Calcul mental Calcul Mental Le carr magique Une

Calcul mental Calcul Mental

Le carré magique Une très vieille légende chinoise raconte que l’Empereur Yu, étant parvenu à contrôler les flots des fleuves Lo et Jaune, reçut d’une tortue, en remerciement de ses efforts, le bien étrange présent que voici — que les Chinois vont appeler Lo Shu : Ce que la tortue avait offert au Souverain s’appelle en français un carré magique — et cette légende est la plus ancienne référence à ce singulier objet que nous connaissions. Dans un carré magique, si on additionne les chiffres des colonnes, des rangées ou des deux diagonales, on arrive au même total, soit, ici, 15. On dira donc que 15 est la constante de notre carré magique. Les carrés magiques ont fasciné des tas de gens et aujourd’hui encore, dans certaines régions du monde, on en coud comme portebonheur dans les vêtements. Par sa gravure Melancholia I (1514), Albrecht Dürer (14711528) est, dit-on, le premier artiste a en avoir représenté un ( de 4 x 4)

Définitions : Le calcul mental C’est une modalité de calcul sans recours à l’écrit si ce n’est, éventuellement, pour l’énoncé proposé par l’enseignant et la réponse fournie par l’élève. Il n’est pas exclu non plus que la correction, elle, soit écrite pour être discutée de façon collective.

Objectifs spécifiques en calcul mental résoudre mentalement des problèmes arithmétiques, à données numériques simples. En particulier : calcul sur les nombres 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 en lien avec la monnaie calcul sur les nombres 15, 30, 45, 60, 90 en lien avec les durées.

Objectifs spécifiques en calcul en ligne calculer avec le support de l’écrit, en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes.

Une séance de calcul mental pour vous?

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La mémoire de travail Elle est en charge du fonctionnement cognitif en temps réel et fait appel à un stockage transitoire d’informations. Elle maintient ainsi l’information le temps de l’exécution du processus cognitif mais ne garde pas de trace de ce stockage provisoire. Ex : 47 + 18 Procédure : Récupération en colonne / ou traitement algorithmique. 40 + 10 = 50 (Résultat à mémoriser en mémoire de travail) 7+8 = 15 (Que j’ajoute au résultat stocké : 50) Si le traitement de 7+8 est trop long…. La mémoire de travail va oublier 50 !

La mémoire à long terme : Mémoire déclarative / mémoire procédurale Mémoire déclarative : mémoire des connaissances déclaratives que l’on peut dire : les faits numériques mémorisés (Les tables, les doubles, les décompositions de 10…) Mémoire procédurale : mémoire des savoirs relatifs aux procédures, à la manière de traiter les informations ; il s’agit de savoirs faire. Les connaissances déclaratives nécessitent d’être vues une seule fois ou très peu pour être enregistrées en mémoire à long terme. En revanche, les savoirs faire nécessitent un temps d’apprentissage pour être enregistrés en mémoire procédurale. Cependant, l’oubli y est beaucoup plus rare.

Les variables externes… Les ressources cognitives des élèves diffèrent: Vitesse de traitement des informations par le cerveau. Capacités d’attention… Mémoire à court terme , de travail / mémoire à long terme Mémoire déclarative et mémoire procédurale

Conséquences… pour réussir un calcul mental Nécessité pour l’élève de s’appuyer sur des résultats connus (déjà mémorisés dans la mémoire à long terme) / « Les faits numériques » . Nécessité de choisir des procédures rapides, efficientes pour limiter en temps et en quantité le nombre d’informations dans la mémoire de travail. Pour cela, nécessité de s’appuyer sur des procédures efficientes mémorisés en mémoire à long terme.

Les différentes variables en calcul mental Les consignes : écrites (en nombres ou en mots), oralisées. Les nombres proposés (plus exactement le niveau de connaissance des nombres proposés) L’opération à réaliser (plus exactement le niveau de connaissance des opérations proposées) Le nombre d’étapes à suivre pour trouver le résultat. Le nombre d’opérations à réaliser à la suite Les procédures de calcul Chercher les différentes procédures possibles pour trouver le résultat de la somme : 12+46 (Défi : Trouver les 9 procédures possibles…)

Construire une séquence de calcul mental

Construire une séquence de calcul mental

Concevoir son enseignement à partir

Exemple de progressions • Compétence CP • Ajouter ou retrancher 1 • Ajouter ou retrancher 2 • Ajouter ou retrancher 5 • Ajouter ou retrancher 10 • Connaître les décompositions de 10 • Décomposer un nombre inférieur a 10 a l’aide du nombre 5 • Décomposer un nombre inférieur a 20 a l’aide du nombre 10 • Additionner deux nombres dont la somme est inférieure à 10 • Décomposer un nombre inférieur a 10 sous forme additive (2, 3… termes) • Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés correspondantes. • Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées • Calculer des sommes différences et des compléments du type 20+7, 27 -7, 20 pour aller à 27. • Connaître les doubles et les moitiés

Exemple de progressions Compétence CE 1 • Ajouter ou retrancher 2 • Ajouter ou retrancher 5 • Ajouter ou retrancher 100 • Connaître les compléments à 20 • Connaître les compléments aux dizaines supérieures à 20 • Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées • Calculer des sommes différences et des compléments du type 20+7, 27 -7, 20 pour aller à 27. • Calculer des sommes différences et des compléments du type 200+37, 237 -37, 200 pour aller à 237. • Ajouter ou retrancher entre elles dizaines ou des centaines, calculer les compléments correspondants • Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres-clés: 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400, 15, 25 • Connaître les tables de multiplication par 2, 5, 4 puis 3. • Multiplier par 10 et 100 • Calculer les doubles de nombres inférieurs à 50 • Calculer les moitiés de nombres pairs inférieurs à 100, connaitre des tiers • Calculer le produit de deux nombres inférieurs à 10

Exemple de progressions • Compétence CE 2 • Maîtriser le répertoire additif (tables d’addition) : sommes de deux nombres entiers inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associés • Connaitre les doubles, les moitiés, les triples et les tiers, les quadruples et les quarts de nombres « repères » : les multiples de 10, de 5 ; en particulier, 25, 50, 75 et 100. 15, 30, 45, 60, etc • Connaître les tables de multiplication par 2, 3, 4, 5, 6 et les utiliser pour calculer un produit ou un quotient entier • Ajouter ou retrancher entre elles dizaines, des centaines, des milliers • Ajouter 9, Ajouter 11, ajouter 99, ajouter 101… • Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type 200 + 70, 270 -70, 200 pour aller à 270, ou 2000 + 37, 2037 – 37, 2000 pour aller à 2037 • Retrancher 9, retrancher 11 • Calculer les compléments d’un nombre entier a la dizaine supérieure • Calculer les compléments à 100 • Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur a 10) d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers… a un nombre quelconque, dans des cas sans retenue et dans des cas avec retenue • Multiplier par 10, 1000…sur les nombres entiers • Diviser par 2, par 5…

Définitions : le calcul en ligne C’est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit. Il se distingue à la fois : • du calcul mental, en donnant la possibilité à chaque élève, s’il en ressent le besoin, d’écrire des étapes de calcul intermédiaires qui seraient trop lourdes à garder en mémoire • du calcul posé, dans le sens où il ne consiste pas en la mise en oeuvre d’un algorithme, c’est-à-dire d’une succession d’étapes utilisées tout le temps dans le même ordre et de la même manière indépendamment des nombres en jeu.

Le calcul mental et le calcul en ligne vivent indépendamment mais se nourrissent mutuellement les habiletés développées en calcul mental sont au service du calcul en ligne, elles donnent progressivement accès au traitement en ligne de calculs de plus en plus complexes ; le calcul en ligne peut aussi être vu comme une étape dans le développement du calcul mental ; le fait d’écrire certaines étapes de calcul permet en effet de libérer la mémoire de travail, favorisant ainsi l’entrée dans le calcul mental pour tous les élèves. Le calcul en ligne ne se limite toutefois pas à cette conception, certains calculs proposés en ligne ne peuvent en effet pas être gérés de façon purementale.

Définitions : Le calcul posé C’est une modalité de calcul écrit consistant à l’application d’un algorithme opératoire (par exemple celui de la soustraction ou de la multiplication). Le calcul en ligne n’est pas une autre manière d’écrire un calcul posé : Le calcul posé repose sur une technique, un algorithme. Le calcul en ligne repose sur la compréhension de la notion de nombre, du principe de la numération décimale de position et des propriétés des opérations.

Définitions : Le calcul instrumenté (En C 3) C’est un calcul effectué à l’aide d’un ou plusieurs instruments, appareils, ou logiciels (abaque, boulier, calculatrice, tableur, etc. ). L’utilisation de ces outils nécessite un apprentissage spécifique qui doit se faire de manière progressive. Dans le cadre du développement de l’esprit critique, l’élève apprend à utiliser la calculatrice pour vérifier les résultats obtenus à l’issue d’un calcul mental, en ligne ou posé.

Calcul en ligne et mental : les enjeux construire puis travailler la compréhension de la notion de nombre et des propriétés de notre numération décimale de position ; développer la connaissance des nombres ; travailler le sens des opérations ; découvrir et utiliser les propriétés des opérations ; développer des habiletés calculatoires ;

Calcul en ligne et mental : les enjeux construire progressivement des faits numériques et des procédures élémentaires qui seront utiles pour mener des calculs posés et permettront de traiter des calculs (mentaux ou en ligne) plus complexes ; développer des compétences dans le cadre de la résolution de problèmes, par exemple au niveau du choix des opérations. déterminer un ordre de grandeur et pratiquer le calcul approché. Cette capacité est particulièrement utile pour contrôler un résultat et développer l’esprit critique.

Les objectifs d’apprentissage : les faits numériques Mémoriser des faits numériques et les mobilisation en situation: tables de l’addition et de la multiplication ; décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100, compléments à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure, multiplication par 10 et par 100, doubles et moitiés de nombres d’usage courant, etc.

Les réseaux : Les triplets Pour l’addition et la soustraction : 5, 3 et 8 Pour la multiplication et la division : 5, 3 et 15

Les objectifs d’apprentissage : Savoirs sur la numération Mémoriser des connaissances sur la numération et les mobiliser en situation : Connaitre différentes écritures d’un même nombre (Notamment ses décompositions) Savoir que : « 50 + 80, c’est 5 dizaines + 8 dizaines, c’est 130 » ; Savoir que « 4 × 60, c’est 4 × 6 dizaines, c’est 240 » ;

Les objectifs d’apprentissage implicites: Les propriétés des opérations. Mémoriser des connaissances sur les propriétés implicites des opérations et les mobiliser en situation : 2 + 9, c’est pareil que 9 + 2 ; (Commutativité) 3 x 5, c’est pareil que 5 x 3 ; (Communtativité) 3 × 5 × 2, c’est pareil que 3 × 10. (Associativité : (3 X 5)X 2 = 3 X(5 X 2)) propriétés du type : 5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2. (Distributivité) Ces propriétés permettent d’expliquer et de justifier les étapes d’un calcul, et certaines techniques opératoires ; A l’école élémentaire, elles sont le plus souvent utilisées de manière implicite. Elles n’ont pas à être nommées à ce moment de la scolarité.

Extrait du BO du 26/04/18 « Les noms savants des propriétés des opérations (commutativité, distributivité, etc. ) ne relèvent pas de l'école élémentaire. Les propriétés peuvent être énoncées à partir d'exemples prototypiques ou à l'aide de phrases utilisant un vocabulaire simple. Ainsi, on ne parlera pas de la commutativité de l'addition mais, après plusieurs observations de cette propriété, on énoncera qu' « on ne change pas le résultat d'une addition si on change l'ordre des nombres » et on donnera quelques exemples. Ensuite, la phrase notée sur le cahier de référence sera à nouveau énoncée à l'identique chaque fois que la propriété sera utilisée. D'autres connaissances procédurales, comme par exemple « pour multiplier par 5, je peux multiplier par 10 et diviser par 2 » relèvent du calcul mental et doivent aussi être enseignées et exercées. Dès la fin du cycle 2 toutes les tables de multiplication doivent être sollicitées, ainsi que la commutativité et la distributivité de la multiplication sur l'addition et sur la soustraction, mais sur des petits nombres. »

L’égalité… Une vigilance! L’égalité est ce qu’on appelle une relation d’équivalence, c’est-à-dire qu‘elle est : - réflexive, tout élément est égal à lui-même. - symétrique, a=b est équivalent à b=a. - transitive, si a=b et b=c alors a=c. Le signe = ne veut pas dire « Le résultat de l’opération est : … »

La commutativité (Addition et multiplication) Il est intéressant que les élèves se l’approprient, car elle permet : - de réduire le nombre de résultats à mémoriser : 4 + 9 est ainsi connu dès lors que 9 + 4 est connu (et on sait que le second calcul est mémorisé plus tôt que le premier) ; - de simplifier certains calculs : 8 + 56 est plus facile à calculer si on le remplace par 56 + 8.

L’associativité (Addition et multiplication) Elle est souvent utilisée implicitement par les élèves, en particulier : - dans le calcul d’une somme de deux nombres, lorsqu’on décompose un des nombres, - - par exemple 27 + 8 peut être calculé comme: - (20 + 7) + 8 remplacé par 20 + (7 + 8) - 27 + (3 +5) remplacé par (27 + 3) +5 (passage par la dizaine) pour calculer une somme de plusieurs nombres, en lien avec la commutativité - par exemple pour calculer : 15 + 27 + 5 + 3 on échangera la place de certains nombres et on les groupera pour arriver à des calculs «faciles» , - comme : (15 + 5) + (27 + 3)

Distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction Cette propriété est liée au fait que calculer le produit d’une somme ou d'une différence par un nombre peut se ramener à calculer le produit de chacun des termes par ce nombre, puis de calculer la somme ou la différence des résultats obtenus. Elle peut être formalisée sous la forme a x (b + c) = (a x b) + (b x c) a x (b - c) = (a x b) - (b x c) Elle est très utilisée en calcul mental. Ainsi le calcul déjà évoqué du produit 35 x 4 peut être remplacé par le calcul suivant : (30 + 5) x 4 = (30 x 4) + (5 x 4)

Les éléments neutres… Pour l’addition et la soustraction : 0 Pour la multiplication : 1

Une autre propriété utile mais pas dans le BO Propriété de l’ajout simultané Cette propriété peut être utilisée en calcul mental, bien que les élèves y aient peu recours spontanément, par exemple le calcul de 43 – 19 peut être remplacé par celui de 44 – 20 en ajoutant 1 aux deux termes de la somme initiale.

Les objectifs d’apprentissage : Les procédures Mémoriser des procédures : traiter à l’oral et à l’écrit des calculs relevant des quatre opérations : élaborer ou choisir des stratégies, expliciter les procédures utilisées et comparer leur efficacité : addition, soustraction, multiplication, division ;

Progressivité dans l’acquisition des procédures Ex : Addition Simple: 8+6 1. Manipulation d’objets 2. Comptage sur les doigts 3. Calcul en ligne 8+6 = 8+2+4 = 10 + 4 = 14 (ou 2+6+6= 2+12) 4. Calcul mental 5. Fait numérique mémorisé : Récupération en MLT