Le calcul mental au cycle 3 David Rolland

Le calcul mental au cycle 3 David Rolland, PIUFM de mathématiques Le calcul à l'école 02/03/2021 1

Sommaire Le calcul en Mathématiques. Le calcul mental à l’école. Le calcul à l'école 02/03/2021 2

Le calcul en Mathématiques. Qu’est-ce que le calcul? Différentes acceptions pour le calcul numérique. Des exemples de calcul réfléchi écrit. Un exemple de calcul réfléchi oral. Le calcul à l'école 02/03/2021 3

Détour historique … En 1909: « Les exercices de calcul mental figureront à l’emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes » En 1970: « Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent mentalement […]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité » . En 2002: « Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2 » Le calcul à l'école 02/03/2021 4

Avril 2007: Au cycle 3, dans la rubrique « calcul » : « Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle d’un résultat obtenu par récrit ou à l’aide d’une calculatrice. » NB: attention, les programmes de 2002 mentionnaient déjà la nécessité de travailler le calcul approché au cycle 3! Juin 2008: « L’entraînement quotidien au calcul mental (portant sur les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. » Le calcul à l'école 02/03/2021 5

Qu’est-ce que le calcul? (1) Origine historique. Le terme calcul vient du mot latin calculus qui renvoie aux cailloux que les Romains utilisaient pour calculer dans des pratiques sociales diverses. Le calcul à l'école 02/03/2021 6

Qu’est-ce que le calcul? (2) Définition. Un calcul est une combinaison d’objets mathématiques (représentés par des symboles) obtenue grâce à des opérations, selon des règles précises, afin d’obtenir un résultat nouveau. Le calcul à l'école 02/03/2021 7

Qu’est-ce que le calcul? (3) Les différentes sortes de calcul en Mathématiques: calcul algébrique, barycentrique, vectoriel, tensoriel, différentiel, intégral, propositionnel, formel, trigonométrique, matriciel, exponentiel, booléen, statistique, binaire, numérique, etc. Le calcul à l'école 02/03/2021 8

Qu’est-ce que le calcul? (3) 1. 2. Sens commun. Sens mathématique: calcul numérique et, plus généralement, l’arithmétique. Dans cette école, on enseigne le calcul. Usage dans la langue courante (sens figuré). Calcul: ensemble des moyens qu’on combine, des mesures qu’on prépare en vue du succès d’une affaire. Il a agi par calcul. Faire un mauvais calcul. Cela n’entre pas dans mes calculs. Il a déjoué tous les calculs. Le calcul à l'école 02/03/2021 9

Différentes acceptions du calcul numérique (1) Une double opposition: 1. Mental - écrit 2. Réfléchi - automatisé Le calcul à l'école 02/03/2021 10

Classification des différents modes de calcul (2) Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques. Calcul automatisé : fait appel à un résultat déjà mémorisé et se limite à exécuter un algorithme Calcul écrit Calcul mental Calcul instrumenté (on utilise une calculatrice ou un tableur) Exemple : ayant à faire une soustraction, on utilise toujours la même technique de calcul posé. Exemple : ayant à diviser par 25, mentalement, on multiplie par 4 et on divise par 100. Exemple : ayant à calculer le produit de deux nombres, on utilise la touche × de la calculatrice. Calcul réfléchi ou raisonné : ayant à faire un certain type de calcul, on utilise une procédure dépendant des nombres en jeu. Exemples : 64 - 5 = 64 - 1 = 60 - 1 = 59 64 - 59 = 64 - 60 + 1 = 5 Exemple : 12× 25 = 3× 4 × 25 = 3× 100 = 300 Exemple : pour calculer la valeur exacte de 128 000 618 × 514 avec une calculatrice, on effectue à la calculatrice les calculs 128 × 514 et 618 x 514.

1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi Calcul automatisé Calcul réfléchi Le calcul posé met en œuvre des propriétés des opérations, même si ces propriétés ne sont pas nécessairement toujours visibles pour le calculateur. Le calcul réfléchi s’appuie sur des relations entre nombres et sur des propriétés des opérations que le calculateur décide de mobiliser. Le calcul automatisé est impersonnel : il est conduit de la même façon par tous les individus. Le calcul réfléchi est très personnalisé. Le même calcul peut être réalisé de plusieurs manières selon les individus, notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations. Le calcul automatisé nécessite peu d’effort, car il est exécuté par réflexe : il peut être réalisé rapidement. Pour un calcul réfléchi, la charge mentale de travail peut être importante… ainsi que le temps nécessaire pour répondre. Le calcul automatisé s’apparente à un exercice routinier : il suffit d’exécuter une procédure connue. Le calcul réfléchi s’apparente davantage à la résolution de problèmes : il faut d’abord imaginer une procédure possible, puis la mener à

Différentes acceptions du calcul numérique (3) 1. 2. 3. Le calcul mental, sous ses deux formes, allie l’automatisation et la compréhension. Autres formes de calcul numérique: Calcul rapide: mise en œuvre écrite de techniques de calcul mental, proposé en temps limité. Calcul instrumenté: calcul faisant appel à une calculatrice ou à l’ordinateur. Calcul vivant (pédagogie Freinet): recherche d’une solution à un problème concret participant de la vie de la classe. Le calcul à l'école 02/03/2021 13

Des exemples de calcul réfléchi écrit (1) Au cycle 2: Le calcul à l'école 02/03/2021 14

Des exemples de calcul réfléchi écrit (2) Au cycle 2 (suite): Le calcul à l'école 02/03/2021 15

Un exemple de calcul réfléchi écrit (3) Au cycle 3: Le calcul à l'école 02/03/2021 16

Le calcul mental à l’école (1) L’importance du calcul mental à l’école Définition. Modalités de présentation. Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves. Les élèves en difficulté en calcul mental. Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi. Modalités de présentation. Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves. Les élèves en difficulté en calcul mental. Les objectifs du calcul mental au cycle 3 Le calcul à l'école 02/03/2021 17

Le calcul mental à l’école (2) Ce que n’est pas le calcul mental. Le calcul mental automatisé. Le calcul mental réfléchi. Les modalités de fonctionnement. Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental. Bibliographie. Le calcul à l'école 02/03/2021 18

Pourquoi le calcul mental occupe-t-il une place prépondérante dans les programmes ? ◦ Indispensable pour les besoins de la vie quotidienne ◦ Nécessaire à une bonne compréhension de certaines notions mathématiques ◦ Permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher certaines propriétés des opérations Le calcul à l'école 02/03/2021 19

Des enjeux à long terme : Au collège: « L’habileté en calcul est une aide à la conceptualisation. En travaillant dans un domaine où les calculs peuvent être réalisés mentalement et rapidement, les élèves peuvent s’approprier plus aisément des nouveaux savoirs […] en centrant leur attention sur ce qui est nouveau. Un déficit de compétences en calcul mental constitue un handicap majeur pour de nombreux élèves en collège » . « Le calcul numérique au collège » , projet de document d’accompagnement Exemple: Factoriser (13, 4 x + 6, 7); 28 = 2 7; simplifier 112/70 … Le calcul à l'école 02/03/2021 20

Au lycée : « Étendre le répertoire des résultats mémorisés, automatisés aux résultats sur les limites, sur les dérivées… Construire chez l’élève une confiance en lui dans le domaine du calcul mental. » Actes de l’université d’été, St Flour, 2006 Seconde: « Une certaine aisance est indispensable pour manipuler avec profit sommes, produits, quotients : une telle aisance libère ensuite la pensée pour une réflexion plus profonde ou pertinente. Première S: « Lors de l’étude d’une notion, (dérivée), un certain niveau de maîtrise de calcul est indispensable […]. Dans le registre du calcul automatisé: il faut d’abord ANTICIPER quelque peu le calcul… » Extraits des documents d’accompagnement Le calcul à l'école 02/03/2021 21

Définition Le calcul mental est un calcul numérique qui ne fait pas appel aux intermédiaires écrits: aucun support n’intervient entre l’énoncé et la production du résultat. De plus, l’énoncé est une situation numérique pure, non habillée sous la forme d’un énoncé de problème. Le calcul à l'école 02/03/2021 22

Modalités de présentation Enoncé Calcul Résultat Calcul mental Ecrit permanent Ecrit temporaire Oral Avec ou non un support visuel (bande numérique, graduation, tableau de nombres, …) Avec ou non l’écriture de résultats intermédiaires Ecrit Frappé au clavier Oral Le calcul à l'école 02/03/2021 23

Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves (1). Analyse des évaluations CE 2: Redéfinir les compétences acquises par les élèves à l’école primaire pour mieux comprendre la structure des apprentissages. Sophie Morlaix IREDU-CNRS Université de Bourgogne 2006 Le calcul à l'école 02/03/2021 24

Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves (2). Les compétences qui structurent les apprentissages des élèves à l’entrée au CE 2: Le calcul à l'école 02/03/2021 25

Les élèves en difficulté en calcul mental (1) 1. Les élèves en difficulté en Mathématiques le sont en général en calcul mental. Les causes de ces difficultés: Un défaut d’adaptabilité des élèves. Ils préfèrent utiliser des procédures sûres (qui fonctionnent dans tous les cas et conduisent aux résultats attendus; ce sont souvent les procédures « posées dans la tête » ) et coûteuses plutôt que des procédures adaptées au calcul en cours. Le calcul à l'école 02/03/2021 26

Les élèves en difficulté en calcul mental (2) Un manque de procédures automatisées s’appliquant à des calculs arithmétiques élémentaires (par exemple, le passage par la dizaine). L’installation de procédures élémentaires automatisées permet aux élèves d’échapper aux automatismes sur des procédures plus complexes (Grand N n° 79, D. Butlen, M. Charles-Pézard). Le calcul à l'école 02/03/2021 27

Les objectifs du calcul mental pour le cycle 3 ◦ Calcul automatisé : les compétences du cycle 2 les tables de multiplication (y compris dans l’optique d’une recherche concernant la division) multiplier et diviser des nombres entiers par 10, 1000… multiplier et diviser des nombres entiers par 20, 400, 2000… ◦ Calcul réfléchi : liste non exhaustive tous les calculs automatisés sont d’abord traités par le calcul réfléchi Le calcul à l'école 02/03/2021 28

Ce que n’est pas le calcul mental Le calcul mental ne se réduit pas à l’apprentissage de recettes calculatoires détachées de toute compréhension. L’automatisation du calcul ne doit pas être mise en avant au détriment de la compréhension. Le calcul à l'école 02/03/2021 29

Le calcul mental automatisé (1) Il s’agit de favoriser la récupération directe en mémoire d’un résultat. Cela passe par une phase reconstructive utilisant des points d’appui. Le calcul à l'école 02/03/2021 30

Qu’est-ce que connaître ses tables ? « La récitation des tables dans l’ordre croissant peut constituer une gêne pour une mémorisation efficace. » Document d’accompagnement des programmes 2002 Connaître ses tables, c’est: Ø Dire instantanément n’importe quel résultat. Ø Être capable d’exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe. Exemple: connaître 7 + 6, c’est: Ø Répondre rapidement « 13 » Ø Combien de 7 pour aller à 13? Ø 13 – 6? 13 – 7? 6 + 7 ? Le calcul à l'école 02/03/2021 31

Conditions de mémorisation : Compréhension de l’opération en jeu: Ø Représentations mentales du calcul à effectuer Prise de conscience de la nécessité d’un répertoire: Ø Recenser les résultats connus Ø Compléter et organiser le répertoire Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d’autres: Ø Points d’appui: étape décisive dans la mémorisation Entraînement des résultats mémorisés: Ø Diversité des représentations mises en jeu Ø Disponibilité des résultats Le calcul à l'école 02/03/2021 32

Points d’appui sur la mémorisation : Ø Ø Importance de la représentation des nombres: Représentations imagées: constellations, dés, doigts… Représentations symboliques: numération chiffrée, numération verbale De l’importance de la représentation des nombres… Représentations des nombres imagées : Ø Dés, dominos, jeux de cartes, figurations avec les doigts… Ø Ø Ø Importance de consolider les images mentales des « petits nombres » Mise en relation des nombres (entre 5 et 10) et leurs décompositions Relations des nombres entre-eux: Chaîne verbale Structuration écrite chiffrée Le calcul à l'école 02/03/2021 33

Points d ’appui pour le répertoire additif: Ø Utilisation de la suite numérique, surcomptage Ø Appui sur les doubles Ø Utilisation de la commutativité Ø Passage à la dizaine Début de cycle 3: Ø Restitution instantanée de tous les résultats: tables addition, différences, compléments associés La mémorisation des résultats (additifs et multiplicatifs) est favorisée par une bonne maîtrise des deux rythmes (numération écrite chiffrée, numération avec motsnombres) Le calcul à l'école 02/03/2021 34

Points d’appui pour le répertoire multiplicatif: Ø Connaître les résultats des tables de 2 et de 5 Ø Retrouver un résultat à partir d’un résultat connu: comptage de n en n Ø Utiliser la commutativité Ø Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé) Ø Multiplier par 4, c’est…; multiplier par 6, c’est… Ø S’appuyer sur les particularités de certaines tables: 2; 5; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore Fin cycle 3: Ø Mémorisation totale des produits des tables Ø Utilisation pour répondre à: ü Combien de fois 7 dans 56? ü 56 divisé par 7 ü Décomposer 56 sous forme d’un produit de deux nombres inférieurs à 10 Le calcul à l'école 02/03/2021 35

Le calcul mental automatisé (2) + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Apprendre la table d’addition 3 4 5 6 7 8 9 10 Le calcul à l'école 02/03/2021 36

Le calcul mental automatisé (3) Les doubles Les amis pour faire 10 La numération Les presque doubles Le calcul à l'école 02/03/2021 37

Le calcul mental automatisé (4) Le passage par 10 Le surcomptage (+1, +2, +3), avec application éventuelle de la commutativité de l’addition. Le calcul à l'école 02/03/2021 38

Le calcul mental automatisé (5) 1. 2. Apprendre la table de multiplication Donner un sens aux mots fois et « multiplié par » et les distinguer. Utiliser des points d’appui: - comptage de n en n; - connaître les doubles; - connaître les tables de 2 et de 5; - connaître les carrés; - savoir que multiplier par 2, c’est doubler, multiplier par 4, c’est doubler 2 fois; - etc. Le calcul à l'école 02/03/2021 39

Le calcul mental automatisé (6) Varier les approches pour un même résultat, en utilisant les possibilités de la langue mathématique: 47 – 39 combien y a-t-il de 39 à 47? que faut-il ajouter à 39 pour faire 47? quel est l’écart entre 39 et 47? Le calcul à l'école 02/03/2021 40

Le calcul mental automatisé (7) 7 fois 8 quel nombre, multiplié par 7, donne 56? combien de fois 8 dans 56? 56 divisé par 8? Le calcul à l'école 02/03/2021 41

Le calcul mental réfléchi (1) Il s’agit d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé, en faisant appel à la réflexion et au raisonnement. Le calcul à l'école 02/03/2021 42

Calcul réfléchi… diversité des procédures Représentations du nombre mobilisées: Numération écrite chiffrée Numération « orale » 25 x 12 P 1: calcul séparé de 25 x 10 et 25 x 2, puis somme des résultats partiels (utilisation distributivité) P 2: décomposition de 12 en 4 x 3, calcul de 25 x 4 puis de 100 x 3 P 3: utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant 12 par 4, en multipliant le résultat par 100 Le calcul à l'école 02/03/2021 43

25 x 19 P 4: calcul de 25 x 20 (directement ou non), puis soustraction de 25 au résultat (distributivité) P 5: calcul de 19 x 20 (19 x 2 x 10), puis de 5 x 19 (nouveau calcul réfléchi: somme de 5 x 9 et de 9 x 10) Conclusion: aucune procédure ne s’impose, plusieurs sont possibles, nécessité de prendre des décisions personnelles pour élaborer une procédure spécifique. Le calcul à l'école 02/03/2021 44

Le calcul mental réfléchi (2) 42 – 28: Ôter 20 puis 8 (décomposition); Ôter 30 puis ajouter 2 (pivotement); Aller de 28 à 42 (jalonnement); Calculer 44 – 30 (décalage). Le calcul à l'école 02/03/2021 45

Le calcul mental réfléchi (3) 25 x 12: Calculer séparément 25 x 10 et 25 x 2, puis additionner les résultats; Décomposer 12 en 4 x 3, calculer 25 x 4, puis 100 x 3; Voir que 25 est le quart de 100; multiplier 12 par 100, puis diviser par 4. Le calcul à l'école 02/03/2021 46

Le calcul mental réfléchi (4) Le travail en classe doit être axé sur l’explicitation et la confrontation de procédures possibles et efficaces. Il faut éviter la saturation de la mémoire de travail. Ce risque de saturation peut être diminué en autorisant les élèves à noter les résultats intermédiaires. Le calcul à l'école 02/03/2021 47

Les modalités de fonctionnement (1) Les recommandations officielles. Programmes de l’école élémentaire adaptés à la Polynésie française, 2006 Programmes de l’école élémentaire de 2008 Document d’accompagnement des programmes 2002 Document d’application des programmes « Mathématiques » Le calcul à l'école 02/03/2021 48

Les modalités de fonctionnement (2) Le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes. L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. Il s’appuie sur la connaissance parfaite de la table d’addition puis de la table de multiplication. Les maîtres alternent les moments d’entraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité. Le calcul à l'école 02/03/2021 49

L’aisance du calcul réfléchi dépend… De la capacité à jouer avec les nombres De la capacité à changer de procédures en fonction des nombres De la qualité de mémorisation de certains résultats Du nombre et de la nature des situations proposés aux élèves pour apprendre à calculer Le calcul à l'école 02/03/2021 50

Les modalités de fonctionnement (3) Une organisation pédagogique: 1. Les séances d’entraînement (calcul automatisé): Objectifs: Entraîner les élèves; Les confronter à des exemples variés; Accroître leurs performances (rapidité, mémorisation). Le calcul à l'école 02/03/2021 51

Les modalités de fonctionnement (4) Déroulement: 10 à 15 minutes au moins une fois dans la journée; Débute par une activité très facile; Utilisation pertinente du procédé Lamartinière; Validation et correction rapide des calculs. Le calcul à l'école 02/03/2021 52

Les modalités de fonctionnement (5) 2. Les séances de calcul réfléchi (15 – 20 minutes). Deux types de séances: des séances de découverte: découverte des procédures possibles et sélection des procédures efficaces. L'enseignant propose un calcul que les élèves peuvent calculer de différentes manières, sans application immédiate d'une démarche imposée et unique. Le calcul à l'école 02/03/2021 53

Les modalités de fonctionnement (6) Des échanges s'ensuivent pour mettre en parallèle différentes méthodes et pour faire apparaître les avantages de certaines d'entre elles. Ces méthodes privilégiées sont mises au point collectivement. Dans ces séances, les phases d'échanges revêtent une grande importance. Elles sont conduites en relation avec les apprentissages notionnels correspondants (par exemple, pour la soustraction). Le calcul à l'école 02/03/2021 54

Les modalités de fonctionnement (7) des séances d’optimisation des procédures efficaces (en conservant la liberté de choix de ces procédures par les élèves). Le calcul à l'école 02/03/2021 55

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Les modalités de fonctionnement (8) 3. Les séances d’évaluation. Objectifs: Ce type de séances vise à observer si les élèves savent, en position différée, mobiliser des connaissances qui ont fait l'objet d'un travail antérieur. Divers types de calculs sont proposés dans cette séance. Le calcul à l'école 02/03/2021 57

Les modalités de fonctionnement (9) Pour ces différents types de séances, la forme de présentation des calculs peut être: - avec des nombres purs; - avec des petits problèmes numériques. Le calcul à l'école 02/03/2021 58

Les modalités de fonctionnement (10) Les limites de la confrontation des procédures. - La nouveauté de toute autre procédure que celle qu’on utilise peut entraîner des difficultés dans la gestion et empêcher parfois que les élèves en apprécient les avantages. Le calcul à l'école 02/03/2021 59

Les modalités de fonctionnement (11) - Il est parfois nécessaire d’imposer aux élèves la pratique d’une procédure. Lorsque plusieurs sont possibles, il n’est pas souhaitable d’en entraîner plusieurs à la fois. Mieux vaut en choisir une et l’exercer sur les exemples où elle est pertinente. Le calcul à l'école 02/03/2021 60

Comment? Résultats automatisés Consigne orale Procédé La Lamartinière… … et d’autres Calcul réfléchi Nécessité d’un temps de recherche Confrontation des procédures Possibilité de recourir à l’écrit Organisation? Grand groupe / petits groupes / ateliers Le calcul à l'école 02/03/2021 61

Quels contextes? Contexte numérique seul: 17 + 23 Des « petits » problèmes: « Pierre avait 17 billes, il en gagne 23. Combien en a-t-il maintenant? » Moyen efficace d’aider les élèves à progresser dans la maîtrise du sens des opérations. Le calcul à l'école 02/03/2021 62

Méthodologie d’après F. Boule et D. Butlen : Trois temps forts : ◦ La phase d’échauffement, très brève, pour mettre les élèves en condition d’écoute et de concentration, ne présentant aucune difficulté technique pour permettre un démarrage de tous les élèves. ◦ La phase d’entraînement, avec des calculs simples, en jouant sur les différentes variables en jeu, elle fait appel à des connaissances ou des procédures qui doivent être directement disponibles et rappelées éventuellement pendant la correction. ◦ La phase de calcul raisonné, plus complexe, où plusieurs procédures sont possibles, la correction permettra de les confronter et de faire apparaître éventuellement la plus adaptée. Le calcul à l'école 02/03/2021 63

Calcul mental et calcul instrumenté : Passer d’un nombre à un autre en utilisant un nombre minimum de touches : Ø A partir de 35, faire afficher 25 (sans effacer 35) Ø A partir de 40, faire afficher 36…. Jeu à deux: Ø un élève tape une séquence de calcul: 8 [+] 7 Ø l’autre élève annonce le résultat Ø Le premier élève tape [=] Affichage sous contraintes: Ø Faire afficher 16 en tapant sur [+] ou sur [x] Ø Faire afficher 16 sans taper ni 1 ni 6 Ø Faire afficher 85 en trois étapes Production de suites (1 en 1; 5 en 5; 10 en 10) Le calcul à l'école 02/03/2021 64

20 minutes en CE 1… Entretien connaissance du répertoire additif: A l’oral: v 6+5; 9+6; 3+9; 4+8; 8+9 v 7 pour aller à 11; 4 pour aller à 10 8 pour aller à 15; 5 pour aller à 13 v 8 -5; 7 -2; 12 -5; 16 -8; 14 -9 Le meilleur calcul pour un produit: Quatre produits écrits au tableau Cahier de brouillon Trouver le plus rapidement possible le résultat: v 50 x 4; 8 x 5; 9 x 10; 100 x 7 Confrontation des procédures 65

30 minutes en CE 1… (Cap Maths) Problèmes proposés à l’oral, les enfants peuvent noter les informations, l’énoncé peut être relu, correction après chaque problème: v v Un groupe de 20 enfants est parti en classe de neige. En arrivant, ils décident de faire des bonshommes de neige. Pour cela, ils se mettent par deux. Combien y aura-t-il de bonshommes de neige? Le lendemain, 12 enfants décident de faire du ski. Les autres choisissent de faire de la luge. Combien d’enfants font de la luge? Un autre jour, ils partent en randonnée. Il faut emporter quelques barres chocolatées pour tenir le coup. Le moniteur qui les accompagne emporte trois barres pour chaque enfant. Combien de barres chocolatées doit-il mettre dans son sac? v v En route, ils rencontrent un autre groupe de quinze enfants. Ensemble, ils organisent une grande bataille de boules de neige. Combien y a-t-il d’enfants pour cette grande bataille? 66

20 minutes en CE 2… Entretien connaissance du répertoire additif: A l’oral (5 min): v 7+4; 9+6; 8+6; 3+8; 9+9; 7+5 v 7 pour aller à 11; 4 pour aller à 10 8 pour aller à 15; 9 pour aller à 14 v 8 -5; 7 -2; 12 -5; 16 -8; 14 -9 « Le bon compte » (15 min): Nombre à atteindre: 64 Nombres à utiliser: 2; 4; 6; 7; 8; 10 Travail : cahier de brouillon ou ardoise Idem: nombre à atteindre: 55 nombres à utiliser: 4; 5; 6; 7; 10; 15 67

15 minutes en CM 1… (Cap Maths) Problèmes proposés à l’oral, les enfants peuvent noter les informations, l’énoncé est lu deux fois, correction après chaque problème: v v v Sophie a ramassé 60 coquillages. Elle en donne la moitié à son petit frère. Combien lui reste-t-il de coquillages? Alfred a planté quatre rangées de salades en mettant autant de salades dans chaque rangée. Il a planté en tout 60 salades. Combien a-t-il planté de salades dans chaque rangée? Dans son album photos, Brice peut coller 60 photos. Il en a déjà collé 45. Combien peut-il encore en coller? Le directeur de l’école dispose de 60 euros pour acheter des dictionnaires. Un dictionnaire coûte 20 euros. Combien le directeur peut-il acheter de dictionnaires? Franck fabrique des petits objets. Il lui faut 5 minutes pour fabriquer un objet. Il travaille 60 minutes sans s’arrêter. Combien a-t-il fabriqué d’objets? 68

Calcul mental et autres apprentissages mathématiques L’apprentissage de la division, activités d’accompagnement: üApproximation de quotients Trouver mentalement une valeur plausible pour « 350 divisé par 82 » , puis vérifier par la multiplication à la calculette. Procédure attendue: 82 proche 80, diviser 350 par 80 se ramène à 35 par 8 … üOrdre de grandeur du quotient: « Partager 11 643 pièces d’or entre 5 personnes de manière à ce que chacun en reçoive autant, choisissez vous d’en donner à chacun: 1000, 2000, 3000, 4000, …, 9000? » 69

Calcul mental et autres apprentissages mathématiques L’apprentissage de l’heure… ü Le furet des heures: Les élèves disent chacun leur tour un horaire, un intervalle de durée étant donné: Pour intervalle d’une durée de quinze minutes, à partir de 9 heures… ü Autour des décompositions de 60: Mémory « 60 » : 60; 30; 20; 20; 15; 15; 10; 10; 10; 10 Établir le répertoire des décompositions additives de « 60 » Avec dix cartes: 1; 2; 3; 4; 6; 10; 20; 30; 60; (12; 5): établir le répertoire multiplicatif de « 60 » 70

Autour de la table de Pythagore… Remplissages et coloriages: Table de Pythagore: remplir et colorier la colonne et la ligne de la table de « 2 » Même tâche pour la table de « 5 » (couleur différente) Même tâche pour les tables de « 3 et de « 8 » Poursuivre avec les tables de 10; 6 et 9 Terminer avec la table de 7 Observations, constats… 71

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 72

Autour de la table de Pythagore… encore! Matériel: la table de Pythagore (2 à 12), les cases de la diagonale principale sont grisées 121 jetons qui sont destinés à être placés sur les cases de la table Pour « 12 » : 4 jetons: 4 x 3; 3 x 4; 2 x 6; 6 x 2 Pour « 16 » : 3 jetons: 4 x 4; 2 x 8; 8 x 2 Etc… Les jetons sont mélangés. Les joueurs tirent 2 jetons et les placent sur la case qui convient. Chacun prend ensuite 20 jetons, le reste constitue la pioche Un carton ne peut être posé que sur une case adjacente à un carton déjà placé. 73

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (1) Les jeux. Exemples: Les cartes magiques; Faire 20; Computix; Le jeu des opérations; Trio. Le calcul à l'école 02/03/2021 74

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (2) Les cartes magiques. Le calcul à l'école 02/03/2021 75

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (3) Faire 20 Le calcul à l'école 02/03/2021 76

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (4) Computix Le calcul à l'école 02/03/2021 77

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (5) Computix (suite) Le calcul à l'école 02/03/2021 78

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (6) Le jeu des opérations: le plateau de jeu: Le calcul à l'école 02/03/2021 79

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (7) Nombre de joueurs: 2 But du jeu : Avoir le maximum de points lorsque le pion atteint la case Arrivée. Le matériel: Un plateau de jeu de 10 sur 10 cases. Un seul pion (commun aux 2 joueurs). Un cadran circulaire partagé en trois parties contenant les signes +, - et x. Un dé avec deux faces 1, deux faces 2 et deux faces 3. Le calcul à l'école 02/03/2021 80

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (8) Déroulement de la partie : Au début de la partie, le pion est placé sur la case D (Départ). La première opération est tirée au sort. Le premier joueur lance le dé et déplace le pion du nombre de cases indiqué par le dé, en ligne ou en colonne en panachant les directions s'il le souhaite. Arrivé sur la case de coordonnées (a, b), il marque a + b points, a - b points ou b – a points (selon la soustraction possible) ou a x b points, suivant l'opération tirée au sort. On tourne alors le cadran circulaire pour indiquer l'opération suivante. Le calcul à l'école 02/03/2021 81

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (9) Déroulement de la partie (suite) : Le deuxième joueur lance le dé, déplace le pion du nombre de cases indiqué et marque les points en fonction de la case atteinte et de l'opération en cours. Chaque joueur, à son tour, déplace le pion et marque ses points. Le jeu s'arrête lorsqu'un joueur pose le pion sur la case A (Arrivée) ou lorsque chacun des joueurs a joué 10 fois. Le gagnant est alors celui qui totalise le plus de points. Le calcul à l'école 02/03/2021 82

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (10) Exemples de déplacements (cas où le dé indique 3 points): Le calcul à l'école 02/03/2021 83

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (11) Le trio. Trouver un alignement sans trou (ligne, colonne ou diagonale) de 3 cases en opérant de la façon suivante: multiplier deux des nombres des cases puis ajouter ou retrancher le troisième au produit pour obtenir le nombre affiché. Nombre affiché: 25 Le calcul à l'école 02/03/2021 84

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (12) Les logiciels MIB 3: écran de départ Le calcul à l'école 02/03/2021 85

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (13) Choix d’une activité et des paramètres Le calcul à l'école 02/03/2021 86

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (14) Activité à réaliser Le calcul à l'école 02/03/2021 87

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (15) Ecran de départ Le calcul à l'école 02/03/2021 88

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (16) Les différents choix Le calcul à l'école 02/03/2021 89

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (17) Choix de l’activité Le calcul à l'école 02/03/2021 90

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (18) Choix de l’élève Le calcul à l'école 02/03/2021 91

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (19) Exercice à réaliser Le calcul à l'école 02/03/2021 92

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (20) Exercice à créer Le calcul à l'école 02/03/2021 93

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (21) Ecran de départ Le calcul à l'école 02/03/2021 94

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (22) Exercice à réaliser (1) Le calcul à l'école 02/03/2021 95

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (23) Exercice à réaliser (2) Le calcul à l'école 02/03/2021 96

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (24) Ecran de départ Le calcul à l'école 02/03/2021 97

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (25) Choix des paramètres Le calcul à l'école 02/03/2021 98

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (26) Exercice à réaliser Le calcul à l'école 02/03/2021 99

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (27) Le calcul rapide sur fiche. Exemples: Les croix magiques; Les cascades additives; Les cascades multiplicatives. Le calcul à l'école 02/03/2021 10 0

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (28) Les croix magiques: Aux sommets deux carrés et à l'intersection des côtés des carrés, on place un nombre de 0 à 15. Chaque nombre de 0 à 15 doit figurer une fois et une seule. La somme des nombres situés sur un côté d'un carré doit être égale à 30. Le calcul à l'école 02/03/2021 10 1

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (29) Une solution: Le calcul à l'école 02/03/2021 10 2

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (30) Les cascades additives: Le calcul à l'école 02/03/2021 10 3

Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental (31) Les cascades multiplicatives: Le calcul à l'école 02/03/2021 10 4

Autres activités… Tic-boum (Ermel): Le but du jeu est reconnaître les nombres entiers dont l’écriture comporte le chiffre 7 et les multiples de 7. Les joueurs énoncent successivement la suite des nombres; lorsqu’un nombre comporte le chiffre 7 dans son écriture décimale, le joueur ne prononce pas ce nombre mais dit « tic » ; lorsque le nombre est un multiple de 7, le joueur dit « boum » : 1; 2; 3; 4; 5; 6; tic; 8; 9; 10; 11; 12; 13; boum; 15, 16, tic, 18; 19; 20; boum; 22; 23; 24; 25; 26; tic; boum; …. . ; tic-boum (70); …Tic-tic-boum (77!) 10 5

La boîte noire… du CP au CM 2: Je pense à un nombre, je lui ajoute 2, je trouve 7, quel est ce nombre? Il faut découvrir la règle qui permet de passer de: ◦ 4 à 9; 10 à 21; 30 à 61 ◦ Formulation: « Je prends un nombre, je le double et j’ajoute 1 » 10 6

Encore quelques exemples… Il s’agit, à partir, d’un nombre donné, d’atteindre un nombre cible, en respectant certaines contraintes: ◦ Nombre de départ: 12 ◦ Nombre cible: 53 ◦ Contraintes: ajouter des « 7 » , retrancher des « 4 » Nombres affichés: 10; 20; 43; 35 A partir de ces nombres, trouver le plus de nombres possibles: ◦ Utilisation de l’addition et de la soustraction, ◦ Utilisation d’un nombre une seule fois par calcul. Le compte est bon: classique mais toujours pertinent! 10 7

Pénélope (Ermel CE 2) On part d’un nombre (ici 24), on lui applique les règles de transformations suivantes: à chaque ligne, le produit doit contenir un nombre de plus qu’à la ligne précédente. Lorsqu’on est sûr de ne plus pouvoir continuer, alors, le produit doit contenir un nombre de moins que celui de la ligne précédente et on ne doit pas retrouver une décomposition déjà écrite… 24 3 x 8 3 x 2 x 4 3 x 2 x 2 6 x 2 12 x 2 24 10 8

• Terminer les affiches suivantes: 72 2 x 36 72 3 x 24 72 4 x 18 72 6 x 12 72 8 x 9 • Prolongement: Voici un nombre qui a été écrit au cours du jeu de Pénélope, il est écrit sous la forme du produit: 2 x 5 x 3 x 7. Trouver toutes les écritures de ce nombre qui pourraient se situer sur la ligne suivante. 10 9

Et pour terminer… une balade numérique! 12 7 2 4 11 5 10 36 35 84 16 77 50 30 60 24 21 22 33 40 35 24 13 77 28 42 14 26 39 26 29 17 63 2 13 36 65 27 14 91 49 17 18 72 47 56 20 55 90 11 0

Et pour terminer… une balade numérique! 12 7 2 4 11 5 10 36 35 84 16 77 50 30 60 24 21 22 33 40 35 24 13 77 28 42 14 26 39 26 29 17 63 2 13 36 65 27 14 91 49 17 18 72 47 56 20 55 90 11 1

Bibliographie : Document d’accompagnement aux programmes de 2002: Le calcul mental. Cycle des apprentissages fondamentaux. Cycle des approfondissements. Le calcul mental au cycle des apprentissages fondamentaux. C. Lethielleux Armand Colin Le calcul mental au cycle des approfondissements. C. Lethielleux Armand Colin Les ouvrages de la série Ermel (du CP au CM 2), Hatier Plusieurs ouvrage de Fr. Boule: ◦ Jeux de calcul, Armand Colin, 1996 ◦ Le calcul à l’école élémentaire, IREM Bourgogne, 1997 -1998 ◦ Faites vos jeux à l’école, Didier, 2005 Butlen D. , Calcul mental, calcul rapide, IREM Paris VII, 1987 Kuntzmann J. , Calcul mental de 10 à 99 ans, IREM Grenoble, 1997 Peltier M. L. , Activités de calcul mental, Hatier, 2000 Le calcul à l'école 02/03/2021 11 2

Adapté des diaporamas de Jean-Luc BREGEON Et de Dominique Verdenne Le calcul à l'école 02/03/2021 11 3