TAI DE PROBABILITS ALCOOTEST ClrierJauffretBonduelleBelaud L 2 Groupe

TAI DE PROBABILITÉS ALCOOTEST Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

ALCOOTEST OU ETHYLOTEST Technique pour évaluer le taux d’alcoolémie Très utilisé lors des contrôles de Police Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

DONNÉES STATISTIQUES Patients malades Patients sains Total Ethylotests positifs 165 20 185 Ethylotests négatifs 15 350 365 Total 180 370 550 Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

FRÉQUENCE FAUX POSITIFS/FAUX NEGATIFS Un Faux Positif est une personne qui est sobre alors qu’elle est contrôlée positive Un Faux Négatif est une personne qui est ivre alors qu’elle est contrôlée négative. Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

SENSIBILITÉ, SPÉCIFICITÉ Sensibilité : probabilité qu'un individu malade ait le symptôme Spécificité : probabilité qu'un individu non malade n'ait pas le symptôme Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

VALEUR PRÉDICTIVE POSITIVE VPP La VPP est la probabilité d'être ivre lorsque l’ethylotest positif VPP=P(Sujet ivre| Alcootest positif) Célérier/Jauffret/Bonduelle/Ulquinaku L 2 – Groupe A

PROBABILITÉ CONDITIONNELLE o Notation P(A|B) o Probabilité que l’événement A se réalise sachant la réalisation de l’événement B. Ω P(B) P(A)

DONC ON A : Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

COMPLÉMENTAIRE Si Alors est le complémentaire de A Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

FORMULE DE BAYES 1/2 Probabilité qu'une personne soit malade si le test positif. D’après la formule des probabilités conditionnelles : Soit : p(A∩B) = p(A) x p(B/A) = p(B) x p(A/B) On obtient alors : Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

FORMULE DE BAYES 2/2 On sait que : De même : Ω P(B) P(A) On peut ainsi écrire la deuxième formule de Bayes : Célérier/Jauffret/Bonduelle/Ulquinaku L 2 – Groupe A

APPLICATION DE LA FORMULE DE BAYES Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

APPLICATION À NOTRE EXEMPLE Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

FORMULE SIMPLIFIÉE DE VPP D’où VPP= Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

APPLICATION NUMÉRIQUE POUR NOTRE EXEMPLE Avec P=0, 05 Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

AVEC P=0, 30 Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

- VALEURS PRÉDICTIVES NÉGATIVES (VPN) Proportion de vrais négatifs sur l'ensemble des sujets négatifs d‘où Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

VALEURS PRÉDICTIVES POSITIVES ET NÉGATIVES DE L’ALCOOTEST - Efficacité Probabilité d‘obtenir une réponse correcte - Exemples pour P=0, 05 Célérier/Jauffret/Bonduelle/Ulquinaku L 2 – Groupe A

VALEURS PRÉDICTIVES POSITIVES ET NÉGATIVES DE L’ALCOOTEST pour P=0, 3 Remarque - Le test n’est pas très efficace quand P est faible - Probabilité de laisser passer un sujet ivre est très petite (0, 029) Célérier/Jauffret/Bonduelle/Ulquinaku L 2 – Groupe A

CAS OÙ LA SPÉCIFICITÉ EST MAXIMALE La valeur maximum de Se est Dans ce cas les formules établies plus haut deviennent : Pour P = 0, 05 on obtient : Pour que VPP soit plus grand que 0, 6, il faudrait que l’on ait : soit Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

HYPOTHÈSES La probabilité que l’alcootest ne soit plus en état de marcher au bout de t semaines : Une étude statistique, montrant qu’environ 50% d’un lot important de ces alcootests sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p ([0, 200])=0. 5 § Quelle est la probabilité qu’un de ces alcootests pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines ? § On admet que la durée de vie moyenne de ces composants est § la limite quand A tend vers +∞ Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

§ Calcul de §D’après l’énoncé p ([0, 200]) = 0. 5 §On obtient une équation que l’on résout et on obtient au final : § Probabilité qu’un composant ait une durée de vie supérieure à 300 semaines §Soit (t≥ 300) l’évènement : « L’alcootest a une durée de vie supérieure à 300 semaines » , on a : Célérier/Jauffret/Bonduelle/Belaud L 2 – Groupe A

CALCUL DE LA DURÉE DE VIE MOYENNE § Durée de vie moyenne § Calcul de l’intégrale §On intègre partie et nous obtenons au final le résultat attendu c'est-à-dire : §Calcul de D’après l’énoncé d’où : Après le calcul de limites, on a que : La durée de vie moyenne de l’alcootest donc :