Sries statistiques une variable Dtermination de la mdiane
Séries statistiques à une variable
Détermination de la médiane
1. Dans le cas d’un caractère discret ü Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série. ü Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère.
Exemples : ü Donner la valeur médiane de chacune des séries suivantes a) Série de prix de vente Prix médian = 25 € PV(€) 12 17 21 25 32 40 13
b) Nombre d’achats journaliers Nombre de d’achats 42 56 68 76 Nombre d’achats médian 84 92
2. Cas d’un caractère continu
Exemple 1 1. Tableau Distance en Km [0 ; 5[ Nombre d’entreprises 8 [5 ; 10[ ECC ECD 8 93 22 30 85 [10 ; 15[ 32 62 63 [15 ; 20[ 18 80 31 [20 ; 25[ 5 85 13 [25 ; 50[ 8 93 8 Total 93
2. Polygones des effectifs cumulés 3. Par lecture graphique la médiane est:
4. Plus de la moitié des élèves effectue leur stage à une distance de 12, 75 km Exemple 2 : Centre Class es [100; 140[ [140; 180[ [180; 220[ [220; 260[ [260; 300[ Effectifs ni des classes xi Produits ni × xi ECC ECD Fréquences (%) FCC 4 120 480 4 16 25, 00 2 160 320 6 12 12, 50 37, 50 6 200 12 10 37, 50 75, 00 2 240 480 14 4 12, 50 87, 50 2 280 560 16 2 12, 50 100, 0 0 N =16 3040 100
1. Prix moyen: 190 €
2. Polygones des EC Me = 195
3. Polygones des FCC
Paramètres de dispersion Variance • · La variance est donnée par lune des formules suivantes: • V = = Dans cette formule : est la moyenne -
L'écart-type : ü Il mesure la répartition des valeurs de la variable autour de la moyenne ; ü Il est égal à la racine carrée de la variance. ü Écart-type : = ü : lire sigma; ü avec V : variance.
üPour calculer l'écart ‑ type, on calcule d'abord la variance V. üPuis on calcule l'écart type par la formule: = üPlus l’écart – type σ est grand, plus les valeurs du caractère sont dispersées autour de la moyenne üPlus il est petit, plus les valeurs du caractère sont groupées autour de la moyenne.
Loi normale- courbe de Gauss üSi une série statistique se distribue suivant une loi dite normale, sa courbe des effectifs, appelée courbe de Gauss met en évidence que : • 68 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle • 95 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle • 98 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle
Exemples :
1. Moyenne et écart ‑ type
Tableau 1 Classes Centres xi Effectifs ni Produits ni xi [2; 4[ 3 8 24 [4; 6[ 5 15 75 5, 2 3, 2 [6; 8[ 7 18 126 1, 2 [8; 10[ 9 11 99 0, 8 [10; 12[ 11 [12; 14[ 13 Total 14 154 2, 8 13 79 169 647 4, 8 216, 32 153, 6 25, 92 7, 04 109, 76 299, 52 812, 16
Paramètres du tableau 1 Calcul de la moyenne: Calcul de la variance: Calcul de l’écart type:
Tableau 2 Classes [2; 4[ Centres xi Effectifs ni 11 [4; 6[ 3 5 [6; 8[ Produits ni xi 17 33 85 2, 4 97, 92 7 20 140 0, 4 [8; 10[ 9 15 135 1, 6 3, 2 38, 4 [10; 12[ 11 9 3, 6 116, 64 [12; 14[ 13 7 99 91 3, 6 219, 52 79 583 688, 64 Total 4, 4 212, 96
Paramètres du tableau 2 Calcul de la moyenne: Calcul de la variance: Calcul de l’écart type:
2. Comparaison des 2 séries ü L’écart type du 2ème tableau étant plus petit, les valeurs de cette série sont mieux réparties par rapport à la 1ère série.
Exercices d’application
Exercice 1: 1. Tableau ni×xi Effectifs cumulés décroissants Effectifs cumulés croissants 1, 5 7, 5 50 5 20, 0% 4, 5 45 45 15 19 38, 0% 7, 5 142, 5 35 34 [9; 12[ 14 28, 0% 10, 5 147 16 48 [12; 15[ 2 4, 0% 13, 5 27 2 50 Total 50 100, 0% 369 Classes Effectifs ni Fréquences en % Centres de classes xi [0; 3[ 5 10, 0% [3; 6[ 10 [6; 9[
2. Calcul de la moyenne: 3. üNombre de machines ayant nécessité moins de 9 interventions: 5 + 10 + 19 = 34 üNombre de machines ayant nécessité au moins 6 interventions: 2 + 14 + 19 = 35
4. Histogramme
Exercice 2 1) a. Tableau Diamètre en mm nombre de pièces ni centres de classes xi Produit nixi [31, 70; 31, 80[ 2 31, 75 63, 5 [31, 80; 31, 90[ 8 31, 85 254, 8 [31, 9; 32[ 26 31, 95 830, 7 [32; 32, 1[ 30 32, 05 961, 5 [32, 1; 32, 2[ 10 32, 15 321, 5 [32, 2; 32, 3[ 4 32, 25 129 Total N = 80 2561
b. Calcul de la moyenne: mm 2) Dans nos calculs, nous supposons que les diamètres sont uniformément répartis dans les classes, alors que le logiciel prend en compte la répartition réelle. 3) a) Calculs de k et k 1 2 b) La maintenance est nécessaire
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