Physique Calcul derreur 1 Calcul derreur l l

Physique Calcul d’erreur 1

Calcul d’erreur l l l 2 Vérification d’une relation entre grandeurs physiques Imprécision des instruments mesures pas vraiment exactes Relation non vérifiée car fausse ? Ou mesures incertaines ? marges d’erreurs à définir mesure en dehors relation invalidée

Introduction l Exemple : surface du rectangle ≈ L. l – = (L+d. L). (l+dl) = L. l+l. d. L+L. dl+d. L. dl – S’-S = l. d. L+L. dl+d. L. dl négligeable ΔS = l. d. L+L. dl par rapport aux autres – 3 S S’

Introduction l Exemple : surface du rectangle – – – S S’ ≈ 10 cm x 5 cm = (10+0, 1). (5+0, 1) = 10. 5+5. 0, 1+10. 0, 1+0, 1 S’-S = 0, 5+1, 0+0, 01 négligeable ΔS = 1, 5 cm² S = 50 ± 1, 5 cm² 4

Introduction l Exemple : volume du parallélépipède ≈ L. l. h – = (L+d. L). (l+dl). (h+dh) = L. l. h+l. h. d. L+L. h. dl +h. d. L. dl+l. d. L. dh+L. dl. dh+d. L. dl. dh – V’-V = l. h. d. L+L. h. dl+L. l. dh + … négligeable par rapport ΔV = l. h. d. L+L. h. dl+L. l. dh aux autres – 5 V V’

Plan l Sources d’erreurs – – – 6 Erreur relative et absolue Précision d’un appareil Chiffres significatifs l Calcul d’incertitude de lecture l Calcul d’incertitude statistique l Récapitulatif

Sources d’erreur l Précision de la mesure ou incertitude de lecture Δ 1 – l Dispersion statistique Δ 2 – l 7 flèches proches ou éparpillées (fidélité) Erreur systématique Δ 3 – l taille des pointes de flèches (résolution de l’appareil) flèches autour du centre (justesse) Erreur totale Δtot = Δ 1 + Δ 2 + Δ 3

Erreur et incertitude l Incertitude de lecture – Directe l = demi-unité du dernier rang affiché – l = demi-unité de l’appareil de mesure – – 8 Calculée (voir plus loin) Erreur = |valeur réelle x’ - valeur utilisée x| ≤ Δx – l ex latte graduée au mm : L = 150 mm ΔL = 0, 5 mm Indirecte l l ex thermomètre numérique : T° = 22, 2°C ΔT = 0, 05°C bornée par l’incertitude Δx : x’ [x ± Δx] Abus de langage

Erreur relative et absolue l Erreur relative – l pourcentage Ex : A = 10 cm² et ΔA = 0, 1 cm² / 10 cm² = 0, 01 = 1, 0 % l 9 Ex : A = 20°C et = 2, 0 % = . A = 2, 0%. 20°C = 0, 4°C

Précision d’un appareil l Qualité métrologique – Appareil précis résultat exact et reproductible qualité appareil + habileté utilisateur – Résolution Fidélité – l – 10 si une seule mesure, fidélité = probabilité qu’elle soit représentative du résultat moyen Justesse l résultats non entachés d’erreurs

Chiffres significatifs l = Nombre de chiffres « à gauche » du « premier chiffre » – Exemples : l l l – 11 – 0, 00705 : 3 c. s 645, 0 : 4 c. s 2, 9. 10 -4 : 2 c. s Nombre entier ou inverse infinité de c. s. Constantes (π, e, R, …) suffisamment de c. s.

Exemples et applications l Transformez les incertitudes absolues en incertitudes relatives pour les mesures suivantes : – – – l Calculez les incertitudes absolues et donnez le résultat arrondi des mesures suivantes : – – – 12 l = 5, 2 m ± 0, 2 m t = (3, 0 ± 0, 2) s m = (4, 42 ± 0, 05). 10− 3 kg l = 4, 2 m à 5% t = 17, 82 m à 3% m = 15, 27 kg (± 1, 5%)

Exemples et applications l incertitudes relatives (2 c. s) : – – – l incertitudes absolues (1 ou 2 c. s) : – – – 13 Δl/l = 0, 2 m / 5, 2 m = 0, 038 = 3, 8. 10 -2 Δt/t = 0, 2 s / 3, 0 s = 6, 7. 10 -2 Δm/m = (0, 05. 10 -3 kg) / (4, 42. 10 -3 kg) = 1, 1. 10 -2 Δl = 4, 2 m. 5% = 0, 21 m = 2, 1. 10 -1 m (2 c. s) Δt = 17, 82 m. 3% = 0, 5 m = 5. 10 -1 m (1 c. s) Δm = 15, 27 kg. 1, 5% = 0, 23 kg = 2, 3. 10 -1 kg (2 c. s)

Plan l Sources d’erreurs l Calcul d’incertitude de lecture – – 14 Mesures indirectes Utilisation des dérivées partielles l Calcul d’incertitude statistique l Récapitulatif

Calcul d’incertitude de lecture : mesures indirecte l Somme, différence et multiplication par un scalaire incertitude absolue – – – l 15 S = A+B ΔS = Δ(A+B) = ΔA + ΔB D = A-B ΔD = Δ(A-B) = ΔA + ΔB M = 2 A ΔM = Δ(2 A) = Δ(A+A) = 2 ΔA Formule générale G = k 1 A ± k 2 B ΔG = Δ(k 1 A ± k 2 B) = |k 1| ΔA + |k 2| ΔB

Calcul d’incertitude de lecture : mesures indirecte l Produit, quotient et puissance incertitude relative – – – l l 16 P = A. B ΔP/P = ΔA/A + ΔB/B Q = A/B ΔQ/Q = ΔA/A + ΔB/B R = A² = A. A ΔR/R = ΔA/A + ΔA/A = 2 ΔA/A Formule générale G = Ak 1. Bk 2/Ck 3 ΔG/G = |k 1| ΔA/A + |k 2| ΔB/B + |k 3| ΔC/C ΔG = G. ΔG/G ex : Δ(AB) = ? artifice de calcul : [AB]. Δ[AB]/[AB] = AB. ΔP/P = AB. (ΔA/A + ΔB/B) = B. ΔA + A. ΔB

Calcul d’incertitude de lecture : mesures indirecte l Composition l Priorités de calcul à l’inverse – Produit en priorité G = A. (B+C) ΔG/G = Δ[A. (B+C)]/[A. (B+C)] = ΔA/A + Δ[B+C]/[B+C] = ΔA/A + ΔB/[B+C] + ΔC/[B+C] – 17 Somme en priorité G = A. B + C ΔG = Δ(AB+C) = Δ(AB) + ΔC = AB. Δ[AB]/[AB] + ΔC = AB. (ΔA/A+ ΔB/B) + ΔC = B. ΔA + A. ΔB + ΔC

Utilisation des dérivées partielles 18 l ΔG(x, y, z) = | G/ x| Δx + | G/ y| Δy + | G/ z| Δz l G/ x = « dérivée de G par rapport à x » (y et z considérées comme constantes) l Exemples

Chiffres significatifs l 4 règles – Pas plus que nécessaire l – Si 1 er chiffre supprimé 5 augmente dernier chiffre conservé l l l 19 37, 28421 ± 2, 3 = 37, 3 ± 2, 3 37, 28421 = 37, 3 212, 750 = 212, 8 141, 547 = 141, 5 – ΔG/G toujours 2 c. s. – ΔG l l 1 c. s. si 1 er chiffre 5 2 c. s. sinon (ex : ΔG = 0, 538 ΔG = 0, 5) (ex : ΔG = 0, 497 ΔG = 0, 50)

Exemples et applications l Les dimensions d’un rectangle sont L = (41, 9 ± 0, 1) mm et l = (3, 6 ± 0, 1) mm. Calculez – – – l Un volume cylindrique de diamètre 1, 62 ± 0, 03 cm et de hauteur 3, 44 ± 0, 05 cm a une masse de 23, 2 ± 0, 1 g. – – – 20 l’aire du rectangle, ainsi que les incertitudes relatives et les incertitudes absolues sur ces grandeurs. Calculez son volume. Calculez sa masse volumique. Calculez les incertitudes absolues et relatives sur ces grandeurs.

Exemples et applications l Les dimensions d’un rectangle sont L = (41, 9 ± 0, 1) mm et l = (3, 6 ± 0, 1) mm. Calculez – – – l Un volume cylindrique de diamètre 1, 62 ± 0, 03 cm et de hauteur 3, 44 ± 0, 05 cm a une masse de 23, 2 ± 0, 1 g. – – – 21 A = L. l = 41, 9. 3, 6 = 150, 84 mm² ΔA/A = ΔL/L + Δl/l = 0, 030 = 3, 0 % ΔA = A. ΔA/A = L. l. (ΔL/L + Δl/l) = l. ΔL+L. Δl = 4, 6 mm² A = 150, 8 ± 4, 6 mm² V = π r² h = π. (1, 62/2)². 3, 44 ≈ 7, 09 cm³ ΔV/V = 2Δr/r + Δh/h = 2Δ(d/2)/(d/2) + Δh/h = 2Δd/d + Δh/h ≈ 0, 052 ΔV = V. ΔV/V ≈ 0, 37 cm³ V = 7, 09 ± 0, 37 cm³ ρ = m/V ≈ 23, 2 g / 7, 09 cm³ ≈ 3272 kg/m³ Δρ/ρ = Δm/m + 2Δr/r + Δh/h = Δm/m + ΔV/V ≈ 0, 056 Δρ ≈ ρ. Δρ/ρ ≈ 182, 85 ≈ 1, 8. 102 kg/m³ ρ = (32, 7 ± 1, 8). 102 kg/m³

Plan 22 l Sources d’erreurs l Calcul d’incertitude de lecture l Calcul d’incertitude statistique l Récapitulatif

Calcul d’incertitude statistique l Mesures répétées x 1, x 2, … xn l Valeur probable l l l l 23 l s = déviation standard n = taille échantillon = coefficient de Student α = seuil de confiance

Calcul d’incertitude statistique l Coefficient de Student – Dépend de l l 24 nombre de mesures n : t si n seuil de confiance α : t si α

Calcul d’incertitude statistique l l En toute rigueur, seuil de confiance = 1 - α Choisi arbitrairement – – l 25 En général, α = 5% ou 1% largeur de l’intervalle si α ( « plus α sera petit, plus l’intervalle sera large, et moins on aura de chances que la vraie valeur ne soit pas dedans » ) Ex : 95% de confiance si la vraie valeur se trouve en dehors de l’intervalle défini par ] - ∆x, + ∆x [, la probabilité d’apparition du résultat de la mesure que l’on a obtenu était inférieure à 5%. en vulgarisant, 5% (α) de chances de « se planter »

Exemples et applications l On mesure un temps et on trouve : 3, 56 s; 3, 58 s; 3, 57 s; 3, 52 s; 3, 54 s; 3, 56 s; 3, 57 s; 3, 53 s; 3, 56 s; 3, 57 s; 3, 59 s; 3, 54 s; 3, 56 s. – – – 26 Calculez la valeur moyenne T de la durée. Trouvez la déviation standard s. Trouvez l’intervalle pour un niveau de confiance de 95%.

Exemples et applications l On mesure un temps et on trouve : 3, 56 s; 3, 58 s; 3, 57 s; 3, 52 s; 3, 54 s; 3, 56 s; 3, 57 s; 3, 53 s; 3, 56 s; 3, 57 s; 3, 59 s; 3, 54 s; 3, 56 s. – – – 27 T ≈ 3, 558 s s ≈ 0, 0193 s n = 14 et α = 0, 05 t 13; 0, 05 = 2, 1604 ΔT = 2, 1604. 0, 0193/ 14 ≈ 0, 011 s T = 3, 558 ± 0, 011 s (à 95%)

Plan 28 l Sources d’erreurs l Calcul d’incertitude de lecture l Calcul d’incertitude statistique l Récapitulatif

Récapitulatif l Précision de la mesure ou incertitude de lecture ΔL – – l Dispersion statistique ΔS – l 29 Erreur systématique Δ 3 – l G = k 1 A ± k 2 B ΔG = Δ(k 1 A ± k 2 B) = |k 1| ΔA + |k 2| ΔB G = Ak 1. Bk 2/Ck 3 ΔG/G = |k 1| ΔA/A + |k 2| ΔB/B + |k 3| ΔC/C Solution : étalonnage et calibration Erreur totale Δtot = ΔL + ΔS

Exercices récapitulatifs 30

Exercices récapitulatifs 31 l rmoyen = 8, 25 cm ; hmoyen = 4, 675 cm l S = 2. π. r²+2. π. r. h ≈ 670, 039 cm² l ΔLS = 2. π. (2 r Δr+h Δr+r Δh) ≈ 9, 244 cm² l ΔSS = t 3; 0, 05. s/ n ≈ 3, 1824. 16, 418/ 4 ≈ 26, 124 cm² l Δtot. S = ΔLS + ΔSS = 35, 368 cm² ≈ 35 cm² S = 670 ± 35 cm² (à 95%)

Ne confondez pas erreur de calcul et calcul d’erreur 32