. Nm Fixed End Action (FEA) 30 k. N/m A 160 k. Nm d 3 d 2 d 1 B 120 k. Nm B 60 k. N F 1 B F 2 = -120 k. N 120 60 k. N C 120 k. Nm 60 F 3 - 40 C 34
Stiffness Equation F= K D 60 -120 - 40 d 1 d 2 d 3 = 60, 300 0 1, 200 d 1 0 30, 000 0 d 2 1, 200 0 9, 600 d 3 D= -1 K F = -1 60, 300 0 1, 200 60 0 30, 000 0 -120 1, 200 0 9, 600 - 40 35
Deformations d 1 d 2 = d 3 0. 0010806 - 0. 0043017 d 1 0. 0010806 d 2 - 0. 004 d 3 - 0. 0043017 d 4 = - 0. 0010806 d 5 - 0. 004 d 6 0. 0043017 36
Example 2: Calculate the deformations of the shown frame where E = 106 k. N/m 2, and the section of all members is rectangular with dimension 30 cm x 80 cm. A 8 B 120 k. N D 8 C 37
d 3 d 2 d 6 d 1 d 5 d 4 B A D 8 C 38
Stiffness matrix K= 30, 300 0 1, 200 -30, 000 0 30, 300 1, 200 0 -300 1, 200 12, 800 0 -1, 200 3, 200 -30, 000 0 0 30, 300 0 1, 200 0 -300 -1, 200 0 30, 300 -1, 200 0 1, 200 3, 200 1, 200 -1, 200 12, 800 39
Force vector 120 k. Nm A 120 x 8 8 B 120 k. N D C 8 60 k. N 120 k. N C 60 k. N 120 k. Nm 120 x 8 8 40
A Force vector 120 k. Nm 120 x 8 8 A 8 8 B 120 k. N D C 8 60 k. N 120 k. N D 60 k. N 120 k. Nm 120 x 8 8 41
Force vector A 120 k. Nm A B 120 k. Nm B 60 k. N 120 k. N D 120 k. Nm Fixed End Reaction (FER) 60 k. N C 120 k. Nm 42 60 k. N
Force vector Fixed End Action (FEA) A B 120 k. Nm B B 60 k. N d 3 120 k. N d 2 d 1 A C 120 k. Nm 60 k. N d 6 d 5 d 4 120 60 k. N B D C C 120 k. Nm 43 60 k. N
Force vector Fixed End Action (FEA) d 3 A B B 60 k. N 120 k. Nm C 120 k. Nm B 60 k. N C F 1 60 F 2 0 F 3 120 F 4 D 60 k. N d 1 D 120 k. N 120 d 6 A 120 k. Nm A d 2 = 60 F 5 0 F 6 120 44 d 5 d 4
Stiffness Equation F= K D 60 30, 300 0 0 120 60 = 0 30, 300 1, 200 12, 800 -30, 000 0 d 1 0 -300 1, 200 d 2 0 -1, 200 3, 200 d 3 1, 200 -30, 000 0 30, 300 0 0 -300 -1, 200 120 0 1, 200 3, 200 1, 200 d 4 30, 300 -1, 200 d 5 -1, 200 12, 800 d 6 0 45
Stiffness Equation D = K-1 F -1 d 1 30, 300 d 2 0 d 3 d 4 = 0 1, 200 -30, 000 30, 300 1, 200 12, 800 -30, 000 0 0 60 0 -300 1, 200 0 0 -1, 200 30, 300 d 5 0 -300 -1, 200 d 6 0 1, 200 3, 200 1, 200 0 0 120 1, 200 60 30, 300 -1, 200 12, 800 120 46
Deformations d 1 0. 2436 d 2 0. 009 d 3 - 0. 0109 d 4 = 0. 2436 d 5 - 0. 009 d 6 - 0. 0109 47
Another Solution A 8 B 120 k. N D 8 C 48
Another Solution d 3 d 2 d 1 d 3 B A k 11 k 12 k 13 K = k 21 k 22 k 23 k 31 k 32 k 33 d 2 D C 8 49 d 1
First column in Stiffness matrix d 1 =1 d 1 50
First column in Stiffness matrix 1 6 EI 1, 200 L 2 300 12 EI L 3 EA/L = 30, 000 2 EI/L = 3, 200 4 EI/L = 6, 400 6 EI/L 2 = 1, 200 12 EI/L 3= 300 51
First column in Stiffness matrix 1, 200 300 d 3 d 2 d 1 k 11 k 21 = k 31 300 0 1, 200 52
Second column in Stiffness matrix d 2 =1 d 2 53
Second column in Stiffness matrix E A 2, 400 30, 000 L 2 1 12 EI 24 EI 3 2 L L 600 12 EI L 2 2, 400 24 EI L 3 600 b d 3 c d 2 d 1 k 12 0 k 22 = 30, 600 k 32 2, 400 54
Third column in Stiffness matrix d 3 =1 d 3 55
Third column in Stiffness matrix 4 EI 6, 400 L 1 1, 200 6 EI L 2 a 56
Third column in Stiffness matrix d 3 =1 d 3 57
1 4 EI L 2 EI L 1 1 6 EI L 58
Third column in Stiffness matrix 1 4 EI 6, 400 L 1, 200 6 EI L 2 6 EI L 1 6 EI L 9, 600 2, 400 EA/L = 30, 000 2 EI/L = 3, 200 4 EI/L = 6, 400 6 EI/L 2 = 1, 200 12 EI/L 3= 300 59
Third column in Stiffness matrix 4 EI 6, 400 L 9, 600 1, 200 6 EI L 2 d 3 9, 600 2, 400 d 2 d 1 k 13 1, 200 k 23 = 2, 400 k 33 16, 000 60
Stiffness matrix k 11 k 21 = k 31 300 0 1, 200 K= k 12 0 k 22 = 30, 600 k 32 2, 400 300 0 1, 200 0 30, 600 2, 400 1, 200 k 13 1, 200 k 23 = 2, 400 k 33 16, 000 2, 400 16, 000 61
Force vector 120 k. Nm A 120 x 8 8 B 120 k. N D C 8 60 k. N 120 k. N C 60 k. N 120 k. Nm 120 x 8 8 62
A Force vector 120 k. Nm 120 x 8 8 A 8 8 B 120 k. N D C 8 60 k. N 120 k. N D 60 k. N 120 k. Nm 120 x 8 8 63
Force vector A 120 k. Nm A B 120 k. Nm B 60 k. N 120 k. N D 120 k. Nm Fixed End Reaction (FER) 60 k. N C 120 k. Nm 64 60 k. N
Force vector Fixed End Action (FEA) A B 120 k. Nm B B 60 k. N d 2 d 1 d 3 120 k. N d 3 C 120 k. Nm d 120 1 k. N B A 60 k. N d 2 60 k. N D C C 120 k. Nm 65 60 k. N
Force vector Fixed End Action (FEA) d 2 d 1 d 3 A d 3 C D 120 k. Nm A B 60 k. N F 1 120 k. N 120 F 2 = F 3 D 60 k. N 120 k. Nm d 1 B A B d 2 C 120 k. Nm 60 k. N 66 60 0 120
Stiffness Equation F= K D 60 300 0 1, 200 d 1 0 30, 600 2, 400 d 2 2, 400 16, 000 d 3 = 0 120 1, 200 D= -1 K F -1 d 2 d 3 = 300 0 1, 200 60 0 30, 600 2, 400 16, 000 120 1, 200 67
Deformations d 1 0. 2436 d 2 0. 009 - 0. 0109 d 1 0. 2436 d 3 d 2 0. 009 d 4 d 3 - 0. 0109 d 5 - 0. 009 d 6 - 0. 0109 = 0. 2436 68
69
A B 50 k. N D 8 C 70
d 3 d 2 d 6 d 1 d 5 d 4 B A D 8 C 71
Another solution d 1 B A D 8 C 72
First column in Stiffness matrix c b 30, 000 1, 200 d 3 300 d 2 d 1 b a d 6 c d 30, 000 d 5 d 4 k 11 30, 300 k 21 0 k 31 1, 200 k 41 = c -30, 000 k 51 0 k 61 0 d 73
Another solution d 2 d 3 d 1 B A D 8 C 74
Example 3: Calculate the deformations of the shown frame where E = 106 k. N/m 2, and the section of all members is rectangular with dimension 30 cm x 80 cm. 30 k. N/m A 8 B 60 k. N 120 k. N D 8 C 75
d 3 d 2 d 6 d 1 d 5 d 4 B A D 8 C 76
Stiffness matrix K= 30, 300 0 1, 200 -30, 000 0 30, 300 1, 200 0 -300 1, 200 12, 800 0 -1, 200 3, 200 -30, 000 0 0 30, 300 0 1, 200 0 -300 -1, 200 0 30, 300 -1, 200 0 1, 200 3, 200 1, 200 -1, 200 12, 800 77
Force vector 30 k. N/m A 8 B 120 k. N D 30 x 82 12 160 k. Nm 30 k. N/m A C 8 160 k. Nm B 120 k. N 8 78
Force vector 30 k. N/m A 120 k. Nm 120 x 8 8 A 8 8 B 120 k. N D 60 k. N C 8 120 k. N D 60 k. N 120 k. Nm 120 x 8 8 79
Force vector 30 k. N/m A 60 x 8 8 30 k. N 60 k. Nm 8 B 120 k. N D B C 8 60 k. N 8 30 k. N C 60 k. Nm 60 x 8 8 80
Force vector 160 k. Nm A 120 k. Nm 120 k. N A 60 k. N Fixed End Reaction (FER) 30 k. N/m 160 k. Nm B 60 k. Nm 120 k. N 30 k. N B 120 k. N 60 k. N C 120 k. Nm 60 k. N 30 k. N C 81 60 k. Nm
Force vector Fixed End Action (FEA) 30 k. N/m 160 k. Nm A 120 k. Nm B 120 k. N A 60 k. N d 3 120 k. N d 2 d 1 A D 120 k. Nm 60 k. Nm 120 k. N d 6 30 k. N d 5 B d 4 60 k. N B D C 30 k. N C 82 60 k. Nm
Force vector 160 k. Nm Fixed End Action (FEA) 30 k. N/m A B 120 k. N d 3 B 30 k. N 60 k. N 120 D 120 k. Nm B D 30 k. N C 60 k. Nm C F 1 60 F 2 -120 F 3 - 40 F 4 60 k. N d 1 A 60 k. Nm 60 k. N d 6 120 k. Nm A 160 k. Nm d 2 = - 30 F 5 -120 F 6 100 83 d 5 d 4
Stiffness Equation F= K D 60 30, 300 -120 0 - 40 - 30 = 0 30, 300 1, 200 12, 800 -30, 000 0 d 1 0 -300 1, 200 d 2 0 -1, 200 3, 200 d 3 1, 200 -30, 000 0 30, 300 -120 0 -300 -1, 200 100 0 1, 200 3, 200 1, 200 d 4 30, 300 -1, 200 d 5 -1, 200 12, 800 d 6 0 84
Stiffness Equation D = K-1 F -1 d 1 30, 300 d 2 0 d 3 d 4 = 0 1, 200 -30, 000 30, 300 1, 200 12, 800 -30, 000 0 0 60 0 -300 1, 200 -120 0 -1, 200 3, 200 - 40 30, 300 d 5 0 -300 -1, 200 d 6 0 1, 200 3, 200 1, 200 0 0 1, 200 - 30 30, 300 -1, 200 -120 -1, 200 12, 800 100 85
Deformations d 1 0. 0618 d 2 - 0. 0038 d 3 - 0. 0101 d 4 = 0. 0600 d 5 - 0. 0042 d 6 0. 0047 86
Another solution d 2 d 3 d 1 B A k 11 k 12 k 13 K = k 21 k 22 k 23 k 31 k 32 k 33 d 1 D C 8 87
First column in Stiffness matrix d 1 =1 d 1 88
First column in Stiffness matrix 1 6 EI 1, 200 L 2 1, 200 300 12 EI L 3 300 EA/L = 30, 000 2 EI/L = 3, 200 4 EI/L = 6, 400 6 EI/L 2 = 1, 200 12 EI/L 3= 300 89
First column in Stiffness matrix 1, 200 300 d 2 d 1 1, 200 300 k 11 600 k 21 = 1, 200 k 31 1, 200 90 d 3 d 1
Second column in Stiffness matrix d 2 =1 d 2 91
Second column in Stiffness matrix 2 EI 3, 200 L 1 4 EI 6, 400 L 6 EI L 2 1, 200 4 EI L 1 6, 400 6 EI L 2 EA/L = 30, 000 2 EI/L = 3, 200 4 EI/L = 6, 400 6 EI/L 2 = 1, 200 12 EI/L 3= 300 92
Second column in Stiffness matrix 3, 200 6, 400 1, 200 6, 400 d 2 d 1 d 3 d 1 k 12 1, 200 k 22 = 12, 800 k 32 3, 200 93
Third column in Stiffness matrix d 3 =1 d 3 94
Sixth column in Stiffness matrix 2 EI L 3, 200 1, 200 6 EI L 2 6, 400 4 6 EI L 2 1 1, 200 EI L 4 EI 6, 400 L 1 1, 200 6 EI L 2 EA/L = 30, 000 2 EI/L = 3, 200 4 EI/L = 6, 400 6 EI/L 2 = 1, 200 12 EI/L 3= 300 95
Sixth column in Stiffness matrix 6, 400 3, 200 6, 400 1, 200 d 2 d 1 1, 200 d 3 d 1 k 13 1, 200 k 23 = 3, 200 k 33 12, 800 96
k 11 600 k 12 1, 200 k 13 1, 200 3, 200 k 21 = 1, 200 k 22 = 12, 800 k 23 = k 31 1, 200 k 32 k 33 K= 3, 200 600 1, 200 12, 800 3, 200 1, 200 3, 200 12, 800 97
Force vector 160 k. Nm A 120 k. Nm 120 k. N A 60 k. N Fixed End Reaction (FER) 30 k. N/m 160 k. Nm B 60 k. Nm 120 k. N 30 k. N B 120 k. N 60 k. N C 120 k. Nm 60 k. N 30 k. N C 98 60 k. Nm
Force vector Fixed End Action (FEA) 160 k. Nm 30 k. N/m 160 k. Nm A 120 k. Nm 120 k. N A 60 k. N 120 k. N D 120 k. Nm B 60 k. N d 2 60 k. Nm 120 k. N d 1 d 3 d 1 30 k. N B 60 k. N 30 k. N C 99 60 k. Nm
Force vector 160 k. Nm 30 k. N/m A B 120 k. Nm A Fixed End Action (FEA) d 3 d 2 d 1 160 k. Nm 60 k. N F 1 B 30 k. N F 2 = - 40 60 k. N 120 60 k. N D 120 k. Nm 30 F 3 100 30 k. N C 60 k. Nm 100
Stiffness Equation F= K D 30 600 1, 200 d 1 - 40 = 1, 200 12, 800 3, 200 d 2 100 1, 200 3, 200 12, 800 d 3 D= d 1 600 d 2 = 1, 200 d 3 1, 200 -1 K F -1 30 1, 200 12, 800 3, 200 - 40 3, 200 12, 800 101
Deformations d 1 0. 0618 d 1 0. 0607 d 2 - 0. 0038 d 2 -0. 0100 d 3 - 0. 0101 d 3 0. 0046 d 4 = 0. 0600 d 5 - 0. 0042 d 6 0. 0047 102
103
Example 4: Draw N. F, S. F & B. M. Ds for the shown frame where E = 106 k. N/m 2 12 k. N/m A B m 2 A=0. 6 I = 0. 02 m 4 3 m 2 A=0. 4 I = 0. 005 m 4 50 k. N 2 C 8 104 60
Modeling A d 3 d 2 d 1 B d 4 d 5 C 105
Stiffness matrix k 11 k 12 k 13 k 14 k 15 k 21 k 22 k 23 k 24 k 25 K = k 31 k 32 k 33 k 34 k 35 k 41 k 42 k 43 k 44 k 45 k 51 k 52 k 53 k 54 k 55 106
First column in Stiffness matrix d =1 1 A d 1 B C 107
First column in Stiffness matrix 1 A A B B 2 E = 106 k. N/m. B A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 C C EA L 1 6 EI L 2 12 EI L 3 108 6 EI L 2
First column in Stiffness matrix 75, 000 1200 106 x. 6 6 X 106 X. 005 8 52 12 X 106 X. 005 A 53 480 2 E = 106 k. N/m. B A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 480 1200 C 109
First column in Stiffness matrix 75, 000 1200 A B d 2 d 3 d 1 d 4 d 5 k 11 75, 480 k 21 0 k 31 = 1200 k 41 - 240 k 51 1200 480 C 480 240 60 1200 110
Second column in Stiffness matrix d 2 =1 d 2 A B C 111
Second column in Stiffness matrix 12 EI L 3 A A 6 EI L 2 EA L 1 1 B 2 E = 106 k. N/m. B A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 C C 112
Second column in Stiffness matrix 6 X 106 X. 02 469 12 X 106 X. 02 82 1875 80, 000 106 x. 4 5 83 A A B 2 E = 106 k. N/m. B A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 C C 80, 000 113
Second column in Stiffness matrix 1875 80, 000 469 B A d 3 k 12 d 1 d 4 d 5 0 k 22 = 80, 469 k 32 -1875 k 42 -69, 282 k 52 0 C 80, 000 sin 60 69, 282 80, 000 114
Third column in Stiffness matrix d 3 =1 A d 3 B C 115
Third column in Stiffness matrix 4 EI L A B 6 EI 1 L 2 A 4 EI L 2 E = 106 k. N/m. B A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 C 1 6 EI L 2 2 EI L C 116
Third column in Stiffness matrix 4 X 106 X. 02 4, 000 5 8 10, 000 A 6 X 106 X. 02 82 A 4 X 106 X. 005 E= 106 52 6 X 106 X. 005 B 52 1200 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 1 6 X 106 X. 005 1875 k. N/m 2 A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 B 1 1200 2 X 106 X. 005 C 2, 000 117
Third column in Stiffness matrix A B 10, 000 4, 000 1200 1875 d 2 d 3 d 1 d 4 d 5 k 13 1200 k 23 -1875 k 33 = 14, 000 k 43 - 600 k 53 2, 000 1200 60 C 600 2, 000 118
Fourth column in Stiffness matrix d 4 =1 A B d 4 C 119
Fourth column in Stiffness matrix A A B 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 C 3 EI L 2 6 EI L 3 2 E = 106 k. N/m. B A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 0. 5 6 EI L 3 120 3 EI L 2
Fourth column in Stiffness matrix 3 X 106 X. 005 52 A 600 240 B 6 X 106 X. 005 53 A E= 106 6 X 106 X. 005 k. N/m 2 B A=0. 6 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 240 53 m 2 3 X 106 X. 005 C 52 121 600
A EA Sin 60 L 80, 000 sin 60 69, 282 B d 4 C C Sin 60 60 EA Sin 60 L 69, 282 122
69, 282 Fourth column in Stiffness matrix 600 240 A B d 2 d 3 d 1 d 4 d 5 k 14 - 240 k 24 -69, 282 k 34 = - 600 k 44 60, 120 k 54 - 600 240 cos 60 120 600 69, 282 sin 60 60, 000 123
Fifth column in Stiffness matrix d 5 =1 A B d 5 C 124
Fifth column in Stiffness matrix A 2 EI L B 6 EI L 2 A 6 EI L 2 2 E = 106 k. N/m. B A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 C 4 EI L 1 125 C
Fifth column in Stiffness matrix 2 X 106 X. 005 2, 000 5 A 1200 B 6 X 106 X. 005 52 A 6 X 106 X. 005 2 E = 106 k. N/m. B 52 1200 A=0. 6 m 2 I = 0. 02 m 4 5 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 C 4 X 106 X. 005 C 5 1 4, 000 126
Fifth column in Stiffness matrix A 2, 000 B d 2 d 3 d 1 d 4 d 5 1200 k 15 1200 k 25 0 k 35 = 2, 000 k 45 - 600 k 55 4, 000 1200 60 C 600 4, 000 127
k 11 75, 480 k 12 0 k 13 1200 k 21 0 k 22 80, 469 k 23 -1875 k 31 1200 k 32 -1875 k 41 - 240 k 42 -69, 282 k 33 = 14, 000 k 43 - 600 k 51 1200 k 52 0 = = k 53 2, 000 k 14 - 240 k 15 1200 k 24 -69, 282 k 25 0 k 34 = - 600 k 35 = 2, 000 k 44 60, 120 k 45 - 600 k 54 - 600 k 55 4, 000 128
Stiffness matrix 75, 480 0 K = 1200 - 240 1200 80, 469 -1875 -69, 282 0 -1875 14, 000 - 600 2, 000 0 1200 -69, 282 - 600 0 2, 000 60, 120 - 600 4, 000 129
Force vector 12 k. N/m A B m 2 A=0. 6 I = 0. 02 m 4 3 A=0. 4 m 2 I = 0. 005 m 4 8 50 k. N 2 C 130
Force vector 12 x 82 64 k. Nm 12 12 k. N/m A 64 k. Nm B 48 k. N 8 131
Force vector 50 x 3 x 22 52 3 17. 6 k. N 24 k. Nm B 50 k. N 2 32. 4 k. N C 36 k. Nm 50 x 2 x 32 52 132
Fixed End Reaction (FER) Force vector 64 k. Nm A 48 k. N 64 k. Nm 24 k. Nm B 48 k. N 17. 6 k. N 32. 4 k. N B C 133 36 k. Nm
Fixed End Action (FEA) Force vector 64 k. Nm A B 48 k. N d 1 d 4 d 5 17. 6 k. N B 48 k. N F 1 F 2 d 3 24 k. Nm F -17. 6 - 48 40 = F 3 = F 4 - 16. 2 F 5 32. 4 k. N C 16. 2 k. N 36 k. Nm 36 134
F= K D -17. 6 - 48 40 75, 480 0 = 1200 - 16. 2 - 240 36 1200 - 240 1200 80, 469 -1875 -69, 282 0 -1875 14, 000 - 600 2, 000 0 1200 -69, 282 - 600 0 2, 000 60, 120 - 600 4, 000 135 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5
D = K-1 F -1 - 240 1200 d 1 75, 480 d 2 0 80, 469 -1875 -69, 282 0 d 3 = 1200 -1875 14, 000 - 600 2, 000 d 4 - 240 -69, 282 - 600 60, 120 - 600 d 5 1200 0 2, 000 - 600 4, 000 136 -17. 6 - 48 40 - 16. 2 36
- 0. 0007 - 0. 0008 D = K-1 F - 0. 0088 - 0. 2244 - 0. 0538 A B d 1 d 2 d 3 = d 4 d 5 - 0. 0002 - 0. 43796 - 0. 07314 - 0. 50601 - 0. 03027 A B C C 137 60
Questions 138
