Reprsentation de linformation en binaire Nombres entiers non

Représentation de l’information en binaire: Nombres entiers non signés/signés 1 Emmanuelle Peuch

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Table des matières I. Système binaire 1 - Conversion binaire - décimal 2 - Conversion décimal – binaire II. Nombres "entiers" signés 1 - Complément à deux: définition 2 - Arithmétique binaire 3 - Dépassement de capacité 3

I. Système binaire 4

I. Système binaire Dans le système binaire, on dispose de deux chiffres 0 et 1, appelés bits, qui ont la même signification qu’en décimal : (0)b = (0)d (1)b = (1)d Bit = contraction de BInary digi. T Pour représenter des nombres plus grands, le mécanisme est le même qu’en base 10 : 5

I. Système binaire Base 10: On dispose des 10 chiffres 0 à 9 La position de chaque chiffre du nombre est importante ! 6

I. Système binaire Base 2 : On dispose des 2 chiffres 0 et 1 La position de chaque chiffre du nombre a toujours la même importance ! 7

I. Système binaire Avec n bits On forme 2 n mots différents On compte de 0 à 2 n - 1 Avec n = 4 bits on forme 24 = 16 mots différents. On peut alors compter de 0 à 15. Comment énumérer rapidement tous les mots dans l’ordre du binaire naturel? 8

I. Système binaire 1. Conversion binaire - décimal 9

1. Conversion binaire - décimal Convertissons le nombre entier binaire 11010010 en décimal. Il faut déterminer le poids positionnel de chaque bit. Poids 26 25 24 23 22 21 20 Nombre binaire 1 1 0 1 Puis faire la somme des poids pour trouver le nombre décimal: (1101101)b = 1. 26 + 1. 25 + 0. 24 + 1. 23 + 1. 22 + 0. 21 + 1. 20 = (109)d 10

1. Conversion binaire - décimal Convertissez le nombre entier binaire 1001 0001 en décimal. Voir la solution 11

I. Système binaire 2. Conversion décimal - binaire 12

2. Conversion décimal - binaire Méthode de la somme des poids. on détermine la série de poids binaires dont la somme est égale au nombre décimal donné: (9)d = 8 + 1 = 23 + 20 = (1001)b Convertissez le nombre décimal 25 en binaire. Voir la solution 13

2. Conversion décimal - binaire Méthode de la division par 2. Convertissons le nombre (11)d On a donc (11)d = (1011)b 14

2. Conversion décimal - binaire Convertissez le nombre décimal 58 en binaire par la méthode de la division par 2 Voir la solution 15

II. Nombres "entiers" signés 16

II. Nombres signés Pour traiter des nombres négatifs, l'ordinateur ne dispose pas du signe moins. Comme on ne dispose que des symboles 0 et 1, il a fallu mettre en place une convention pour représenter les nombres binaires signés à l'aide de ces deux symboles. Nous ne présenterons ici que la convention la plus utilisée à savoir la représentation en complément à deux. 17

II. Nombres signés On peut retenir que, quelque soit la convention choisie, le bit le plus significatif d'un mot binaire (poids fort, donc à gauche) représente toujours le bit de signe. La norme est alors: Bit de signe à 0 désigne un nombre positif. Bit de signe à 1 désigne un nombre négatif. 18

II. Nombres signés 1. Complément à deux: définition 19

1. Complément à deux: définition Le complément à 2 d'un nombre binaire s'obtient de la façon suivante: Nombre binaire étudié Ecrire le complément à 1 du nombre binaire = complément du nombre bit par bit Ajouter 1 (addition binaire) au complément à 1 Le complément à 2 de (0110)b est donc (1010)b 20

1. Complément à deux: définition Le complément à 2 et nombres signés Rappelons tout d'abord que lorsqu'on travaille avec des nombres signés, le bit de poids fort représente toujours le bit de signe. Ecrivons (+ 6)d en binaire: Format utilisé: nombre signé sur 4 bits Convention utilisée: complément à 2 Nombre positif à convertir en binaire: on utilise donc une des méthodes présentées dans le I– 2. Conversion décimale – binaire 21

1. Complément à deux: définition On obtient donc: (+ 6)d = (0110)b Format nombre signés: le bit de poids fort représente le signe. Ce bit est à 0, ce qui correspond bien à un nombre positif. Ecrivons (- 6)d en binaire (même format, même convention) Nombre négatif à convertir en binaire: on prend donc le complément à 2 de (0110)b =(+ 6)d 22

1. Complément à deux: définition On a donc (- 6)d = (1010)b Format nombre signés: le bit de poids fort représente le signe. Ce bit est à 1, ce qui correspond bien à un nombre négatif. 23

1. Complément à deux: définition Inversement, convertissons (1010)b en décimal sachant que le format est de 4 bits et que l'on est en convention complément à 2: (1010)b Bit de signe à 1: on est en présence d'un nombre négatif. Pour le convertir en décimal, il faut donc d'abord déterminer son complément à 2 pour obtenir sa valeur absolue. 24

1. Complément à deux: définition Récapitulons: Le complément à 2 de (1010)b est (0110)b = (+6)d. Conclusion: (1010)b = (- 6)d. Remarque: la conversion binaire – décimale du nombre (0110)b en convention complément à 2 est directe puisque l'on a à faire à un nombre positif! (0110)b = (+6)d 25

1. Complément à deux: définition Avec n bits, combien de nombres entiers signés peut on écrire? Prenons l'exemple suivant: - Format n = 3 bits - convention complément à 2 En notation signée on dispose de 2 bits pour coder la valeur! Construisons un tableau pour énumérer tous les nombres signés possibles. 26

1. Complément à deux: définition Récapitulons: avec n = 3 bits on peut représenter 23 nombres différents: En notation non signée En notation signée complément à 2 27

1. Complément à deux: définition Généralisons: avec n bits on peut représenter 2 n nombres différents: En notation non signée En notation signée complément à 2 28

II. Nombres signés 2. Arithmétique binaire 29

2. Arithmétique binaire Remarque: avec la notation complément à 2, les soustractions se ramènent à des additions (comme en base 10) Dans la suite, nous allons effectuer des sommes de nombres signés. Format utilisé: nombres signés sur n = 8 bits Convention utilisée: complément à 2 On peut donc représenter des nombres allant de – 128 à + 127 30

2. Arithmétique binaire Deux nombres positifs Calculer 7 + 4 en binaire (7)d = (0000 0111)b et (4)d = (0000 0100)b Résultat cohérent qui correspond bien à 11. 31

2. Arithmétique binaire Nombre positif plus grand que nombre négatif Calculer 15 - 6 en binaire (15)d = (0000 1111)b (-6)d = (1111 1010)b 32

2. Arithmétique binaire Résultat cohérent qui correspond bien à 9. La retenue finale est rejetée: elle n'est pas significative. 33

2. Arithmétique binaire Nombre positif plus petit que nombre négatif Calculer 16 - 24 en binaire (16)d = (0001 0000)b (-24)d = (1110 1000)b 34

2. Arithmétique binaire Pour convertir ce résultat en décimal il faut déterminer son complément à 2: Cp à 2 de (1111 1000)b est (0000 1000)b = (8)d Résultat cohérent qui correspond bien à - 8. 35

2. Arithmétique binaire Deux nombres négatifs Calculer – 5 - 9 en binaire (-5)d = (1111 1011)b (-9)d = (1111 0111)b 36

2. Arithmétique binaire Déterminons le complément à 2 de ce résultat: Cp à 2 de (1111 0010)b est (0000 1110)b = (14)d Résultat cohérent qui correspond bien à - 14. 37

II. Nombres signés 3. Dépassement de capacité 38

3. Dépassement de capacité Lorsque deux nombres binaires sont additionnés et qu'il n'y a pas assez de bits pour afficher le résultat de la somme, on dit qu'il y a dépassement de capacité ou overflow. Nous allons donc voir comment détecter le dépassement de capacité en examinant quelques exemples. Format utilisé: nombres signés sur n = 8 bits Convention utilisée: complément à 2 On peut donc représenter des nombres allant de – 128 à + 127 39

3. Dépassement de capacité Calculons (0111 1101)b + (0011 1010)b (0111 1101)b = (125)d (0011 0101)b = (58)d Et 125 + 58 = 183 40

3. Dépassement de capacité Or 125 + 58 = 183 nécessite 8 bits de grandeurs. Il faudrait donc utiliser un format de 9 bits. Dans notre format 8 bits il y a donc dépassement de capacité: le résultat de la somme est faux. Voyons maintenant comment reconnaître si il y a dépassement de capacité directement en regardant le résultat du calcul en binaire. 41

3. Dépassement de capacité Comment reconnaître un dépassement de capacité (Calcul qui correspond à -5 – 9) 42

3. Dépassement de capacité Il n'y a pas dépassement de capacité. on remarque Cn et Cn -1 sont identiques. (Calcul qui correspond à -5 – 9) 43

3. Dépassement de capacité Il y a dépassement de capacité. on remarque Cn et Cn-1 sont complémentaires. (Calcul qui correspond à 125 + 58) 44

3. Dépassement de capacité Conclusion Il y a dépassement de capacité lorsque Cn et Cn-1 sont complémentaires. Nous verrons en électronique numérique qu’il suffit d'utiliser l'opérateur logique OU EXCLUSIF entre ces deux retenues pour détecter un dépassement de capacité : Overflow = Cn Cn-1 45

FIN 46 Emmanuelle Peuch

Enumérer les différents nombres binaires: exemple avec 3 bits Base 10 0 Nombres binaires 22 21 20 0 1 2 3 4 5 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 6 7 1 1 0 1 Remarquez de quelle façon les chiffres 0 et 1 se répètent dans chaque colonne! Colonne de poids faible (20): on alterne les 0 et 1 toutes les 20 fois. Colonne de poids 21: on alterne les 0 et 1 toutes les 21 fois. Colonne de poids 22: on alterne les 0 et 1 toutes les 22 fois. 47

Conversion du nombre entier binaire 1001 0001 en décimal. (1001 0001)b = 1. 27 + 1. 24 + 1. 20 = (145)d Quelques puissances de 2 Notation: 1 Kilo bits = 1 K bits = (1024)d soit 210 216 = (65536)d = 64 K bits 48

Conversion du nombre décimal 25 en binaire (25)d = 16 + 8 + 1 = 24 + 23 + 20 = (1 1001)b Quelques puissances de 2 49

Conversion du nombre décimal 58 en binaire (58)d = (111010)b 50

Enumérer les différents nombres binaires: Format 3 bits et convention complément à 2 Rappelons tout d'abord le codage obtenu en notation non signée: 1ère colonne. En notation signée, complément à 2: dernière colonne. Complément à 2 de (001)b = (111)b … Le complément à 2 de (100)b est lui-même, (100)b ! Il représente le nombre (-4)d. Le complément à 2 de (000)b est … lui-même! Valeur base 10 non signée Nombre binaire Valeur base 10 signée 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 51