TEOREMA LUI PITAGORA GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUN
TEOREMA LUI PITAGORA “GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUNĂ ŞI MAI SIMPLĂ DINTRE TOATE LOGICILE, CEA MAI POTRIVITĂ SĂ DEA INFLEXIBILITATE JUDECĂŢII ŞI RAŢIUNII. ” DENIS DIDEROT Şcoala Gimnazială “Gh. Popescu” Mărgineni, Olt Prof. IULIANA TRAȘCĂ 1
Realizam o prezentare in care se fac trimiteri(conform sagetilor) la teorie sau la gasirea solutiilor unei probleme Exemplu: Din slide-ul 4 prin click pe se face trimitere la o problema din slide-ul 17, iar apoi, din acest slide, PROBLEMA prin click pe se revine la slide-ul 4.
CUNOŞTINŢE NECESARE PENTRU A INTELEGE TEOREMA LUI PITAGORA Problema C D 3 A B
TEOREMA LUI PITAGORA: , , În orice triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor’’ PROBLEMA 4
1. DEMONSTRAŢIE FOLOSIND TEOREMA CATETEI A Δ ABC, m(<A)=90º, AD ┴ BC conform teoremei catetei, avem: C D B AB² = BC • BD AC² = BC • CD , adunând membru cu membru obținem: 5 AB² + AC² = BC • ( BD + DC) = BC • BC = BC² Deci, BC² = AB² + AC² c. c. t. d.
2. DEMONSTRAŢIE PE BAZA TRIUNGHIURILOR ASEMENEA A ΔABC ~ ΔDBA (conform cazului U. U. ), avem: a-x x 1 x / c = c / a => c² = ax (1) B a D ΔABC ~ΔDAC (conform cazului U. U. ), avem (a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2) Adunând membru cu membru relațiile (1) și (2) obținem: b C 1 c b²+c² = a²+ax – ax Deci, a² = b² + c² c. c. t. d. 6
3. DEMONSTRAŢIE PE BAZA DE ARII ALE PATRATELOR K J c F L A c B a b b Aria pătratului (ABFJ) = c² Aria pătratului (ACLK) = b² C Aria pătratului (BCDE) = a² a E Aria (BCDE )= Aria (ACLK) + Aria (ABFJ) D Deci: a² = b² + c² c. c. t. d. 7
* 4. Demonstraţie dată de Euclid in ELEMENTE G Dar, ΔABE≡ΔBCI(LUL) => F Aria (BEMN) = Aria (AHIB)(1) H A Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=> Aria (CDMN) = Aria (CFGA) (2) I B E N M C Adunând relațiile (1) și (2) obținem: Aria(BEMN+CDMN)=Aria(AHIB+CFGA) Deci Aria (BCDE)=Aria (AHIB+CFGA) BC² = AB² + AC² c. c. t. d. D 8
* 5. Demonstraţia lui Leonardo da Vinci a E bc/2 A’ bc/2 a (b-c)² C’ D a A bc/2 B B’ a C Adică, a² = b ²+ c² c. c. t. d. 9
PROBLEME 1. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A: a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 4 cm, respectiv 3 cm, determinaţi lungimea ipotenuzei BC. b) Dacă cateta AC=6 cm, iar ipotenuza BC= 10 cm, determinaţi lungimea catetei AB. Problema 1: rezolvare a) Problema 1: rezolvare b) 10
A Problema 1: rezolvare a) 4 cm B 3 cm C ENUNT PROBLEMA 11
A Problema 1: rezolvare b) 6 cm B 10 cm C Enunt problema 12
2. Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 3 cm, şi unghiul care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei, Vezi calculul a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei. calculul Vezi calculul 13
A 3 cm 300 B D C Enunt problema 14
l Enunț problemă 15
3. O catetă a unui triunghi dreptunghic are lungimea de 10 cm, iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este de 8 cm. Să se afle lungimile celeilalte catete şi a ipotenuzei. 16
A 10 cm 8 cm C D 6 cm B Teorema Pitagora 17
§ Aplicăm teorema catetei în triunghiul ABC astfel: Teorema catetei AB 2 =BD·BC Înlocuim: 102= 6 ·BC 100 = 6 ·BC, de unde BC = 16, (6) cm. § În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel: BC 2 =AB 2 +AC 2 Înlocuim: = 100+AC 2 De unde AC 2= , deci AC= 13, (6) cm 18
Aplicatii ale Teoremei lui Pitagora folosind EXCEL l Calculul ipotenuzei, inaltimii corespunzatoare unghiului drept si ariei(cand se cunosc catetele) l - se calculeaza aceste elemente folosind doua zecimale
- Slides: 20
